巧用“配湊法”解決數(shù)學(xué)問題 ,提升教學(xué)效率

謝樹文

【摘要】高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法是一個重要的內(nèi)容，它貫穿于整個高中數(shù)學(xué)，而“配湊法”是其中一種常用的，相對簡單易懂的方法，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中根據(jù)不同的內(nèi)容，有意識地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“配湊法”解決相關(guān)問題，既鍛煉了學(xué)生的思維，也使學(xué)生掌握了這種數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】配湊法;數(shù)學(xué)思想方法;學(xué)以致用

“配湊法”是高中數(shù)學(xué)中的一種常用解題方法，“配湊”就是通過恰當(dāng)?shù)钠磁c湊，使問題簡潔、明了，從而達(dá)到比較容易解決問題的目的;它實質(zhì)上是一種迂回的解題方法，體現(xiàn)了化歸的思想它指的是在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，巧妙地配、湊一些適當(dāng)?shù)臄?shù)、或式、圖形，以獲得或化歸成利于解答的形式，在函數(shù)、三角函數(shù)、不等式以及數(shù)列等多個內(nèi)容都有應(yīng)用。筆者在教學(xué)實踐中總結(jié)了“配湊法”的幾種用法，下面舉例說明。

一、“配湊法”在三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的應(yīng)用

1.化簡： ;? 2.求值： 。

分析：這兩道題中的角：，;都超出了（0，2）的范圍，不能直接求出結(jié)果，要先運(yùn)用誘導(dǎo)公式一： 或? 把化為（0，2 ）的角，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)，從而求出結(jié)果。

解：（1）

;

（2） 。

在（1）中，把5 拆成配湊成 的形式，從而運(yùn)用誘導(dǎo)公式一化簡;（2）中，把配成 （），再運(yùn)用誘導(dǎo)公式一轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果。

二、“配湊法”在兩角和差的三角函數(shù)中的應(yīng)用

在求解兩角和差的正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值，特別是在逆用公式時，經(jīng)常要用到配湊法，通過把已知函數(shù)式配成兩角和差或二倍角的形式，或者化為y=Asin（） 或y=Acos（）+B的形式，從而使問題容易得解。

1.求函數(shù)f （x）= 的最小正周期.

解：f（x）=

，

所以函數(shù)f（x）的最小正周期是2。在這道題中，直接逆用兩角和差公式把函數(shù)式配成了兩角差的正弦，從而求得函數(shù)的最小正周期。

2.求函數(shù)f （x）=sinxcosx-sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間。

解：f（x）= sinxcosx-sin2x == sin（2x+） ;

由， 得故f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[]，（kZ）.

在這里運(yùn)用了二倍角的正弦和余弦的三角函數(shù)公式把函數(shù)式化成了asinx+bcosx的形式，再運(yùn)用三角函數(shù)的歸一公式配湊成兩角和差的正弦，繼而求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

3.已知，且，求的值。

分析：因為 ，所以故只需求出及即可。

解：? ?由? ?，cos ，得

，由，得;所以

在這里，通過運(yùn)用配湊法，由可直接運(yùn)用兩角和差的三角函數(shù)解決了問題，從而簡化了計算。

三、“配湊法”在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用

用配湊法求函數(shù)的解析式是一種常用方法，方便快捷，但有一定的技巧性，要求較高，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性。

1.已知函數(shù)f （x+1）=3x+2，求f （x）的表達(dá)式。

分析：由f （x+1）=3x+2=3x+3-1=3（x+1）-1，從而得f（x）=3x-1.此題中，由于自變量為x+1，故右邊的式子應(yīng)配成含x+1的代數(shù)式，而運(yùn)用配湊法能較快地解決問題。

2.已知函數(shù)f （）=x+ ，求f （x）的解析式。

解：因為f （）=x+，所以x0， ，所以f（）=x+==.所以f （x）= （x1）.

3.已知函數(shù)，求函數(shù)f（x）的解析式.

分析：抓住函數(shù)中的倒數(shù)關(guān)系，對于已知函數(shù)式 ①，配湊成對偶式（上式中的x，用代替）： ②，變形：①+②2得，故的解析式為.

這三道題都是求函數(shù)的解析式，而通過運(yùn)用配湊法，很快就求出了結(jié)果，比起用換元法求解更直接，學(xué)生容易理解。

四、“配湊法”在基本不等式中的應(yīng)用

在求函數(shù)的最大、最小值時，經(jīng)常運(yùn)用基本不等式求解，但有時已知的函數(shù)式并不符合基本不定式的一般形式，這就需要進(jìn)行適當(dāng)變形，配成一般形式，然后再運(yùn)用基本不等式求解。

1.已知x>4，求函數(shù)y = x+ 的最小值。

解：因為x>4，所以x-4>0，

所以y =x+= x-4++4 當(dāng)且僅當(dāng)x-4=，即x=5時，等號成立。所以x>4時，函數(shù)y=x+ 的最小值為6.

2.已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。

分析：由已知條件，不能直接求出x，y的值，所以也不能求出和的值;故可以利用已知x+2y=1，把和中的分子1用x+2y代換，然后構(gòu)造出能運(yùn)用基本不等式求解的代數(shù)式。

解：因為x>0，y>0，且x+2y=1，，所以= ;當(dāng)且僅當(dāng) ，且x+2y=1，即x=時，等號成立。所以x>0，y>0，且x+2y=1時，的最小值為 。

3.已知X R求函數(shù)y = 的最小值。

分析：這道題的式子不符合基本不等式的一般形式，因此需要經(jīng)過變形，配成一般形式，然后才能運(yùn)用基本不等式去求解。

解：y==，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時，等號成立。所以函數(shù)y= 的最小值為4- 。

此題由于要考慮等號成立的問題，故把配成了，從而符合了運(yùn)用基本不等式的三個要素，“一正，二定，三等號;”就可以運(yùn)用基本不等式求出函數(shù)的最小值。

五、“配湊法”在數(shù)列中的應(yīng)用

在數(shù)列中求數(shù)列的通項公式和求前項和中也經(jīng)常用到配湊法。

1.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式。

分析：從已知等式直接來看數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以不能直接寫出它的通項公式;注意到等式的左邊和右邊的項含有和這兩個連續(xù)項，所以可以通過在等式兩邊加上一個數(shù)1，然后在右邊提出公因式2，得到=2（），從而得，又因為，所以新數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以， ， 故數(shù)列的通項公式為。

2.已知，求數(shù)列的和：1+x+...+nxn-1。

分析：令1+2x+...+nxn①;①兩邊同乘以（配湊成錯位同類項），得nxn-1 ②， ①-②得，所以。

這兩道數(shù)列題都是通過運(yùn)用配湊法，變形為熟悉的類型，便于學(xué)生理解，掌握。

六、配湊法在解析幾何中的應(yīng)用

在圓、圓錐曲線的有關(guān)問題中也可以使用配湊法。

1.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圓的充要條件是________。

解析：把x2+y2-4kx-2y+5k=0方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式得：（若此方程表示圓，則必須

2.已知橢圓x2+（+3）y2=（>0）的離心率e=，求實數(shù)m的值。

分析：橢圓方程可配為，因為，所以，所以，由e=，得，所以=1.

綜上所述，“配湊法”是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法，簡單易懂，可以使復(fù)雜問題簡單化，從而使解題過程簡化，提高解題的效率，故可在平常的教學(xué)中有意識地運(yùn)用，并讓學(xué)生熟練掌握，學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)：

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[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5[M].人民教育出版社，2016.