威布爾分布下小樣本P-S-N曲線擬合方法

白恩軍,黃樹濤,謝里陽

(1.沈陽理工大學汽車與交通學院,110159,沈陽;2.東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室,110819,沈陽)

P-S-N(失效概率-應(yīng)力-循環(huán)次數(shù))曲線是工程上評估結(jié)構(gòu)件和零部件疲勞可靠性的有力工具,學者提出了包括大樣本和小樣本疲勞壽命數(shù)據(jù)的多種P-S-N曲線擬合方法[1-5]。通過擬合大樣本疲勞壽命數(shù)據(jù)可以直接獲得統(tǒng)計參數(shù)。在一些小樣本的統(tǒng)計分析中,經(jīng)常借助貝葉斯方法獲得疲勞壽命分布的統(tǒng)計參數(shù),或者改進大樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法,使其適合小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[6-9]。

惠民等提出了疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析異方差回歸的分析方法[10]。劉瀟然等提出了基于非嵌入多項式混沌展開及貝葉斯更新方法的小樣本中等壽命區(qū)P-S-N曲線預(yù)測方法[11]。趙永翔等提出了拓展極大似然法的3參數(shù)P-S-N曲線預(yù)測方法[12]。盛興旺等提出了基于小樣本數(shù)據(jù)的構(gòu)件疲勞破壞全壽命區(qū)的雙對數(shù)雙折線S-N曲線擬合方法[13]。謝里陽等提出了基于樣本聚集原理的疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的小樣本P-S-N曲線擬合方法[14]。一些學者應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和重構(gòu)造等壽命疲勞曲線方法預(yù)測了復(fù)合材料的疲勞壽命及擬合材料的P-S-N曲線[15-17]。GB/T 24176—2009標準中詳細地闡述了金屬材料疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的P-S-N曲線擬合方法[18],但是對于疲勞壽命服從威布爾分布的小樣本P-S-N曲線,沒有給出具體的統(tǒng)計分析和擬合方法。

因此,基于疲勞失效跡線的概念,疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布的P-S-N曲線擬合方法相繼提出[19-21]。本文基于疲勞失效跡線概念,根據(jù)半對數(shù)坐標下各級應(yīng)力水平的疲勞壽命的均值(期望)和標準差與各級應(yīng)力水平呈線性關(guān)系的假設(shè),通過逐步改變線性關(guān)系系數(shù),再根據(jù)每個線性方程將不同應(yīng)力水平的疲勞壽命等效轉(zhuǎn)換到最高應(yīng)力水平,通過檢驗等效到最高應(yīng)力水平的疲勞壽命的均值與已知的最高應(yīng)力水平的均值的相對誤差,確定假設(shè)的線性關(guān)系系數(shù),反推疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布的統(tǒng)計參數(shù),實現(xiàn)了疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布的小樣本P-S-N曲線的擬合,并通過算例分析,證明了本文方法的可行性。

1 P-S-N曲線擬合原理

1.1 疲勞壽命等效轉(zhuǎn)換

同一試件在不同應(yīng)力水平下測試,得到的疲勞壽命數(shù)據(jù)在各級應(yīng)力水平下具有相同的概率分位點[19-20]?；诖嗽?本文提出服從兩參數(shù)威布爾分布的小樣本P-S-N曲線擬合方法。

對于威布爾分布,不同應(yīng)力水平下具有的相同疲勞壽命概率分位點可表達為

P(ni,j)=P(nk,j)

(1)

式中:ni,j代表試件j在第i級應(yīng)力水平的疲勞壽命;nk,j代表試件j在第k級應(yīng)力水平的疲勞壽命;P代表失效概率。

因此,對于疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布,將不同應(yīng)力水平的疲勞壽命等效到最高應(yīng)力水平,得到各參數(shù)的關(guān)系為

(2)

(3)

其中,Γ(x)代表伽馬函數(shù),Ei和Di分別代表第i級應(yīng)力水平的疲勞壽命的均值(期望)和方差。

由于式(3)中包含3個伽馬函數(shù),在解λi和ηi時,無法寫出顯式表達式,因而采用逐步搜索法,具體步驟如下。

(1)將式(3)中的2個公式聯(lián)合,寫成關(guān)于形狀參數(shù)ηi的等式,得到

(4)

令式(4)左側(cè)為形狀參數(shù)ηi的函數(shù)f(ηi),右側(cè)為常數(shù)項Ci,得到

(5)

(2)令初值η0=0,步長Δη=0.001,ηk+1=ηk+Δη(k=0,1,2,…)。通過逐步搜索方法,計算f(ηi)與Ci的相對誤差Δ,當Δ小于給定值(如0.001)時,則認為此ηi即為所求的解,公式為

(6)

1.2 疲勞壽命均值、標準差與應(yīng)力水平的線性關(guān)系

根據(jù)式(3)解出疲勞壽命的均值(期望)Ei和方差Di,即可估算出各級應(yīng)力水平疲勞壽命的統(tǒng)計參數(shù),擬合P-S-N曲線。

大量試驗研究結(jié)果顯示,金屬材料試樣對數(shù)疲勞壽命的均值和標準差與應(yīng)力水平呈線性關(guān)系[19-21]。圖1為某鋁合金試樣疲勞壽命的均值和標準差線性擬合結(jié)果,置信度為95%。

圖1 某鋁合金板材試樣疲勞壽命的均值和標準差

從圖1可知,疲勞壽命的均值和標準差與應(yīng)力水平呈線性關(guān)系。因此,半對數(shù)坐標下各級應(yīng)力水平疲勞壽命的標準差σi與應(yīng)力水平si的關(guān)系式為

σi=σ1+k(s1-si)

(7)

式中:σi代表第i級應(yīng)力水平的疲勞壽命對數(shù)標準差;k代表對數(shù)標準差與應(yīng)力水平關(guān)系直線的斜率。

從式(7)可知,只要找到一個合理的k,即可根據(jù)第1級應(yīng)力水平疲勞壽命的標準差求解其他3級應(yīng)力水平疲勞壽命的標準差。

2 P-S-N曲線擬合方法

通過式(7)將各級應(yīng)力水平疲勞壽命等效到第1級應(yīng)力水平,將等效后的疲勞壽命數(shù)據(jù)與第1級應(yīng)力水平的疲勞壽命數(shù)據(jù)混合,計算混合后的疲勞壽命數(shù)據(jù)的均值與第1級應(yīng)力水平的疲勞壽命均值的相對誤差,確定合理的k和各級應(yīng)力水平的疲勞壽命標準差,進而擬合P-S-N曲線,具體方法如下。

以4級應(yīng)力水平為例。在做疲勞試驗時,由于金屬材料在高應(yīng)力水平下疲勞壽命的分散性較小,并且疲勞試驗過程時間較短,因此選擇在最高應(yīng)力水平上做15個試件,其他每級應(yīng)力水平做3個試件,共需24個疲勞試件。

以疲勞試驗方案15-3-3-3共24個疲勞試件為例,確定合理的k值和各級應(yīng)力水平疲勞壽命標準差,并擬合疲勞壽命P-S-N曲線的方法如下。

(1)選擇4級應(yīng)力水平做疲勞試驗,疲勞壽命的范圍覆蓋104～106次。在最高的應(yīng)力水平s1做15個疲勞試件,并記錄各試件的壽命為n1,j(j=1～15),其他3級應(yīng)力水平各做3個疲勞試件,并記錄各試件的疲勞壽命為ni,j(i=2～4,j=1～3)。

(8)

(3)由最小二乘法擬合4級應(yīng)力水平對數(shù)疲勞壽命的均值(期望)的線性方程,并由此回歸方程求解4級應(yīng)力水平的疲勞壽命期望E1、E2、E3、E4。

(4)由式(7)估算其他3級應(yīng)力水平的疲勞壽命的標準差,并令初值k0=0,ku+1=ku+Δk(Δk為增量,如10-5MPa-1)。由每一個假設(shè)的k確定的其他3級應(yīng)力水平疲勞壽命的標準差,計算疲勞壽命的方差Di=102σi。由式(3)～(6)估算每級應(yīng)力水平疲勞壽命的尺度參數(shù)λi和形狀參數(shù)ηi。

(9)

若同時滿足設(shè)定的相對誤差條件(如Δ<0.001)和η1>η2>η3>η4,則說明k值和各級應(yīng)力水平疲勞壽命分布參數(shù)值即為所求的合理的值。

由各級應(yīng)力水平疲勞壽命的尺度參數(shù)λi和形狀參數(shù)ηi可計算各級應(yīng)力水平下不同失效概率的疲勞壽命分位點,進而擬合P-S-N曲線。

3 算例分析與討論

3.1 擬合方法驗證

傳統(tǒng)方法使用各級應(yīng)力水平所有疲勞壽命數(shù)據(jù)擬合疲勞壽命分布,進而獲得各級應(yīng)力水平的相同概率壽命分位點來擬合P-S-N曲線。為驗證本文提出的疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布的小樣本P-S-N曲線擬合方法,以文獻[21]中的齒輪疲勞壽命數(shù)據(jù)為例,與傳統(tǒng)方法對比分析。齒輪疲勞壽命數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 各應(yīng)力水平下齒輪疲勞壽命數(shù)據(jù)[21]

為驗證本文方法,利用表1中最高級應(yīng)力水平的所有疲勞壽命數(shù)據(jù),采用加權(quán)最小二乘法擬合出最高級應(yīng)力水平的疲勞壽命分布參數(shù),其他2級應(yīng)力水平的計算則采用疲勞壽命數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值,通過本文方法估算疲勞壽命分布參數(shù)。在Δ<0.001和k=0.025 MPa-1時,本文方法擬合的各級應(yīng)力水平疲勞壽命統(tǒng)計參數(shù)如表2所示,擬合的可靠度為50%和90%的S-N曲線如圖2所示。

表2 各級應(yīng)力水平下的疲勞壽命的統(tǒng)計參數(shù)

圖2 本文方法與傳統(tǒng)方法擬合的S-N曲線的對比

分析圖2可知,本文方法擬合的可靠度為50%和90%的S-N曲線與傳統(tǒng)方法的擬合結(jié)果在斜率上的相對誤差分別為0.12%和0.41%,截距上的相對誤差分別為0.01%和0.37%,相對誤差均小于1%,說明本文方法擬合P-S-N曲線的效果較好。

3.2 不同擬合方案的對比分析

基于表1中的疲勞壽命數(shù)據(jù),設(shè)計2個P-S-N曲線擬合方案如下。

方案1:假設(shè)使用最高級應(yīng)力水平全部8個疲勞壽命數(shù)據(jù),其他2級應(yīng)力水平各使用3個疲勞壽命數(shù)據(jù)(表1中對應(yīng)行前3個疲勞壽命數(shù)據(jù)),構(gòu)成8-3-3疲勞壽命數(shù)據(jù)的P-S-N曲線擬合方案。在Δ<0.001和k=0.025 MPa-1時,應(yīng)用本文提出的方法擬合此方案,得到各級應(yīng)力水平下的疲勞壽命統(tǒng)計參數(shù),結(jié)果如表3所示。

表3 采用方案1時各級應(yīng)力水平下的疲勞壽命統(tǒng)計參數(shù)

方案2:使用最高級應(yīng)力水平全部8個疲勞壽命數(shù)據(jù),其他2級應(yīng)力水平各使用5個疲勞壽命數(shù)據(jù)(表1中對應(yīng)行前5個疲勞壽命數(shù)據(jù)),構(gòu)成8-5-5疲勞壽命數(shù)據(jù)的擬合方案。在Δ<0.001和k=0.025 MPa-1時,應(yīng)用本文提出的方法擬合此方案,統(tǒng)計參數(shù)如表4所示。

使用本文方法擬合以上2個方案的可靠度為90%的S-N曲線,并與傳統(tǒng)方法擬合的可靠度為90%的S-N曲線進行對比,結(jié)果如圖3所示。分析可知:本文方法擬合方案8-3-3與傳統(tǒng)方法擬合的可靠度為90%的S-N曲線在斜率上相對誤差為9.91%,截距上相對誤差為5.4%;本文方法擬合方案8-5-5與傳統(tǒng)方法擬合的可靠度為90%的S-N曲線在斜率上相對誤差為9.31%,截距上相對誤差為4.13%;本文方法擬合的S-N曲線在半對數(shù)坐標下,斜率和截距與傳統(tǒng)方法的相對誤差均在10%以內(nèi)。

表4 采用方案2時各級應(yīng)力水平下的疲勞壽命統(tǒng)計參數(shù)

圖3 2種方法擬合的可靠度為90%的S-N曲線

圖4為本文方法擬合2種方案時,得到的疲勞壽命均值回歸曲線,可以看出,本文2個擬合方案的疲勞壽命的均值與傳統(tǒng)方法回歸的疲勞壽命的均值存在一定的相對誤差。由于2種擬合方案使用的疲勞壽命數(shù)據(jù)量不同,因而獲得的疲勞壽命的均值存在差異。

圖4 本文方法擬合2種方案的疲勞壽命均值回歸曲線

由以上分析可見,當小樣本試驗疲勞壽命數(shù)據(jù)越接近母體壽命時,擬合P-S-N曲線的效果越好。本文方法相對傳統(tǒng)擬合方法的優(yōu)點是當試驗數(shù)據(jù)很少,很難通過傳統(tǒng)方法獲得每級應(yīng)力水平的疲勞壽命統(tǒng)計參數(shù),或者獲取較多試驗數(shù)據(jù)的試驗成本很高時,本文方法基于小樣本數(shù)據(jù)就能夠獲得較為理想的擬合參數(shù),擬合出疲勞壽命服從兩參數(shù)威布爾分布的P-S-N曲線。

應(yīng)用本文方法時,需要注意以下3點:①所有使用的數(shù)據(jù)需為有效數(shù)據(jù);②如果試驗數(shù)據(jù)分散性較大,在條件允許的情況下,在疲勞壽命數(shù)據(jù)分散性大的應(yīng)力水平補做幾個試件,是較有效的一種減小擬合相對誤差的方式;③如果只有這些數(shù)據(jù),無法再補充疲勞壽命數(shù)據(jù),對于那些傳統(tǒng)大樣本方法無法解決的統(tǒng)計分析問題,本文方法也可以得到具有參考價值的結(jié)果,統(tǒng)計結(jié)果也是有一定意義的。

4 結(jié) 論

本文根據(jù)疲勞失效跡線概念,提出了疲勞壽命服從2參數(shù)威布爾分布的小樣本P-S-N曲線擬合方法,基于文獻[21]的疲勞壽命數(shù)據(jù),應(yīng)用本文提出的方法擬合P-S-N曲線,并與傳統(tǒng)方法對比分析,結(jié)果顯示:擬合方案8-3-3與8-5-5均可以擬合出較準確的P-S-N曲線;方案8-3-3和8-5-5與傳統(tǒng)方法擬合的可靠度為90%的S-N曲線的斜率/截距的相對誤差分別為9.91%/5.4%和9.31%/4.13%;本文方法可行。

本文將不同應(yīng)力水平的疲勞壽命數(shù)據(jù)共享,極大地減小了試驗成本,并能夠擬合出較準確的結(jié)果。