三維葉盤失諧模態(tài)分析的攝動降階方法

周子宣,徐自力

(1.西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,710049,西安;2.西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,710049,西安)

理想情況下,整體葉片輪盤具有循環(huán)對稱性,并且每個扇區(qū)具有相同的幾何形狀和材料特性,因此可利用單個扇區(qū)的模型計算整體葉盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動特性。然而,各個扇區(qū)的結(jié)構(gòu)特性會由于制造公差、運行磨損等因素引入偏差,這種偏差稱為失諧,失諧會導(dǎo)致振動能量集中和強迫振動響應(yīng)幅值的急劇增加[1-2]。因此,在葉盤設(shè)計過程中,須考慮失諧的影響,以防止由于結(jié)構(gòu)高周疲勞引起的失效。早期失諧葉盤的研究主要利用集中參數(shù)模型和連續(xù)參數(shù)模型[3-4],分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對局部化程度的影響規(guī)律,但模型過于簡化,無法直接對應(yīng)較為復(fù)雜的葉片輪盤結(jié)構(gòu)。隨著計算機硬件的發(fā)展,逐漸利用三維實體有限元模型對輪盤結(jié)構(gòu)進行分析[5]。Kan等利用完整有限元模型分析了Rotor#67失諧葉盤在科氏力作用下的響應(yīng)特征[6],但由于復(fù)雜葉盤整體有限元模型包含大量自由度,對其進行完整計算分析需耗費大量資源,計算效率較低。

因此,有學(xué)者開發(fā)了各種降階模型[7-9],在準確預(yù)測失諧葉盤振動特性的同時顯著減少計算量。Bhartiya等利用降階模型,從統(tǒng)計學(xué)角度給出了失諧分布與失諧頻率之間的對應(yīng)關(guān)系,但其簡化程度較高,不適合針對復(fù)雜模型進行精確分析[10]。Madden等深入討論了CMM方法中各參數(shù)對求解精度的影響[11]。徐自力等利用多重模態(tài)降階方法對大型復(fù)雜葉盤轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)進行了模態(tài)求解,與實驗結(jié)果基本一致,具有較高的精度[12]。

由于失諧量是隨機產(chǎn)生的,需要計算多種不同失諧分布情況下的葉盤模態(tài),從而最大限度預(yù)測葉盤最危險的振動情況。利用常規(guī)有限元降階方法能在一定程度上提高計算效率,但在失諧分布情況發(fā)生變化后,需對葉盤整體重新進行降階并求解特征值,計算多種失諧分布下葉盤模態(tài)的時間成本仍然巨大。

本文提出了一種攝動降階方法,該方法將失諧葉盤分為諧調(diào)部分與失諧部分,利用單次降階結(jié)果,結(jié)合不同的失諧改變量,通過攝動方法將模態(tài)求解轉(zhuǎn)化為攝動量與諧調(diào)矩陣乘積形式,省去了常規(guī)降階方法中重新降階與求解環(huán)節(jié),從而提高了計算效率。

1 降階方法

諧調(diào)葉盤周向各葉片與對應(yīng)的輪盤滿足循環(huán)對稱特征,為降低模型處理的復(fù)雜程度,將相鄰兩只葉片的中心分割面作為扇區(qū)邊界,劃分得到若干幾何形狀相同的扇區(qū)。將葉盤扇區(qū)作為基本子結(jié)構(gòu)可避免對形式相同的扇區(qū)質(zhì)量剛度矩陣重復(fù)降階,從而提高計算效率。

對單個葉片扇區(qū)采用固定界面模態(tài)綜合法[13]進行降階,子結(jié)構(gòu)的原始振動微分方程為

(1)

式中:M為子結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;K為子結(jié)構(gòu)剛度矩陣;f為子結(jié)構(gòu)界面力矩陣。

將運動方程中的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和界面力按子結(jié)構(gòu)內(nèi)部和對接界面自由度分塊,則運動微分方程可寫為

(2)

式中:uI為需縮減的內(nèi)部節(jié)點自由度;uF為子結(jié)構(gòu)對接界面自由度;f為子結(jié)構(gòu)的界面力。

采用固定界面模態(tài)綜合法時,將子結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意節(jié)點位移表示為界面固定時的節(jié)點位移與界面位移相對節(jié)點的牽連位移之和,即

(3)

式中:Ψn為界面節(jié)點固定時的主模態(tài);Ψc為界面發(fā)生位移后的約束模態(tài);n為主模態(tài)數(shù)目;nf為約束模態(tài)數(shù)目。由主模態(tài)與約束模態(tài)定義可得

(KII-ΛMII)Ψn=0

(4)

Ψc=-KII-1KIF

(5)

式中Λ為子結(jié)構(gòu)特征值對角陣。

在結(jié)構(gòu)振動分析中,由于只關(guān)注小部分低階次的主模態(tài),在此選取主模態(tài)Ψn的前k階Ψk,則子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點位移的降階關(guān)系可表示為

(6)

式中T稱為降階轉(zhuǎn)換矩陣。將式(6)代入式(2)并左乘TT,可得

(7)

(8)

(9)

對剛度陣和質(zhì)量陣,可利用式(6)中的轉(zhuǎn)換矩陣進行重新降階,得到廣義坐標下帶有失諧改變量的子結(jié)構(gòu)振動微分方程

(10)

葉盤中將每個扇區(qū)作為一個子結(jié)構(gòu),系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)與葉片數(shù)目N相同,對接形式如圖1所示。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件,第i個子結(jié)構(gòu)的左界面與第i+1個子結(jié)構(gòu)的右界面位移一致;根據(jù)力平衡條件,第i個子結(jié)構(gòu)的左界面力與第i+1個子結(jié)構(gòu)的右界面力之和為0。由N個子結(jié)構(gòu)組成的整體葉盤振動微分方程可表示為

圖1 葉盤扇區(qū)對接示意

(11)

式中

(12)

(13)

為方便級數(shù)展開,將多個子結(jié)構(gòu)失諧量矩陣構(gòu)成的整體失諧改變矩陣統(tǒng)一表示為一小參數(shù)ε*與矩陣乘積的形式

(14)

(15)

(16)

(17)

式中:Φp、Λp分別為失諧葉盤特征向量、特征值矩陣。將第i階失諧模態(tài)振型與頻率按ε*進行展開。由于葉盤失諧為小量,保留ε*的1次項進行近似計算,即

(18)

(19)

將式(18)(19)代入式(17),利用待定系數(shù)法,等式兩端ε的1次項系數(shù)應(yīng)相等,即

(20)

整理得

(21)

(22)

式中:Cj為對應(yīng)項系數(shù);ns為截取的諧調(diào)模態(tài)振型數(shù)量。

(23)

當i≠j時,利用正交振型規(guī)范條件可得

(24)

當i=j時,利用正交振型規(guī)范條件可得

(25)

2 失諧葉盤模態(tài)計算

以NASA Rotor#67葉盤[14]為研究對象,采用攝動降階法對失諧葉盤進行模態(tài)分析。葉盤整體結(jié)構(gòu)如圖2所示,葉盤整體結(jié)構(gòu)共包含22個葉片扇區(qū),每個扇區(qū)自由度為5.8萬,整個葉盤自由度為128萬。

圖2 失諧葉盤整體結(jié)構(gòu)

而在利用常規(guī)降階方法(模態(tài)綜合法)計算失諧葉盤模態(tài)時,計算按照圖3右側(cè)流程進行,在計算不同失諧分布情況下的葉盤模態(tài)時,需要重新定義失諧量并進行降階。得到整體失諧矩陣后,再進行完整的特征值求解過程。攝動方法的優(yōu)勢在于利用了已有的諧調(diào)葉盤模態(tài)結(jié)果,只需考慮變化的失諧部分,將失諧頻率與振型轉(zhuǎn)化為式(21)、式(25)的矩陣乘積形式,計算速度高于完整矩陣特征值求解過程的速度,有效提高了失諧葉盤模態(tài)計算效率。

圖3 攝動降階方法與常規(guī)計算方法流程對比

圖4 隨機失諧量分布情況

隨機失諧量分布情況如圖4所示,設(shè)定保留的模態(tài)階次Ψk為100。利用攝動降階法計算得到了該葉盤前100階固有頻率,對于同樣模型,分別利用完整非降階方法與模態(tài)綜合法計算得到失諧葉盤的相同階次固有頻率,3種計算結(jié)果如圖5所示,可知攝動降階法的計算結(jié)果與完整法計算結(jié)果相吻合,葉盤頻率分布呈現(xiàn)明顯的階梯特征,不同階梯處分別對應(yīng)不同的葉片振動階次,在各個階梯之間存在若干個葉片與輪盤相互耦合的過渡模態(tài)。

圖5 葉盤前100階模態(tài)頻率分布

以完整法計算結(jié)果為基準,分別作出常規(guī)降階方法與攝動降階法計算前100階模態(tài)頻率的相對誤差,固有頻率計算相對誤差隨失諧強度σ的變化如圖6所示。由圖6可知:失諧強度為0.01時,攝動降階法對固有頻率的計算誤差可以保持在0.25%以下;失諧強度增大至0.02后,攝動降階法計算誤差出現(xiàn)一定波動,大部分頻率的計算誤差仍維持在0.3%以下;失諧強度為0.03時,根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理,失諧量最大將達到6%,葉片間剛度的誤差已達到極端值,實際工況下已很難發(fā)生,誤差仍控制在0.3%左右,說明該算法在失諧強度為0.03以內(nèi)時具有較好的精度穩(wěn)定性。

失諧強度為0.01時分別統(tǒng)計了3種方法計算前100階模態(tài)的耗時,如表1所示。當Ψk取為100時,完整法計算時間為320 s;常規(guī)降階法計算時間為34.5 s,約為完整法計算時間的9.4%;攝動降階法計算時間為11.2 s,約為完整法的3.5%。常規(guī)降階法采用完整矩陣特征值來求解,而攝動降階法采用失諧矩陣與諧調(diào)矩陣乘積的形式計算特征值,其計算效率高于常規(guī)降階法。

當Ψk數(shù)目由100增至800時,利用常規(guī)降階方法計算時,特征值求解的時間復(fù)雜度為O(n3)[15],降階整體矩陣維度變?yōu)樵瓉淼?倍,計算時間將顯著增加,總耗時由34.5 s增至185.2 s。攝動降階法僅計算振型向量與矩陣的乘積,計算復(fù)雜度為O(n2),計算耗時相對于常規(guī)降階法大大降低,總耗時僅由11.2 s增至24.2 s。攝動降階法在較高的主模態(tài)數(shù)目下,計算失諧葉盤固有頻率仍具有較高的效率。

(a)σ=0.01

(b)σ=0.02

(c)σ=0.03圖6 固有頻率計算相對誤差隨失諧強度的變化

Ψk計算時間/s完整法常規(guī)降階法攝動降階法10032034.511.220032052.313.040032099.917.9800320185.224.2

進一步討論保留主模態(tài)階數(shù)對計算精度的影響,失諧強度為0.01時,將保留的主模態(tài)階數(shù)分別增至200、400后,再次對比了攝動降階法與常規(guī)降階法的計算誤差,如圖7所示。當k=200時,攝動降階法的計算誤差波動程度較圖6b降低至0.2%以下。提高Ψk數(shù)至400,攝動降階方法計算誤差進一步降至0.15%以下。較多主模態(tài)數(shù)可以保留更多的子結(jié)構(gòu)振型信息,攝動降階法利用該部分原始數(shù)據(jù)對失諧結(jié)構(gòu)進行求解,故提高Ψk數(shù)可顯著降低攝動降階法的計算誤差?？紤]整體前100階模態(tài)可滿足分析需求,保留主模態(tài)Ψk數(shù)為整體模態(tài)數(shù)目的4倍時,即可保證較高的計算精度。

(a)Ψk=200

(b)Ψk=400圖7 各階模態(tài)頻率計算相對誤差隨Ψk數(shù)的變化

圖8 完整法第2階模態(tài)位移云圖與葉尖節(jié)點位置示意

為突出失諧特征對振型的影響,取各葉片葉尖處節(jié)點位移進行討論,節(jié)點位置如圖8所示。將22只葉片按照順時針順序依次編號為1～22,分別提取完整法與攝動降階法計算得到的葉盤第2階與第3階模態(tài)中葉尖相同位置的模態(tài)位移,不同階次下攝動降階方法模態(tài)位移計算結(jié)果圖9所示,可知攝動降階方法計算結(jié)果與完整法的結(jié)果吻合,葉盤發(fā)生失諧后,相鄰葉尖模態(tài)位移出現(xiàn)突變,發(fā)生了模態(tài)局部化現(xiàn)象。

(a)階次為2

(b)階次為3圖9 不同階次下攝動降階方法模態(tài)位移計算結(jié)果

保持失諧強度為0.03,統(tǒng)計了第7、14、21只葉片葉尖前100階歸一化模態(tài)位移的計算誤差,葉尖節(jié)點歸一化模態(tài)位移計算誤差如圖10所示,可知計算誤差基本小于0.25%,其中第20、40、70階左右計算誤差波動較為明顯。對比圖5可知,該模態(tài)階次屬于葉片輪盤耦合過渡模態(tài),此時耦合作用使振動的非線性性質(zhì)顯著,而攝動方法以線性展開逼近精確解,此區(qū)域的計算誤差有所波動,但總體依然保持在0.25%以下,滿足工程計算精度要求。

(a)階次為22

(b)σ=0.03圖10 葉尖節(jié)點歸一化模態(tài)位移計算誤差

3 結(jié) 論

本文提出了一種用于計算失諧葉盤模態(tài)的攝動降階方法,以Rotor#67葉盤作為算例進行驗證。在隨機失諧強度為0.01時,攝動降階方法對前100階頻率計算誤差在0.15%以下,失諧強度增加至0.03后,固有頻率的計算誤差低于0.3%,葉尖模態(tài)位移的計算誤差低于0.25%,具有較高的精度穩(wěn)定性。保留的主模態(tài)階數(shù)為整體模態(tài)數(shù)目的4倍時,可保證較高的計算精度。在計算效率方面,主模態(tài)數(shù)為100時,攝動降階方法計算時間僅為常規(guī)降階法計算時間的30%。分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)葉盤在多種不同失諧分布形式下的振動特征時,攝動降階法可加快葉盤固有頻率與振型的計算速度。

本文方法主要針對單級葉盤進行分析,后續(xù)可在本方法基礎(chǔ)上針對多級葉盤軸耦合結(jié)構(gòu)開發(fā)出面向多部件系統(tǒng)的攝動降階方法,考慮各部件之間的相互影響,從而更加精確地分析失諧葉盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。