淺談高中數(shù)學思想方法的應用

徐冬梅

摘 要：數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的核心和精髓，是有效解決數(shù)學問題的重要手段，在學生的學習和思維發(fā)展中起著十分重要的作用。本文從“數(shù)形結(jié)合思想”“分類討論思想”“轉(zhuǎn)化化歸思想”三個方面展開討論，通過分析它們在高中數(shù)學中的應用，旨在幫助學生靈活應用數(shù)學思想解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學綜合素養(yǎng)。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學思想方法；靈活應用

高中數(shù)學的知識較為抽象、復雜，數(shù)學思想能夠幫助學生形成對知識的良好認知，提高思考、分析和解決問題的能力。但同時，由于高中數(shù)學知識的龐雜繁多，許多教師和學生受傳統(tǒng)觀念的束縛，只是一味重視淺層的數(shù)學知識和解題步驟，忽視了背后隱藏的數(shù)學思想，依靠題海戰(zhàn)術去緩慢摸索題目背后的思想，浪費大量的時間和精力，學習效果不甚理想。因此，廣大數(shù)學教師必須要更新教學理念，在教學中加強對數(shù)學思想方法的重視，同時在課堂上逐漸滲透這些思想。

一、利用數(shù)形結(jié)合思想，快速分析問題

數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)量關系和空間圖象結(jié)合在一起的一種思想，由于數(shù)學的學習研究總是圍繞“數(shù)”和“形”進行的，所以數(shù)形結(jié)合思想能夠有效幫助學生抓住問題的本質(zhì)，通過將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的“形”，避開繁瑣的推導和運算，使得解題過程更為簡便。

例如，在“函數(shù)單調(diào)性和奇偶性”的學習中就頻繁地用到了數(shù)形結(jié)合思想。教師可以利用圖象來解釋增減函數(shù)、奇偶函數(shù)的定義，借圖象可舉一些反例來強調(diào)學生往往容易忽略的“任意”二字的含義。在類似“討論函數(shù)f（x）=1/x（x∈R）的單調(diào)性”這樣的問題中，學生很容易將答案寫成“函數(shù)f（x）=1/x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”或是“函數(shù)f（x）=1/x在 內(nèi)單調(diào)遞減”，針對這種常見的問題，教師就可以利用反比例函數(shù)的圖象來解釋為什么該函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減的，幫助學生從圖象直觀地理解概念，找到思維誤區(qū)，有效糾正錯誤。此外，在解決函數(shù)問題時，往往也可以應用數(shù)形結(jié)合思想先將簡單函數(shù)圖象作出，再根據(jù)直觀的圖象理清思路，逐步分析。例如在習題“求函數(shù) 的值域”中，就可以先畫出以1/2為底的對數(shù)函數(shù)圖象，從圖象中找到定義域范圍內(nèi)的值域，再將這個值域加3。這樣的做法直觀簡便，不容易犯錯。

二、利用分類討論思想，規(guī)范解題

分類討論思想雖然較為基礎，但其應用十分廣泛，不僅能幫助學生在解題時形成條理清晰的嚴謹思路，而且有助于學生將學過的諸多知識進行歸納總結(jié)，形成系統(tǒng)化的知識網(wǎng)絡。

例如，在解決集合問題時，因為集合之間的關系和運算較為繁瑣，有時會出現(xiàn)很多中符合題目要求的情況，此時就可以利用分類討論思想去理清思路。在問題“已知集合 ，集合 ，且A∪B=A，求k的取值范圍”中，學生往往不夠嚴謹，會遺漏B=?這樣的情況，教師就可以在示范講解時，規(guī)范作答：“①B=?時，k+1 2k-1；②B ?時，2k-1 4；k+1 3”。這樣親身示范，逐漸滲透分類討論思想。再如，必修二立體幾何的知識點十分繁雜，教師就可以引導學生進行分類整理，將柱體、椎體和臺體的幾何特征進行歸納總結(jié)，再結(jié)合判斷題去分析每一條特征，找到常見的一些題目設置的陷阱，在無形中滲透分類討論思想，使學生在潛移默化中養(yǎng)成嚴謹?shù)乃悸泛土己玫膶W習習慣。

三、利用轉(zhuǎn)化化歸思想，解決復雜問題

許多數(shù)學問題，若是從何正面思考并進行攻克，雖然可行，但其解題過程不論是對計算量還是思維量的要求都十分高，有一定的難度。此時，利用轉(zhuǎn)化化歸思想，采用一定的手段將問題進行變換轉(zhuǎn)化，將未知解的問題轉(zhuǎn)化到已知的、可解的知識范圍內(nèi)，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，就會事半功倍。

例如，在問題“求函數(shù) 的反函數(shù)的定義域”中，“反函數(shù)”是學生接觸較少的知識，若是從正面思考，就要先求出函數(shù)的反函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象來分析其定義域，對學生對定義的理解應用和思維量都有較高的要求，此時可考慮將陌生的知識轉(zhuǎn)化到熟悉的領域內(nèi)，即利用“反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域”這個知識點，將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù) 的值域”，就使解題過程變得容易許多。再如，如果按照討論開口方向、對稱軸、判別式、區(qū)間端點值的正負去解決某些一元二次方程根的分布的題目，就需要很高的分析能力和十分嚴謹?shù)乃悸?，學生往往很難想得那么全面。因此，如果方程中出現(xiàn)了參數(shù)，并且能將其分離，那么往往采用分離參數(shù)的辦法，將問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的范圍，就只需要將參數(shù)另一邊的式子看作一個函數(shù)，去求解其值域即可。這個過程明顯就簡單了許多。

總之，數(shù)學思想方法在教師在潛移默化中教授給學生的，教師在實踐教學中，要不斷總結(jié)教學經(jīng)驗，并結(jié)合實際的學情，對數(shù)學概念、公式、經(jīng)典題目等進行深入挖掘，幫助學生掌握數(shù)學思想，以使學生能夠舉一反三，達到靈活應用數(shù)學知識的目的。

參考文獻

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