高中數(shù)學不等式幾種解題思路分析

姜有文

摘? 要：隨著我國的教育改革的不斷深入，在高中數(shù)學教學中，不等式的地位十分重要，也是高中學生學習的難點以及重點。只有更好地了解和分析不等式的解題思路，才能提升學生解不等式的效率。因此，本文對于一部分不等式的解題方法進行了簡單的描述。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;不等式;解題思路;分析

引言：

在高中數(shù)學教學過程中，不等式是極其重要的，同時也是高考必考的重難點。所以，高中學生在學習不等式的過程中，應(yīng)當了解不等式的基本概念，并且熟練掌握不等式的解法。因此，筆者針對高中部分不等式的解題思路進行了分析。

一、換元法解高中數(shù)學不等式問題

在高中數(shù)學當中，關(guān)于不等式的問題大多采取字母表達的方式，這就十分考驗學生的思維能力。例如一些對多變量以及變量之間的關(guān)系的不等式，我們可以利用換元法來解決問題，將不等式化簡，然后再順利解決問題。采用換元法可以更好地幫助學生構(gòu)建出自己獨特的解題思路，因此，也就需要學生熟練掌握換元法，并且還要勤加練習。而換元法主要有以下幾種形式，一種是三角代換法，另一種就是增量換元法。說到三角代換法，其多數(shù)應(yīng)用于不等式的證明，假設(shè)已知條件十分復雜，一個變量很難用另一個變量來表達，這時就可以使用三角換元法，將兩個不同變量用同一個參數(shù)來表達。熟練掌握這一方法，將三角與代數(shù)結(jié)合起來，從而使得復雜問題變得更加簡單。對于增量換元法來說，就是在對稱式與已知的字母序列不等式中，可以采取增量換元法，經(jīng)過一系列換元后，可以達到減元的目的，使得問題簡單化。這里需要重點提到三角換元法，因為其已知條件會具備一定的局限性，導致對引進的角有很大局限。所以，需要注意觀察，不然很可能解題錯誤。當然這也是換元法解決不等式問題的關(guān)鍵之處，需要對整體思路的運用多加注意。本文以增量換元法為例，已知一元二次不等式 ，求出m的解集范圍。

對于這道題，我們可以很明顯地看出其中含有 ，因此，我們可以用字母x來代替，就可以將 換元成x2-2， 可以換元成5x，這樣原本的一元二次不等式化簡為x2-5x+6=0，最終得到x1=2，x2=3。因此，我們就得出 我們發(fā)現(xiàn)不等式當中含有 ， 等分數(shù)，無形中增加了解題的難度，而且也會使得計算步驟增加，加大解題難度，使得學生更容易犯錯。所以，推薦學生們使用換元法解決問題，將復雜變量進行轉(zhuǎn)化，從而使得不等式變得簡單，最后在將其還原到原本的不等式之中，可以更輕松地得到正確答案[1]。

二、放縮法解決高中不等式問題

對于高中出現(xiàn)的不等式，除了應(yīng)用換元法以外，還可以應(yīng)用放縮法解不等式，這也同樣是解不等式的重要方法。簡單來說，在不等式證明中使用放縮法，這種解題過程將依照不等式的傳遞性，在公式變形過程中把部分分式和數(shù)字縮小或放大，進而證明問題。在進行放縮法解不等式時，依照不等式的傳遞性，通常采取舍去部分正項或者負項，讓不等式中的每一項之和縮小或者變大，也可以將不等式中的積與和每一項換成較小或者較大的數(shù)，或?qū)⒉坏仁街械姆质街械姆肿踊蚍帜高M行放大或者縮小，從而降低解題難度，達到解題目的。但是在進行放大和縮小時，應(yīng)注意放大與縮小應(yīng)恰當，而我們常用的方式就是拆補方所、編組放縮以及改變分母或者分子的放縮等[2]。

例如，證明

解決這道題時，我們不妨設(shè)立一個數(shù)值p，使得p= ，然后可以將p進行平方，得到? 。因此，也很輕松得出p<0.01。

三、分類討論法解決高中不等式問題

除了以上介紹的兩種解決高中不等式問題的方法外，還有一種解決不等式問題的方法就是分類討論法。這同樣也是解決不等式問題的重要方法，學生可以適當?shù)乩梅诸愄接懙姆椒▉斫鉀Q不等式問題。這種不等式的解決方法可以培養(yǎng)學生的獨立思考能力，還可以激發(fā)學生自身對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)其對于數(shù)學的探索能力，不僅如此，還可以幫助學生復習數(shù)學知識。高中數(shù)學不等式問題涉及到很多條件，為此，必須對其進行歸納整理，而分類討論法就十分有效，它可以幫助學生預(yù)防出現(xiàn)紕漏，可以對問題的各個條件展開分析，達到解決問題的目的[3]。

例如，求

解決此道題時，就可以使用分類討論法進行解答。因為上式當中 的系數(shù)為1，所以僅需考慮 就可以了。得出 當b等于3或-3時， 就等于0，可以得出這道題的答案m屬于R，但是m并不等于 。當3>b>-3時，不難發(fā)現(xiàn) <0，于是得到答案是全集R。當b<3或b>-3時，可以得出 >0，從而得出兩個計算結(jié)果分別為 ， ，于是就可以得出解集為 或者m> 。本題就是對b進行了分類討論，從而列出不同條件下的正確答案，不會出現(xiàn)問題解答錯誤的現(xiàn)象。

結(jié)束語：

總而言之，在高中數(shù)學學習過程中，總是離不開數(shù)論以及幾何學，而且這都和不等式有著緊密聯(lián)系，這也就突出了不等式問題的重要性。所以，作為一名高中生，必須要熟練掌握不等式的解題技巧，而且要靈活運用各種不同的解題思路。只有這樣才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，以此找到突破口，從而使得解不等式問題不再復雜，進而大大提升做題效率，節(jié)省大量時間。

參考文獻：

[1]張惠淑.高中數(shù)學不等式高考試題分析與教學策略研究[D].天津師范大學，2012.

[2]曹志新.高中生解不等式困難點的研究[D].東北師范大學，2012.

[3]陳超.高中數(shù)學不等式教學策略研究[D].內(nèi)蒙古師范大學，2016.