中小學(xué)銜接下對(duì)小學(xué)“可能性大小”易錯(cuò)問(wèn)題的思考

吳健

【摘要】隨著教育的不斷改革，小學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容更加明確，小學(xué)可能性的教學(xué)主要是讓學(xué)生掌握收集、分析數(shù)據(jù)的能力，初步體會(huì)隨機(jī)事件的可能性大小。在中小學(xué)銜接背景下，如何聯(lián)系中學(xué)概率內(nèi)容來(lái)思考小學(xué)可能性的易錯(cuò)問(wèn)題，本文從中小學(xué)“可能性”內(nèi)容變化及銜接問(wèn)題、“可能性大小”易錯(cuò)問(wèn)題的思考這三大方面進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】中小學(xué)銜接;可能性;概率;數(shù)據(jù)分析

在課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的“第二學(xué)段”中提出：“通過(guò)試驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進(jìn)行交流?！睘榱梭w現(xiàn)課標(biāo)的要求，在修訂后教材中，人教版五年級(jí)上冊(cè)第四單元《可能性》是第二學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容，也是學(xué)生真正意義接觸“概率”的知識(shí)，第三學(xué)段稱(chēng)為“事件的概率”。

一、小學(xué)的“可能性”與中學(xué)的“概率”內(nèi)容的變化

義務(wù)教育階段對(duì)于概率的需要學(xué)習(xí)內(nèi)容并不多，而數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂前（實(shí)驗(yàn)稿）、后（2011版）關(guān)于內(nèi)容構(gòu)成的變化如下表1：

從上表可以看出：課標(biāo)修訂后，在第一學(xué)段中，刪掉了可能性大小的學(xué)習(xí)，將原內(nèi)容后移到第二學(xué)段，稱(chēng)為“可能性”。原五年級(jí)的內(nèi)容劃分到第三學(xué)段（九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)），稱(chēng)為“概率初步”。

二、中小學(xué)概率教學(xué)的銜接

（一）中學(xué)教材中關(guān)于概率的兩個(gè)定義

1.概率的古典定義

在某次試驗(yàn)中：（1）基本事件的總數(shù)是有限的，假設(shè)有a種結(jié)果。

（2）每個(gè)事件發(fā)生的可能性大小是一樣的。

某個(gè)事件包含其中的b種結(jié)果，那么這個(gè)事件發(fā)生的概率為，這個(gè)就是概率的古典定義。實(shí)際上，有一些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不是等可能性的，則概率的古典定義不能適用。

2.概率的統(tǒng)計(jì)意義

在相同條件下，多次重復(fù)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果隨著實(shí)驗(yàn)資料的不斷增加，某個(gè)事件的頻率穩(wěn)定在常數(shù)p，則稱(chēng)這個(gè)常數(shù)p為這個(gè)事件的概率。概率的統(tǒng)計(jì)意義并沒(méi)有要求事件各種結(jié)果等可能性，例如，考查某個(gè)籃球動(dòng)員投籃的命中率，在同樣的條件，讓某個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)次投籃（投籃總次數(shù)用a表示），并統(tǒng)計(jì)命中的次數(shù)為b，然后計(jì)算命中的頻率為。如果隨著運(yùn)動(dòng)員投籃次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越趨向于某個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就可以被當(dāng)作投籃的命中率。

中學(xué)的概率教學(xué)是以上面兩個(gè)概率定義為起點(diǎn)，然后逐漸過(guò)渡到求概率的內(nèi)容，最終達(dá)成以列舉法求概率和頻率估計(jì)概率。而小學(xué)人教版書(shū)本中“可能性”單元知識(shí)內(nèi)容如下圖1：

雖然人教版五年級(jí)教材中只有三道例題，卻蘊(yùn)含概率教學(xué)中重要的基礎(chǔ)點(diǎn)，每道例題具體教學(xué)目標(biāo)不同，包括“做一做”和教材的某些習(xí)題也承載著中小銜接的重要橋梁。雖然日常教學(xué)中只要求用“一定（肯定）、不可能、可能、經(jīng)常、偶爾”等詞來(lái)定性描述事件發(fā)生的可能性大小，但是并不意味著只停留在感性認(rèn)識(shí)上，而是讓學(xué)生站在更高層次上來(lái)認(rèn)識(shí)“可能性”，對(duì)“可能性”的認(rèn)識(shí)和理解逐漸從定性向定量過(guò)渡，也就是為中學(xué)系統(tǒng)用分?jǐn)?shù)描述事件發(fā)生的概率作好準(zhǔn)備。但是，在日常教學(xué)當(dāng)中，往往在“可能性”上出現(xiàn)一些問(wèn)題，當(dāng)分析好中小學(xué)教材時(shí)，也有一種恍然大悟的感覺(jué)。

三、例析小學(xué)數(shù)學(xué)“可能性”易錯(cuò)問(wèn)題

1.等可能性與不等能性混淆

在小學(xué)關(guān)于可能性大小學(xué)習(xí)的階段，并沒(méi)有對(duì)古典概型作定義，但是在練習(xí)和課程當(dāng)中有所滲透，為中學(xué)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率的知識(shí)作鋪墊。例如，下面兩個(gè)例子：

例1： 現(xiàn)有紅球、白球各2個(gè)，一次摸出2個(gè)球，兩個(gè)都是同色的可能性是多少？

錯(cuò)解：課堂上學(xué)生基本上認(rèn)為結(jié)果有：兩個(gè)紅球、一紅一白、兩個(gè)白球三種情況，出現(xiàn)同色的結(jié)果有兩種，一共三種可能的結(jié)果，所以摸到兩個(gè)都是同色的可能性是，如下圖2所示：

錯(cuò)因與正解：上述的答案是無(wú)意間默認(rèn)了每種結(jié)果的可能性是一樣的，利用概率古典定義來(lái)解決問(wèn)題，而上述解法中兩個(gè)紅球、一紅一白、兩個(gè)白球出現(xiàn)的可能性顯然不均等，故導(dǎo)致上面的錯(cuò)解。從2個(gè)紅球、2個(gè)白球中一次摸出2個(gè)球，會(huì)出現(xiàn)：（紅1，紅2）、（紅1，白1）、（紅1，白2）、（紅2，白1）、（紅2，白2）、（白1，白2）共6種，這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，所以?xún)蓚€(gè)都是同色的可能性為。

例2：在意大利曾經(jīng)發(fā)生過(guò)這樣的賭博：擲兩枚骰子，以?xún)擅恩蛔映系狞c(diǎn)數(shù)的和作為賭博的內(nèi)容。從這內(nèi)容可以知道：骰子六個(gè)面分別是1～6點(diǎn)，兩枚骰子朝上的情況共6×6種可能，點(diǎn)數(shù)和可以是2～12，共11種，問(wèn)賭注下在多少點(diǎn)上最有利？其實(shí)，這賭博的規(guī)則也就是五年級(jí)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的《擲一擲》一課的內(nèi)容。在日常教學(xué)中，許多老師會(huì)根據(jù)教材的內(nèi)容（如下圖3、4），進(jìn)行類(lèi)似這樣的設(shè)計(jì)：

從上面設(shè)計(jì)可以看出：學(xué)生根據(jù)骰子的特點(diǎn)，肯定知道兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和只會(huì)出現(xiàn)：{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}共11種結(jié)果，且無(wú)意識(shí)默認(rèn)了每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，同時(shí)認(rèn)為自己有{2，3，4，10，11，12}6種結(jié)果可以贏，而老師只有5種結(jié)果可以贏，學(xué)生贏的可能性比老師大。但是從下表2來(lái)看，和是5，6，7，8，9出現(xiàn)的算式次數(shù)共有24次（黃色部分），而和是2，3，4，10，11，12出現(xiàn)的次數(shù)只有12次（綠色部分），顯然和是5，6，7，8，9出現(xiàn)的可能性要大得多，老師贏的可能性較大。

從數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)看，和是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}這里每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是不完全相等，屬于不等可能事件，不能隨意概括去解決問(wèn)題。需要說(shuō)明的是，在小學(xué)階段里，大部分所涉及的隨機(jī)事件都是等可能性的，所以并不用向?qū)W生介紹等可能性的問(wèn)題，但是為了更好實(shí)現(xiàn)中小學(xué)可能性知識(shí)的銜接，我們?cè)趥湔n時(shí)要有所積累，應(yīng)該對(duì)統(tǒng)計(jì)與概念領(lǐng)域有整體的把握，讓學(xué)生更好適應(yīng)當(dāng)代下中小學(xué)銜接的學(xué)習(xí)。

2.可能性與頻率的混同

從中學(xué)角度來(lái)看，概率與頻率是密切相關(guān)的，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率，所以做的實(shí)驗(yàn)次數(shù)比較多的時(shí)候，我們會(huì)用頻率去估計(jì)概率。而在小學(xué)中，也會(huì)出現(xiàn)一些可能性與頻率混同的情況，也會(huì)讓學(xué)生糊涂。

例如，人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四單元“可能性”其中的一道“做一做”（如下圖5）。題目是一個(gè)擲硬幣的游戲，教材目的想先通過(guò)增加試驗(yàn)的次數(shù)，盡量使實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近理論概率，使學(xué)生初步感受事件發(fā)生的等可能性。

但在日常教學(xué)中，老師經(jīng)常這樣處理：擲一枚均勻的硬幣，然后提問(wèn)學(xué)生：會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果？學(xué)生當(dāng)然知道：會(huì)出現(xiàn)正面、反面兩種情況。接著，老師會(huì)追問(wèn)：出現(xiàn)正面或反面的可能性是多少？那么根據(jù)師生共同分析得到每種面出現(xiàn)的可能性都是，然后再讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。但是，這個(gè)是通過(guò)概率的定義得到的，而不是通過(guò)擲硬幣的試驗(yàn)得到的。事實(shí)上，學(xué)生做了很多次試驗(yàn)也得不到，包括許多的著名數(shù)學(xué)家做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到這個(gè)結(jié)果，這樣反而讓學(xué)生更加困惑，這也就是“數(shù)據(jù)隨機(jī)”的魅力所在。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)通過(guò)分析推理得到正面朝上的概率，他們產(chǎn)生不了做實(shí)驗(yàn)的需求，所以無(wú)法感受課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的這種魅力所在。因此，對(duì)于現(xiàn)在的教學(xué)現(xiàn)狀，我們更愿意看到：用實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)話，可讓學(xué)生經(jīng)過(guò)多次擲硬幣，計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)，然后計(jì)算頻率，用頻率來(lái)估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性大小，如果這個(gè)可能性趨向于，就可以推斷這個(gè)硬幣大概是均勻的，這是數(shù)據(jù)分析觀念的思想的體現(xiàn)。

總之，對(duì)于“可能性大小”的思考離不開(kāi)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析，我們要不斷研究，站在知識(shí)鏈的高點(diǎn)處，理清知識(shí)的縱橫向聯(lián)系，整體把握好可能性的中小聯(lián)系，這樣才能彰顯概率論的魅力。

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