基于貝葉斯判定的反演域巖石物理交會(huì)

李春鵬

(中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028)

0 引言

巖石物理是連接巖石物性參數(shù)和巖石彈性參數(shù)的橋梁，巖石物理交會(huì)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是縱波速度、橫波速度、密度、拉梅參數(shù)、楊氏模量等巖石彈性參數(shù)，交會(huì)對(duì)象是巖石巖性、流體性質(zhì)等巖石物性[1-7]。同一種交會(huì)對(duì)象可能用一種彈性參數(shù)就能分辨，或者需要幾種彈性參數(shù)聯(lián)合分辨[8-9]。若是前者，只需要在反演的這一種彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體上就可以分辨出所研究的巖石物性；而后者，則需要將這幾種彈性參數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或組合等運(yùn)算，以期用一種參數(shù)分辨所研究的巖石物性，這主要是由于在多個(gè)數(shù)據(jù)體上難以直觀地分辨出所研究的巖石物性，但是通過(guò)旋轉(zhuǎn)或運(yùn)算得到的參數(shù)的物理意義并不明確，而且有時(shí)也很難給出一個(gè)較好的運(yùn)算關(guān)系來(lái)獲得這種參數(shù)。另外，同一種交會(huì)對(duì)象在交會(huì)圖上可能會(huì)完全分開，也可能會(huì)有部分重疊區(qū)域，則重疊區(qū)域的巖石物性是難以直觀地辨別的。

常規(guī)巖石物理交會(huì)使用的是測(cè)井域的數(shù)據(jù)，即巖石巖性、流體性質(zhì)等交會(huì)對(duì)象來(lái)自于測(cè)井綜合解釋，縱波速度、橫波速度、密度等交會(huì)參數(shù)來(lái)自于測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)換算。但是反演的彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體不僅有測(cè)井信息，還有地震信息，甚至還參雜了噪音信息[10-12]。測(cè)井域數(shù)據(jù)相比于反演的地震域數(shù)據(jù)有四個(gè)特點(diǎn)：①高垂向分辨率；②低橫向探測(cè)范圍；③高縱橫波激發(fā)頻率；④深度域數(shù)據(jù)類型。

普通測(cè)井垂向分辨率是0.125 m，成像測(cè)井垂向分辨率能達(dá)到0.025 4 m，但是地震數(shù)據(jù)垂向分辨率卻是幾米至二三十米不等[13-14]。測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)垂向分辨率明顯高于地震數(shù)據(jù)，測(cè)井研究的是小尺度地層，地震研究的是中等-大尺度地層。

測(cè)井橫向探測(cè)范圍與聲波聲源的激發(fā)頻率、波形的記錄時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，常規(guī)聲波測(cè)井探測(cè)范圍是25 m左右，有的改進(jìn)儀器也只能達(dá)到70 m左右[15]，但是地震數(shù)據(jù)橫向探測(cè)范圍可以達(dá)到幾十公里甚至上百公里，地震測(cè)線越長(zhǎng)，其橫向探測(cè)范圍越大[14]，測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)橫向探測(cè)范圍明顯低于地震數(shù)據(jù)。因此可以結(jié)合測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)和地震數(shù)據(jù)的各自優(yōu)點(diǎn)，以滿足地下地層垂向和橫向探測(cè)精度的需求。

測(cè)井聲波聲源激發(fā)頻率約為2 kHz～ 5 kHz[13,15]，地震波激發(fā)頻率只在幾赫茲到幾十赫茲之間分布[14]，測(cè)井聲波激發(fā)頻率是遠(yuǎn)高于地震波的。測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)是在深度域采樣的，其采樣間隔有0.152 4 m、0.125 m等[13]，但是地震數(shù)據(jù)是在時(shí)間域采樣的，其采樣間隔有4 ms、2 ms等[14]，時(shí)間域數(shù)據(jù)和深度域數(shù)據(jù)需要通過(guò)速度來(lái)互相轉(zhuǎn)換。因此，巖石物理交會(huì)的輸入數(shù)據(jù)和地震反演的輸入數(shù)據(jù)并不是完全匹配的，它們之間還存在著一定的誤差。

另外，地震反演理論其實(shí)是一個(gè)近似的理論，它是將Zoeppritz方程線性化簡(jiǎn)得到的，典型的有Aki-Richard近似方程、Shuey近似方程、Swan近似方程等[14]。這些近似方程只在入射角30o以內(nèi)與Zoeppritz方程有較好的匹配關(guān)系，因此地震反演結(jié)果還存在一定的理論誤差。地震反演的目標(biāo)函數(shù)還有多個(gè)解法，例如最小二乘法、最小長(zhǎng)度法、共軛梯度法等[16]，每一種解法得到的反演結(jié)果在某些細(xì)節(jié)上都會(huì)有一些不同，因此地震反演結(jié)果還存在一定的算法誤差。

綜上所述，在多個(gè)彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體和重疊的巖石物理交會(huì)圖上，是難以直觀地辨別巖石物性的，并且測(cè)井域彈性參數(shù)和反演域彈性參數(shù)還存在一定的不匹配。因此，筆者研究了基于貝葉斯判定的反演域巖石物理交會(huì)方法來(lái)解決上述問(wèn)題，通過(guò)實(shí)例分析，證明該方法可以用來(lái)指導(dǎo)反演的彈性參數(shù)數(shù)據(jù)的物性解釋。

1 基于貝葉斯判定的巖石物理交會(huì)

1.1 貝葉斯判定法

x∈πi，如果x落在Ri(i=1,2,…,k)內(nèi)。

假設(shè)C(j|i)為樣品x來(lái)自總體πi而誤判為總體πj的損失，這一誤判的概率記為P(j|i,R)(j≠i;i,j=1,2,…,k)。為了應(yīng)用方便，規(guī)定C(i|i)=0，于是有

(j≠i;i,j=1,2,…,k)

(1)

i=1,2,…,k

(2)

其中

(3)

如果C(j|i)=1-δij，其中

i=1,2,…,k

(4)

1.2 巖石物性貝葉斯判定

同一種巖石物性可能需要幾種巖石彈性參數(shù)分辨出來(lái)，有時(shí)該物性的各種子類還互相重疊，這就需要貝葉斯判定法來(lái)辨別該物性的各種子類。H工區(qū)A井的碎屑巖巖石巖性有兩種子類，即k=2，分別是泥巖和砂巖。根據(jù)測(cè)井綜合解釋和測(cè)井曲線換算，可以獲得井眼處的巖性解釋結(jié)果和彈性參數(shù)曲線。若泥質(zhì)含量大于50%，則巖性為泥巖，否則為砂巖。據(jù)此可以進(jìn)行以巖性為對(duì)象的巖石物理交會(huì)分析(見(jiàn)圖1)。

若要判定由反演的vp、vs、ρ組成的樣品集x1、x2、…、xn屬于哪種巖性，則需要計(jì)算泥巖和砂巖的分布密度pi(x)和先驗(yàn)概率qi。

圖1 A井巖石巖性交會(huì)圖Fig.1 Lithology crossplot of well A(a)縱波速度和橫波速度交會(huì)圖；(b)縱波速度和密度交會(huì)圖

圖2 A井砂巖和泥巖的頻率柱狀圖和概率分布圖Fig.2 Frequency bar charts and probability distribution images of P-velocity, S-velocity and density of sand and shale of well A(a)A井砂巖的縱波速度;(b)A井砂巖的橫波速度;(c)A井砂巖的密度;(d)A井泥巖的縱波速度;(e)A井泥巖的橫波速度;(f)A井泥巖的密度

以上描述了2種巖性的3種彈性參數(shù)巖石物理交會(huì)的貝葉斯判定，即2總體3維分布的貝葉斯判定。不失一般性，上述方法也可以推廣到k種巖石巖性或流體性質(zhì)的n種彈性參數(shù)的貝葉斯判定，即k總體n維分布的貝葉斯判定。

圖3 A井巖石巖性深度分布圖Fig.3 Lithology distribution of well A in depth domain

2 反演域巖石物理交會(huì)

測(cè)井域彈性參數(shù)和反演域彈性參數(shù)并不是完全匹配的，圖4是A井測(cè)井域和反演域的彈性參數(shù)曲線對(duì)比結(jié)果，反演域彈性參數(shù)曲線雖然能夠反映測(cè)井域彈性參數(shù)曲線的變化趨勢(shì)，但卻不能反映測(cè)井域彈性參數(shù)的某些細(xì)節(jié)，并且密度項(xiàng)反演結(jié)果誤差較大，因此用測(cè)井域巖石物理交會(huì)結(jié)果來(lái)指導(dǎo)反演域彈性參數(shù)的解釋可能會(huì)存在一定的問(wèn)題。

圖5是A井測(cè)井域和反演域的巖石巖性交會(huì)圖，圖5中測(cè)井域和反演域的縱波速度-橫波速度的交會(huì)結(jié)果，都顯示泥巖位于砂巖之上，但是反演域交會(huì)結(jié)果存在更大的離散，并且二者的縱波速度-密度交會(huì)結(jié)果的趨勢(shì)也不一樣。反演曲線由于受到噪音、反演方法、地震分辨率等因素的影響，反演曲線的分辨率和分辨力相對(duì)較低，同時(shí)密度曲線反演結(jié)果一向較差，因此反演域交會(huì)結(jié)果相對(duì)會(huì)更加離散，速度-密度交會(huì)趨勢(shì)會(huì)有別于測(cè)井域的結(jié)果。不可否認(rèn)，測(cè)井域巖石物理交會(huì)結(jié)果優(yōu)于反演域巖石物理交會(huì)結(jié)果，這是由測(cè)井曲線的高分辨率、高信噪比特性決定的。但是反演曲線和測(cè)井曲線卻不一樣，測(cè)井域巖石物理交會(huì)結(jié)果再好，也不能完全體現(xiàn)反演域數(shù)據(jù)的特征，而儲(chǔ)層預(yù)測(cè)和流體識(shí)別使用的正是反演域的數(shù)據(jù)。

圖4 A井測(cè)井域和反演域彈性參數(shù)曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of elastic parameters between logging field and inversion field of well A

因此應(yīng)該利用井眼附近的反演域彈性參數(shù)來(lái)做巖石物理交會(huì)分析，以指導(dǎo)反演域本身的彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體的解釋，這很好地避免了測(cè)井域與反演域因各行其是而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)不完全匹配的問(wèn)題。

砂巖協(xié)方差矩陣

圖5 A井測(cè)井域和反演域的巖石巖性交會(huì)圖Fig.5 Lithology crossplots of well A in log domain and inversion domain(a)縱波速度和橫波速度巖性交會(huì)圖；(b)縱波速度和密度的巖性交會(huì)圖

圖6 A井測(cè)井域和反演域頻率柱狀圖與概率分布圖Fig.6 Frequency bar charts and probability distribution images of elastic parameters of sand and shale of well A in log domain and inversion domain(a)砂巖縱波速度;(b)砂巖橫波速度;(c)砂巖密度;(d)泥巖縱波速度;(e)泥巖橫波速度;(f)泥巖密度

通過(guò)A井所在工區(qū)的地震反演，可以得到縱波速度、橫波速度和密度數(shù)據(jù)體，然后結(jié)合測(cè)井域和反演域巖石物理交會(huì)的貝葉斯判定結(jié)果，來(lái)預(yù)測(cè)該工區(qū)目的層巖性。B井和A井屬于同一個(gè)工區(qū)，首先提取B井井眼處反演縱波速度道、反演橫波速度道和反演密度道，然后將這三道數(shù)據(jù)分別代入A井的測(cè)井域貝葉斯判定公式和反演域貝葉斯判定公式，據(jù)此判定B井井眼處的目的層巖性，判定結(jié)果見(jiàn)圖7。

圖7中測(cè)井域和反演域的貝葉斯巖性判定可以識(shí)別較厚的巖石，但是對(duì)較薄的巖石識(shí)別效果較差。對(duì)于厚層巖石，測(cè)井域曲線和反演域曲線的特征都比較穩(wěn)定，都能被二者較好地識(shí)別，但也存在一些差別，反演域貝葉斯判定結(jié)果略好于測(cè)井域貝葉斯判定結(jié)果。對(duì)于薄層巖石，A井的測(cè)井域巖石物理規(guī)律難以指導(dǎo)B井的反演域測(cè)井曲線的巖性識(shí)別，同時(shí)A井的反演域巖石物理交會(huì)結(jié)果，由于受限于反演分辨率也不能很好地指導(dǎo)B井的反演域測(cè)井曲線的薄層巖性識(shí)別。

圖7 B井巖性的測(cè)井域和反演域貝葉斯判定結(jié)果Fig.7 Bayesian decision result of lithology in logging field and inversion field of well B

B井的測(cè)井域貝葉斯判定的正確率是65.7%，反演域貝葉斯判定的正確率是76.6%，說(shuō)明反演域巖石物理判定比測(cè)井域巖石物理判定有更高的正確率。因此，地震反演的彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體應(yīng)該利用反演域巖石物理交會(huì)的貝葉斯判定方法，來(lái)解釋它們所表示的地球物理意義。

3 結(jié)論

巖石物理交會(huì)的物理意義，是建立彈性參數(shù)與巖石物性之間的聯(lián)系以指導(dǎo)彈性參數(shù)的物性解釋。通過(guò)貝葉斯判定可以將多個(gè)彈性參數(shù)結(jié)合起來(lái)，共同判定彈性參數(shù)所反映的巖石物性。測(cè)井域巖石物理交會(huì)是面向?qū)ο蟮膸r石物理交會(huì)，測(cè)井域彈性參數(shù)和反演域彈性參數(shù)雖然很相似但畢竟不是同一個(gè)對(duì)象；而反演域巖石物理交會(huì)是面向結(jié)果的巖石物理交會(huì)，可以準(zhǔn)確地建立反演域彈性參數(shù)和巖石物性之間的聯(lián)系。反演域巖石物理交會(huì)的數(shù)學(xué)本質(zhì)是歸納分析，通過(guò)對(duì)特例的分析引出普遍結(jié)論的一種推理形式，即通過(guò)建立井眼處的反演域彈性參數(shù)與巖石物性之間的聯(lián)系，來(lái)指導(dǎo)反演域整個(gè)彈性參數(shù)的物性解釋。因此，該方法提高了反演數(shù)據(jù)的容錯(cuò)能力，例如地震反演中地震數(shù)據(jù)的噪音會(huì)使反演結(jié)果出現(xiàn)誤差、密度項(xiàng)貢獻(xiàn)最小會(huì)使密度反演結(jié)果誤差最大，但是通過(guò)反演域巖石物理交會(huì)，也可以建立該反演結(jié)果與巖石物性之間的聯(lián)系，然后根據(jù)貝葉斯判定法來(lái)指導(dǎo)該反演結(jié)果的物性解釋。