【摘 要】應用題是高考數(shù)學的必考內(nèi)容,通常作為壓軸題出現(xiàn),學生在解答時普遍存在畏難情緒,得分較低。本文從解答應用題的常規(guī)步驟、阻礙學生解答應用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行闡述,并結(jié)合當前高中數(shù)學教學,探究如何利用建模思想引導學生解決實際問題,從而提高教學效果和質(zhì)量。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;應用題;教學方法
【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437(2019)34-0202-03
數(shù)學學科具備三大特點:高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛應用性。應用題是數(shù)學學科的重要組成部分,更是這三大特點的集中體現(xiàn)。數(shù)學課程基本理念中指明:注重提高學生的數(shù)學思維能力,發(fā)展學生的數(shù)學應用意識。應用題的教學是提高學生分析問題、解決問題能力的途徑之一,同時也是培養(yǎng)學生應用能力、創(chuàng)新精神的平臺之一。在被譽為“千軍萬馬過獨木”的高考中,應用題是必考內(nèi)容,通常作為壓軸題出現(xiàn)。部分學生的應用題存在得分較低、存在畏難情緒的情況,如果學生能順利攻克應用題,會為后續(xù)應試考試帶來積極的影響。因此,教師必須高度重視高中數(shù)學應用題的教學。筆者結(jié)合多年的教學實踐,從教授解答題應用題的常規(guī)步驟、阻礙學生解答應用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行探究。
1? ?解答應用題的常規(guī)步驟
經(jīng)過多年的教學實踐,筆者將解答應用題的一般步驟總結(jié)如下:(1)審題;(2)設變量;(3)求出變量的取值范圍;(4)列出關(guān)系式;(5)求解;(6)檢驗并作答。結(jié)合例1給予詳細闡述。
例1.某賓館在裝修時為了美觀,欲將客房的窗戶設計成半徑為的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域,其中四邊形為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計劃將矩形區(qū)域設計為可推拉的窗口。
(1)若窗口為正方形,且面積大于(木條寬度忽略不計),求四根木條總長的取值范圍;
(2)若四根木條總長為,求窗口ABCD面積的最大值。
第一步:認真審題。已知圓的半徑為,第(1)問中,四邊形ABCD為正方形,所以四根木條的長度相等,要求的是木條總長度的取值范圍。第(2)問中,四邊形為矩形,四根木條總長為,所以AB、BC所在木條的長度之和為,要求的是矩形ABCD面積的最大值。經(jīng)提煉應意識到,兩小題都是對圓的弦長的考查。
第二步:設變量。第(1)問中可以直接設其中一根木條長為,也可間接地設點到AB的距離為,還可以設為(點為點在AB上的射影)。第(2)問中可以設兩個變量,即設AB,BC所在的木條長分別為,,則。也可只設一個變量,即AB所在的木條長為,則BC所在的木條長為。
第六步:檢驗并作答。檢驗所得結(jié)果是否符合實際問題的要求,是否正確。如:現(xiàn)實生活中長度、時間總是非負的,人數(shù)、車輛數(shù)總是整數(shù),存款按單利計息而貸款按復利計息等。例1第(1)問中如果開始只是求出,這時就是一個補救的機會。作答其實就是再次回到實際問題的步驟,用簡潔、明確的語言給出清晰的結(jié)論。
這幾個步驟相互依賴、相輔相成。審題是關(guān)鍵,如果讀不懂題意、誤解題意,就不能將實際問題轉(zhuǎn)化為恰當?shù)臄?shù)學問題,變量的設立會影響關(guān)系式的建立,關(guān)系式的建立又會影響求解的方法。因此,在解答應用題時應將實際問題正確地轉(zhuǎn)化為所學的數(shù)學問題,選擇恰當?shù)淖兞拷⑶‘數(shù)年P(guān)系,以便于快速求解。檢驗是對解答過程的反思,作答是對解答過程的總結(jié),由數(shù)學問題再次回到實際問題中去。
2? ?阻礙學生解答應用題的常見因素
審題時學生閱歷淺,而應用題的背景具有社會性和生活性,學生很容易產(chǎn)生懼怕心理,有時連題目都沒看完就置之不理。應用題文字敘述長,直接、間接條件、問題、結(jié)論不太明朗,學生容易產(chǎn)生煩躁心理。有時急于求成,盲目下筆導致解題出錯。
設變量,求變量的取值范圍,列出關(guān)系式是建模的三個步驟。設變量的目的是便于用數(shù)學中的數(shù)字、字母表示實際問題中的各個量,進而再用數(shù)學中的等式、不等式表示實際問題中各量之間的關(guān)系。學生對數(shù)學知識的記憶、理解、掌握程度不高,不能選擇恰當?shù)淖兞?。如?的第(1)問既可以選擇長度為變量,又可以選擇角度為變量,設長度時既可以直接設其中一根木條的長度又可以間接設弦心距;第(2)問既可以設兩個相關(guān)變量又可以僅設一個變量。第(1)問中變量的選擇對解題難度和速度影響不大;第(2)問中變量的選擇對解題難度和速度影響較大。求變量的取值范圍是為了明確研究范圍。學生容易抓住顯性的約束條件而忽視隱性的約束條件。隱性約束條件有的就在題目中,只是學生視而不見,如例1中的“四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域”,還有的題目中沒有明確指出,但會受到客觀事實制約,如例1中的木條長度必然大于零。列出關(guān)系式即:用數(shù)學語言描述變量間的關(guān)系。當關(guān)系復雜時學生容易手忙腳亂,不會分層分步處理。單位的不統(tǒng)一也會導致關(guān)系式建錯。
求解即解模。有的學生解模方向不明確,如例1的第(2)問是最值問題的研究,可以用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,可以用基本不等式及其變形,還可以用導函數(shù)。用基本不等式及其變形解模運算量小但思維量大,用導函數(shù)解模思維量小但運算量大,用基本初等函數(shù)的單調(diào)性又需要等價轉(zhuǎn)化。學生受運算能力、思維能力的影響,比較習慣朝自己擅長的方向去嘗試,因而不一定能找出適合這個問題的最優(yōu)方向。
3? ?幫助學生突破解題障礙的常用方法
首先,教師要耐心指導學生細致地讀題,讀懂問題的實際背景。遇到較長的語句就在關(guān)鍵詞、數(shù)據(jù)下作出標記,弄清每一個名詞、概念,分析每一個已知條件和要求結(jié)論的數(shù)學意義,挖掘?qū)嶋H問題對所求結(jié)論的限制等隱含條件。其次,教師要給予學生充足的訓練機會,鼓勵學生說出已有的認識,教師在此基礎上給予引導、糾正、優(yōu)化,以鍛煉、發(fā)展學生的審題能力。不能因為審題能力與閱讀理解能力相關(guān),而閱讀理解能力與語文學科關(guān)系密切而不作為,也不能為了節(jié)省講解時間而直接將學生的注意力鎖定在關(guān)鍵詞、句上。否則,學生容易在平時養(yǎng)成依賴心理,當他們孤軍奮戰(zhàn)時信心不足、能力不夠。
就建模而言,當學生審清題意后,就會在腦海里提取相關(guān)的數(shù)學知識,應用到實際問題中。因此,要注重學生基礎知識的學習和掌握,為基礎知識的應用做好充分準備。一般教師會從概念、性質(zhì)、應用三個方面講解數(shù)學知識,如果這個知識經(jīng)常以應用題的形式出現(xiàn),不妨在講應用題時強調(diào)該問題在實際問題中的應用,編制一個應用題微專題,以培養(yǎng)和強化學生的應用意識。高中數(shù)學中與解答應用題關(guān)系密切的知識有:函數(shù)、導數(shù)、不等式、三角、數(shù)列、直線、圓、拋物線、線性規(guī)劃等。學生接觸大量應用題后,教師可以指導學生將遇到的應用題分類整理,形成模型,這些模型會增強學生的信心,正所謂“手中有糧,心中不慌”。
就解模而言,學生對已經(jīng)整理出來的數(shù)學模型進行化簡、運算、抓住問題核心,轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題。常見問題有以下兩類:一是求最值;二是研究方程、不等式的解。求最值的方法包括:①借助基本初等函數(shù)的圖像確定單調(diào)性;②借助導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性;③借助基本不等式及其變形;④有時會遇到分段函數(shù)的最值問題,需分別研究每一段的最值,再確定整個定義域上的最值。
研究方程、不等式的解的方法包括:①直接使用基本初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)解方程、不等式;②用導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖像上的特殊點確定方程、不等式解的情況;③有時方程的解也表現(xiàn)為對應函數(shù)的零點,兩者本質(zhì)上是一樣的。在解模過程中若能有效結(jié)合四大數(shù)學思想方法(函數(shù)與方程,分類討論,等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合)會事半功倍,大大提高解模效率。
應用題不僅在高考中占較大分值,而且具有較強的實用價值。通過科學合理的訓練可大幅度提升應用題解答能力,因此,教師有必要加強對應用題教學方法的研究,提升學生分析問題、解決問題的能力。
【作者簡介】
張顧晶(1982~),女,江蘇如皋人,本科,中學一級教師。