初中數(shù)學二次函數(shù)的最值問題探究

連翰華

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學中最重要和最棘手的問題之一，尤其是二次函數(shù)的最值問題，這方面一直是學生頭痛的問題。不論是中考還是初高中銜接中，關(guān)于二次函數(shù)最大值的問題是一個不變的考驗，特別是因為研究這些問題有助于培養(yǎng)學生的問題解決能力和創(chuàng)新思維能力。二次函數(shù)作為函數(shù)知識的核心部分，主要以所有類型試卷中的解決問題的形式存在。作者從事初中數(shù)學教育，注重培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力。本文通過對典型案例的分析，強調(diào)了初中數(shù)學二次函數(shù)中最有價值問題的解決策略，為讀者帶來一些參考和借鑒價值。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 最值 中考 策略

【中圖分類號】G 633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-8877（2019）11-0077-02

二次函數(shù)不僅是初中數(shù)學學習的難點，也是初中數(shù)學教學的重點。因此，初中生可以成功掌握二次函數(shù)的所有知識，主要是通過運用數(shù)學思想來檢驗學生解決問題的能力。

1.二次函數(shù)在初中學習的意義

初中二次函數(shù)的重點是要求學生理解和掌握圖像和性質(zhì)，并要求學生學會畫二次函數(shù)的圖像、觀察圖像、讀取二次函數(shù)圖像包含的信息。該信息還要求學生研究二次函數(shù)的性質(zhì)，并通過二次函數(shù)圖像解決問題。通過解決實際問題，學生可以深刻感受到數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的緊密聯(lián)系，學生將體驗數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，并欣賞數(shù)學的應(yīng)用價值。二次函數(shù)的實際問題要求學生具有一定的閱讀理解能力，數(shù)據(jù)處理能力，將實際問題分類為數(shù)學問題的能力，分析推理技巧，嚴謹?shù)乃季S能力以及分析問題的能力和練習動手的能力。因此，實際問題的答案涉及學生多方面能力的整合，通過實際問題教學，學生可以培養(yǎng)數(shù)學應(yīng)用意識，優(yōu)化學生思維素質(zhì)。

2.結(jié)合例題分析二次函數(shù)解題技巧

例1.自變量 取任意實數(shù)時，求函數(shù)最值.二次函數(shù) ，當x=______時，y有最_____值_______.

例2：限定自變量的取值范圍，求函數(shù)最值.

（1）當x≥2時，函數(shù) y 有最值；

（2）當x≤-1時，函數(shù)y有最值；

（3）當x≥-1時，函數(shù)y有最值；

（4）當x≤2時，函數(shù)y有最值；

（5）當-1≤x≤2時，函數(shù)y有最值；

由于二次函數(shù)具有連續(xù)性特征，因此?？疾槠湎薅ㄗ宰兞咳≈捣秶鷷r函數(shù)的最值，確定“兩點一線”——頂點坐標、端點坐標和二次函數(shù)對稱軸是處理這些問題的關(guān)鍵，這些問題可以通過畫草圖，如圖1，畫出函數(shù)圖象解決第1題，如圖2，描出自變量所對應(yīng)部分的函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想來解決最值問題，同時也解決了限定自變量時，函數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求最大值和最小值問題，并從中培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維習慣和能力。

3.含參二次函數(shù)的最值問題

已知二次函數(shù) （ 為常數(shù)）.①在自變量 的值滿足 的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值 的最小值為1，求 的范圍；②在自變量 的值滿足 的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值 的最小值為5，求 的值；

分析：由題意得，二次函數(shù)的頂點坐標是（h，1），a=1>0，開口向上，∵h≤1時，1≤x≤3，y隨x的增大而增大，當x=1時，y有最小值 ，②當h≥3時，1≤x≤3，y隨x的增大而減小，當x=3時，y有最小值 ，綜上得h=-1或h=5.含參二次函數(shù)求最值問題，運用分類思想，對對稱軸是否在自變量范圍內(nèi)進行分類討論，并畫草圖數(shù)形結(jié)合解決相應(yīng)最值問題。

4.中考福建省省中考卷第23題

23.（10分）在足夠大的空地上有一段長為a米舊墻MN。某人利用一邊靠舊墻和另三邊用總長100米的木欄圍成一個矩形菜園ABCD。

（2）已知0<α<50，且空地足夠大，如圖，請合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大值，并求面積的最大值。

分析：設(shè)AD=x米，矩形ABCD 的面積為S平方米。若按圖3的方案圍成矩形菜園，依題意得 ，0

∵0<α<50，所以當x≤α<50時，S隨x的增大而增大，當x=a時，

若按圖4方案圍城矩形菜園，得

本題將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學中二次函數(shù)的最值問題。同樣并考慮實際問題中自變量的取值范圍。我們可以類比例1例2的方法，遷移至本題中，通過分類，畫草圖分析從而提高學生解決實際問題的能力。

5.結(jié)語

綜上所述，在課堂教學過程中，教師應(yīng)把解決二次函數(shù)最大值的問題放在核心位置，根據(jù)初中生的特點，現(xiàn)有水平等，教材的內(nèi)容應(yīng)該適度困難，堅持“因材施教、循序漸進”的原則，借助多媒體，更直觀地呈現(xiàn)教科書內(nèi)容，降低知識點難度，提高學生的學習積極性，引導他們準確理解二次函數(shù)的相關(guān)知識點，掌握解決問題最多的技巧，突破教學的難點和關(guān)鍵點，將子功能知識靈活運用到實踐中。通過這種方式，學生的數(shù)學素養(yǎng)將逐步培養(yǎng)，思維分化，有利于培養(yǎng)初中生數(shù)學問題解決思維能力，有助于快速找到二次函數(shù)。最有價值問題的最佳思路和解決方案，本章的知識將是更好地學習，以便他們可以在更高的層次上學習更好。在一定程度上，它可以按照新的課程標準，提升初中數(shù)學教學的客觀要求，真正致力于以更廣闊的發(fā)展前景進行素質(zhì)教育。

參考文獻

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