淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“符號意識”的培養(yǎng)

何翌

【摘要】“符號意識”是2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出的十大核心概念之一，在教學(xué)目標中明確提出“發(fā)展學(xué)生符號意識”這一要求。如何培養(yǎng)學(xué)生符號意識呢？本文從三個方面進行闡述：1.教學(xué)中要從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號，幫助學(xué)生感知數(shù)學(xué)符號;2.抽象出的數(shù)學(xué)符號要回到具體情境中進行檢驗、驗證，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號;3.解決數(shù)學(xué)問題的過程正是學(xué)生運用符號的過程，學(xué)生符號意識的發(fā)展是從解題需要的啟蒙到有意識地運用符號進行驗證、推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論所具有的一般性。教師在教學(xué)中要有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生運用符號進行歸納、計算、推理等。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)符號;符號意識

眾所周知，思維是對客觀的間接、概況的反映，而在主觀與客觀之間，符號起到了橋梁的作用?？陀^的東西經(jīng)過符號表征轉(zhuǎn)化成主觀的知識，主觀的意識又通過語言符號具有了一定的客觀性。思維本質(zhì)上是一種符號思維，思維必須借助符號才能進行。數(shù)學(xué)被人們稱為思維的體操，因此，符號在數(shù)學(xué)中的作用就更加重要，有人說它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。英國數(shù)學(xué)家羅素也曾說過：“數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。”2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）提出了10大核心概念，符號意識便是其中之一，《課標》指出：“符號意識”主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式?？梢?，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很大程度上依賴于對數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號的理解與運用。下面談?wù)劰P者在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生符號意識的培養(yǎng)。

一、從具體到抽象——感知數(shù)學(xué)符號

在百度上搜索，小學(xué)數(shù)學(xué)符號簡單地分為四種，一種是單純地表示幾何圖形或數(shù)的符號，比如，幾何圖形中表示線段、直線、射線、角等符號;阿拉伯?dāng)?shù)字：l、2、3……;用字母表示的數(shù)等;一種是表示數(shù)、圖、式或集合之間的關(guān)系的符號，比如，“=”“≈”“<”“>”;線、面關(guān)系中的“//”“⊥”等符號;第三種是運算符號，在小學(xué)中主要是“+”“一”“×”“÷”“：（比號）”等;第四種是表示運算順序的符號，主要包括（ ）、[ ] 等等。數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生正確理解符號的意義，準確把握符號的內(nèi)涵和外延是運用符號的前提，學(xué)生只有在正確理解數(shù)學(xué)符號、積累符號素材，具備一定的符號經(jīng)驗才能對符號非常敏感，遇到數(shù)學(xué)符號時，能快速敏捷地提取數(shù)學(xué)情境中的符號信息，并且得心應(yīng)手地運用符號，進行推理和運算。

如何才能讓學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號的意義呢？我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性和概括性，但數(shù)學(xué)的抽象性，離不開數(shù)學(xué)的具體性，我們正是從大量具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)素材、數(shù)學(xué)情境中抽象出普遍規(guī)律，形成數(shù)學(xué)概念，并以符號的形式加以呈現(xiàn)。比如，：一年級學(xué)生認識數(shù)字“5”，我們會首先出示大量數(shù)量是5的實物或?qū)嵨飯D片，5個手指頭、5個人、5支筆、5輛車……這就是具體的數(shù)學(xué)素材、生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，接著，我們抽象出這些情境在量的方面的共同性質(zhì)，會和學(xué)生一起概括出這些物品的數(shù)量都是5，然后告訴學(xué)生數(shù)字“5”這個符號可以表示所有數(shù)量是5的事物，這就完成了從具體到抽象的過程。

又比如，一年級中經(jīng)常出現(xiàn)這樣表示兩個算式相等的式子3+5=（ ）-4，學(xué)生往往會填成3+5=（8）-4。這樣的錯誤結(jié)果，究其原因，是教師教學(xué)中沒有挖掘“=”這個符號內(nèi)涵，學(xué)生對其只是片面的理解為兩個數(shù)進行運算后的結(jié)果，而忽視了其表示兩者相等的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)中，筆者拿來了一臺天平，告訴學(xué)生等號就像一臺天平，當(dāng)左邊和右邊的重量相等時，天平才會平衡，保持水平的狀態(tài)，而當(dāng)兩邊保持平衡的時候，我們就說兩邊相等了，在數(shù)學(xué)上用“=”表示兩邊相等的關(guān)系。這樣一說，學(xué)生在這道題上出現(xiàn)的錯誤就很少了。

再比如，在教學(xué)四則混合運算時，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能準確地說出先乘除后加減，先算括號里面的再算括號外面的計算順序，但實際計算的時候，往往又忘了，經(jīng)常出現(xiàn)計算順序搞錯的情況。原因還是學(xué)生對“+”“一”“×”“÷”“（ ）”等符號的理解不深刻。問題還是出在教師過早地將數(shù)學(xué)知識“符號化”，未能遵循兒童的認知規(guī)律，學(xué)生理解計算符號的具體情境的經(jīng)驗積累不夠，教師站在成年人的思維角度認為這樣的計算順序多么簡單，按照規(guī)則進行計算就好了，但是這種不是站在理解基礎(chǔ)上強加給學(xué)生的數(shù)學(xué)規(guī)則會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。我在教學(xué)這個知識的前幾節(jié)課里，一定要學(xué)生每看到一個算式，在心里編一個故事。比如：189-15×2，學(xué)生會編出“我拿189元錢，到超市買了兩個筆記本，每本15元，還剩下多少錢？”再比如，要幫助學(xué)生理解從一個數(shù)里連續(xù)減去兩個數(shù)等于從一個數(shù)里減去這兩個減數(shù)的和，例：189-45-55=189-（45+55）學(xué)生會編出一個數(shù)學(xué)故事：我有189元錢，去商店買了一件上衣用去45元，買褲子用去55元，還剩多少錢？收銀員計算時先算出買上衣和褲子一共多少錢，然后從我的錢里減去上衣和褲子一共花去的錢就是剩下的錢。其實以上舉的例子在數(shù)學(xué)書的例題中都有具體情境的呈現(xiàn)，只是僅僅是一個例題的具體經(jīng)驗是不夠的，教師要重視學(xué)生具體經(jīng)驗的積累，引導(dǎo)學(xué)生從大量的具體情境中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)符號，尤其是對于中下等的學(xué)生。

二、從抽象到具體——理解數(shù)學(xué)符號

我們抽象出的數(shù)學(xué)知識，必是要回到實踐中，經(jīng)受實踐的檢驗，并運用于具體的數(shù)學(xué)情境中去解決數(shù)學(xué)問題。對于數(shù)學(xué)符號的理解同樣是一個從具體到抽象，最后再回到具體的過程。

比如，上文提到的理解數(shù)字“5”的例子，我們告訴學(xué)生數(shù)字“5”這個符號可以表示所有數(shù)量是5的事物，教學(xué)到這里并沒有結(jié)束，我們會反問學(xué)生：你能說說生活中用“5”表示的例子嗎？這個反問就又從抽象回到具體，通過舉出身邊具體的例子理解符號“5”。

又比如，《用字母表示數(shù)》這一課的教學(xué)，學(xué)生從數(shù)青蛙的具體情境中準確地表示出：a只青蛙2×a只眼睛4×a條腿。這個過程讓數(shù)學(xué)符號的理解變得生動有趣，不僅讓學(xué)生認識到字母可以表示數(shù)，而且感受到數(shù)學(xué)符號的作用，數(shù)學(xué)符號的優(yōu)越性。但教學(xué)如果僅僅停留在這里，學(xué)生對符號的理解，對符號表示數(shù)量關(guān)系的理解就不夠深刻，僅僅停留在較淺層次上的單一理解，如果我們能在此讓學(xué)生舉一反三、就4a表示的意義舉出生活中更多的實例，就能幫助學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)情境中驗證所學(xué)的知識，加深對字母表示數(shù)的理解。我們可以提問學(xué)生：a和4a還可以表示生活中什么樣的數(shù)量？有的學(xué)生說a可以表示正方形的邊長，4a可以表示正方形的周長;有的學(xué)生說a可以表示蘋果的單價，4a可以表示買4斤蘋果的總價;有的學(xué)生說a表示每組有a人，4a表示4組一共有多少人等。這個過程中，數(shù)青蛙的具體情境幫助學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)符號高度概括的優(yōu)越性，而問學(xué)生“a和4a還可以表示生活中什么樣的數(shù)量”是從抽象又回到具體，讓學(xué)生深刻理解a和4a可以表示客觀世界中所有4倍的數(shù)量關(guān)系，深刻理解字母表示數(shù)的意義，理解含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系，感受符號表示具有的一般性、規(guī)律性。

三、從問題需要到形成意識——運用數(shù)學(xué)符號

學(xué)生在感知數(shù)學(xué)符號、理解數(shù)學(xué)符號之后，更重要的是運用數(shù)學(xué)符號。運用數(shù)學(xué)符號能幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，提高解題能力，同樣，解決數(shù)學(xué)問題的過程也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)符號意識、提高符號運用能力的發(fā)展過程。

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時候，由于問題需要，往往會不自覺地運用符號來解決數(shù)學(xué)問題，這種運用是符號意識的啟蒙，是問題需要自發(fā)產(chǎn)生的，這是一種較低層次的符號運用。比如說：同學(xué)們排成一隊，小明前面有3人，后面有5人，這排隊伍一共有多少人？許多學(xué)生會畫出“ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”這樣的圖形符號幫助自己解題。再比如，“六一”聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什么顏色的嗎？學(xué)生會用、 ? 、 ?等符號來表示不同顏色的氣球，通過畫圖解決問題。筆者認為這兩個例子中使用分圖形符號，只能算是學(xué)生符號意識的啟蒙與滲透，不能算是真正的數(shù)學(xué)符號。

在小學(xué)階段，學(xué)生數(shù)學(xué)符號的運用的質(zhì)的飛躍是在四年級，四年級里有用字母表示運算定律，比如，加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律等，有用字母表示幾何圖形的周長、面積計算公式，而用字母表示數(shù)、方程的運用就更是發(fā)展學(xué)生符號意識的重要內(nèi)容。比如，搭1個正方形需要4根火柴棒。（1）按照圖中的方式，搭2個正方形需要幾根火柴棒？搭3個正方形需要幾根火柴棒？（2）搭10個這樣的正方形需要多少根火柴棒？（3）搭100個這樣的正方形需要多少根火柴棒？你是怎樣得到的？（4）如果用z表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭z個這樣的正方形需要多少根火柴棒？

學(xué)生通過探索正方形的個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得出4+3（z-1）， 1+3z等表達方式，這時我們?nèi)魡枌W(xué)生400個、560個、1000個……正方形需要多少根小棒，學(xué)生都能通過計算很快得出答案，而前面用符號表示的式子是學(xué)生解決這些問題的關(guān)鍵，學(xué)生經(jīng)歷了一個用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，符號參與計算的學(xué)習(xí)過程。

在教學(xué)列方程解應(yīng)用題時，筆者感覺學(xué)生經(jīng)歷了一個由被動接受到主動運用的過程。一開始教“一本書，看了45頁，還剩37頁。這本書有多少頁？”學(xué)生抗拒用方程，他們不明白這樣一道簡單的題目，早就會做了，為什么還要用字母來表示一本書的頁數(shù)，然后列方程解決呢，這不是把簡單的問題復(fù)雜化了嗎？但在接下來的教學(xué)里，我們開始教“和倍問題”了：淘氣和笑笑一共有160張畫片，其中淘氣的畫片數(shù)量是笑笑的4倍，淘氣和笑笑各有多少張畫片？這樣的題目，如果不適用方程來解答，對于中下學(xué)生來說還是存在一定的問題，這時方程就起到了非常好的作用，學(xué)生很清晰地明白有x表示小小的畫片數(shù)，用4x表示淘氣的畫片數(shù)，可以非常簡單地列出方程：x+4x=160，學(xué)生這時才感受到用方程解決問題的優(yōu)越與有效，通過一定的練習(xí)，學(xué)生能夠區(qū)分什么樣的題適合用計算方法解答，什么樣的題目適合用方程解答，從而自覺地使用方程來解決問題。通過四年級一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)符號意識也大大增強了，能真切感受到數(shù)學(xué)符號在解決問題中的作用，產(chǎn)生自覺使用符號的意識，也具備一定的使用數(shù)學(xué)符號解決數(shù)學(xué)問題的能力。

到了六年級，學(xué)生的抽象思維能力和符號運算能力進一步得到發(fā)展，不僅能運用符號進行計算和推理，還能有意識地運用符號檢驗答案的正確性、一般性。比如，已知甲數(shù)×=乙數(shù)×，求甲數(shù)與乙數(shù)的比。學(xué)生在解答的時候，會假設(shè)等號兩邊的式子得數(shù)為1，得到甲數(shù)為 ，乙數(shù)為 。從而算出甲數(shù)與乙數(shù)的比是6：5，這時學(xué)生會繼續(xù)嘗試假設(shè)等號兩邊的式子得數(shù)都是2，或者是3，會是怎樣的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不管得數(shù)是1、2還是3甲數(shù)與乙數(shù)的比都是6：5，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，用什么辦法能證明等號兩邊的式子等于任何數(shù)，甲數(shù)與乙數(shù)的比都是6：5，這時學(xué)生會立即想到等號兩邊的式子都等于a時，甲數(shù)與乙數(shù)的比會不會還是6：5？通過計算發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然成立。在教學(xué)中，我們要不失時機地、經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生運用符號進行計算和推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論所具有的一般性。通過這樣的訓(xùn)練，增強學(xué)生的符號觀念，培養(yǎng)符號能力，達到新課標中的發(fā)展學(xué)生符號意識的要求。

數(shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)的最基本構(gòu)成，在數(shù)學(xué)中的作用不言而喻，學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位。但學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)也不是一朝一夕的事，是一個循序漸進、不斷發(fā)展的過程。教師在教學(xué)中要盡可能地幫助學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號，在抽象概括的時候要注意學(xué)生具體經(jīng)驗的積累，抽象出來的數(shù)學(xué)符號要再回到具體情境中，進行檢驗、驗證，用以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解，教學(xué)中要有意識地、有目的地引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)符號進行計算、推理，重視數(shù)學(xué)符號的運用過程，從而增強學(xué)生的符號觀念，培養(yǎng)符號能力，達到發(fā)展學(xué)生符號意識的目的。

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