向量模的最值問題典例剖析

李正順

向量是近代數(shù)學中重要的基本概念之一，有深刻的幾何背景，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種有力工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學和物理學科中也具有廣泛的應(yīng)用。所以向量成為每年高考的一個熱點，向量模的最值問題更是熱點中的熱點，每年?？疾凰?，下面通過典型例題剖析與向量模的最值相關(guān)的幾種問題。

1、以向量的相互關(guān)系為載體求向量模的最值

這是一種最常見的題型，此類問題一般是通過幾個向量之間的某種關(guān)聯(lián)做為已知，來求未知向量模的最值；請看下面問題：

例.已知 是平面向量， 是單位向量，若非零向量 與 的夾角為 ，向量 滿足 ，求 的最小值。

思路探求：本題是以向量為載體求相關(guān)向量模的最值問題，需要先確定向量 所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系巧妙的實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。

解：設(shè)

則由 得 ，

由

得

因此 的最小值為圓心 到直線 的距離 減去半徑1，為

方法點睛：此類向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的綜合問題；解決的關(guān)鍵是將問題進行合理的轉(zhuǎn)化?？梢酝ㄟ^向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系。

2、已知向量模的最值求參數(shù)的取值范圍

求參數(shù)范圍問題是各類考試的一個熱點，以向量模的最值為背景更增加了題目的靈活性，如何將二者有機結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵。請看下例，

例、在

恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。

思路探求：從已知可以得出向量AC的模長，所以相當于左邊向量模的最小值已知，只需將其平方，化為t的二次不等式即可解出t范圍.

解：在直角三角形ABC中，易知AC=1， 由

方法點睛：將已知合理變型，尋找已知與所求之間的聯(lián)系是解決此類問題的核心所在。

3.已知向量模長求向量模的最值

給出向量的模，求解其他向量模的最值是一種常見問題，這種問題只給出向量的模長，向量之間關(guān)系不明確。需要通過向量的運算來梳理，同時需要綜合運用其他知識求解，請看問題；

例.已知向量 滿足 ，求 的最小值和最大值。

思路探求一：向量之間的沒有直接的關(guān)系，所以需要創(chuàng)造條件來建立向量之間的聯(lián)系，可以通過向量間的夾角實現(xiàn)二者的關(guān)聯(lián)，同時解題過程需要三角函數(shù)知識做為基礎(chǔ)。

解法一：設(shè)向量 和 的夾角為 ，由余弦定理有 ，

，

則 ，

令 ，則 ，據(jù)此可得： ， ，即 的最小值為4，最大值為 .

思路探求二：注意到相關(guān)量的幾何特征，可以通過數(shù)形結(jié)合及線性規(guī)劃求向量模的最值。

解法二記 ，則 ，由余弦定理可得： ， ，令 ， ，則 ，其圖象為一段圓弧 ，如圖，令 ，則 ，

則直線 過 、 時 最小為 ，當直線 與圓弧 相切時 最大，由平面幾何知識易知 即為原點到切線的距離的 倍，也就是圓弧 所在圓的半徑的 倍，所以 .綜上所述， 的最小值為4，最大值為 .

方法點睛：這類問題通常涉及的知識面較廣，解決問題時可能會利用函數(shù)的最值及其幾何意義，數(shù)形結(jié)合能力，余弦定理、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識，需通過解題進行方法的積累。

4.已知向量數(shù)量積求模的最值

數(shù)量積是向量的一種基本運算，無論是在代數(shù)還是幾何方面都有廣泛應(yīng)用，通過向量的數(shù)量積，可以求向量間的夾角，可以求向量的模長，也可以證明平行與垂直問題，通過數(shù)量積做為載體求向量模的最值也是常用的方法，請看下題：

例、已知 是空間單位向量， ，若空間向量 滿足 ，且對于任意 ， ，求

思路探求：由題意和數(shù)量積的運算可得< · >= ，不妨設(shè) =（ ， ，0）， =（1，0，0），由已知可解 =（ ， ，t），可得| ﹣（ |2=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，由題意可得當x=x0=1，y=y0=2時，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，由模長公式可得 |.

解：∵ · =| || |cos< · >=cos< · >= ，

∴< · >= ，不妨設(shè) =（ ， ，0）， =（1，0，0）， =（m，n，t），

則由題意可知 = m+ n=2， =m= ，解得m= ，n= ，∴ =（ ， ，t），

∵ ﹣（ ）=（ ﹣ x﹣y， ，t），

∴| ﹣（ |2=（ ﹣ x﹣y）2+（ ）2+t2

=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，

由題意當x=x0=1，y=y0=2時，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，

此時t2=1，故 |= =2

方法點睛：本例巧妙的利用空間向量的坐標將看似非常復雜，關(guān)系錯亂的向量之間聯(lián)系起來，通過坐標運算實現(xiàn)了問題向簡單轉(zhuǎn)化。

5、已知向量模的最值求數(shù)量積（數(shù)量積的最值）

這是與上面類型相反的一種問題，需要將已知的向量模的最值進行合理變化，找到最值與數(shù)量積之間的關(guān)系，舉例如下：

例、已知平面向量 ， ， ， .若對任意單位向量 ，均有 ，則 的最大值是_________.權(quán)所

思路探求一：根據(jù)向量三角形不等式的關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進行計算即可得到結(jié)論.

解：∵|（ + ）· |=| · + · |≤| · |+| · |≤ ，

∴|（ + ）· |≤| + |≤ ，平方得：| |2+| |2+2 · ≤6，

即12+22+2 · ≤6，則 · ≤ ，故 · 的最大值是 ，

思路探求二：可以將相關(guān)向量坐標化，再利用三角函數(shù)的最值求出數(shù)量積的最值。

解：令 則由 ，可得

（1）令 （2）

（1） +（2） 得：4[ ] + 對一切實數(shù) 恒成立，所以4[ ] ，故 [ ]

方法點睛：此類題目主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)以及向量三角形不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，有一定的難度.

6、以解析幾何為背景的向量模的最值

向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)最值問題。

例、已知動點P（x，y）在橢圓上C 上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，若點M滿足 ，求 的最小值。

思路探求：由已知可知M的軌跡是園，數(shù)量積為零則給出了直角三角形，結(jié)合橢圓焦半徑范圍可解要求最值。

解：由橢圓的方程知其右焦點F為（3，0）因為 ，所以點M的軌跡是以F為園心，1為半徑的園，由于 ，所以 ，在Rt

，由于點P（x，y）在橢圓上，所以 ，即 所以 可知 的最小值為

方法點睛：解析幾何中這種向量模的最值問題大量存在，只有在熟悉解析幾何的基礎(chǔ)上才能靈活處理。解題中注意各條件之間的聯(lián)系，合量利用有關(guān)圖形的幾何性質(zhì)。另外在立體幾何同樣也會遇到這種向量模的最值問題，在此不再展開。

以上所論述的是向量模的最值的常見題型，實際上，向量模的最值問題遠遠不止這些，本文只想通過這幾種題型的介紹，起到一個拋磚引玉的作用，有許多不足之處希望各位專家與同行們加以批評與指正。

反饋練習：

1、設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為π6，則|x||b|的最大值等于 .

2、已知平面向量 滿足 ，且 與 的夾角為120°，求| |的取值范圍.

3、已知 ， 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足（ ﹣ ）·（ ﹣ ）=0，求| |的最大值

4.已知向量 ≠ ，| |=1，對任意t∈R，恒有| -t |≥| - |，求證 ⊥（ - ）

答案：

1、解：|x||b|=|x|（xe1+ye2）2=|x|x2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx?3 22+14，所以|x||b|的最大值為2

2、解：令用 = 、 = ，如圖所示：

則由 = ，

又∵ 與 的夾角為120°，

∴∠ABC=60°

又由AC=

由正弦定理 得：| |= ≤ ∴| |∈（0， ]

故| |的取值范圍是（0， ]

3、解：.∵ ，

∵ ，

∴ ，∵cosθ∈[﹣1，1]，

∴ 的最大值是 .

說明本題也可以利用數(shù)形結(jié)合求解， ， 對應(yīng)的點A，B在圓x2+y2=1上， 對應(yīng)的點C在圓x2+y2=2上即可.

4、證明：由 -t |≥| - |得 ，

即， ， 即 ，

所以 ， ，即 （ - ）=0， ⊥（ - ）。