“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)反思

劉客

【摘要】 ?方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容，表面上看，這一內(nèi)容的教學(xué)并不困難，有的學(xué)生認(rèn)為也沒(méi)什么可學(xué)的，有的老師也在議論這節(jié)怎么教，怎么考…今天，兩堂新授課后，與部分學(xué)生進(jìn)行了交流，都認(rèn)為能聽(tīng)懂，但是，通過(guò)作業(yè)檢測(cè)，效果明顯不好。總的來(lái)說(shuō)，教學(xué)效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問(wèn)題，看來(lái)具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問(wèn)題，談一談需要妥善處理其中的一些問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 ?方程 函數(shù) 教學(xué)反思

【中圖分類(lèi)號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）19-165-01

一、如何引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并學(xué)會(huì)從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)由特殊到一般地思考問(wèn)題

教材設(shè)置函數(shù)的零點(diǎn)這一內(nèi)容的目的，就是為了體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。所以，教學(xué)一開(kāi)始就應(yīng)該從學(xué)生用已學(xué)方法不能求解的方程出發(fā)展開(kāi)討論，然后引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx+2x-6=0是否有實(shí)根？為什么？

二、怎樣突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數(shù)I”一章的始終，學(xué)生通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，已基本形成數(shù)形結(jié)合的思想方法，所以本節(jié)教學(xué)應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問(wèn)題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒(méi)有留給學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系時(shí)，函數(shù)圖象起到了關(guān)鍵的橋梁作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點(diǎn)之間的數(shù)形結(jié)合的關(guān)系。在這種能夠體現(xiàn)思想方法的關(guān)鍵地方，教師要舍得花時(shí)間，要讓學(xué)生由方程自覺(jué)地聯(lián)想到相應(yīng)的函數(shù)，主動(dòng)地建立方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系，提升數(shù)形結(jié)合思想方法的層次，增強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)。

三、如何從直觀到抽象

教材是通過(guò)由直觀到抽象的過(guò)程，才得到判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)的一種條件。如何讓學(xué)生從直觀自然地到抽象，有下面幾個(gè)教學(xué)難點(diǎn)需要處理：

1.如何引導(dǎo)學(xué)生用f（a）*f（b）<0來(lái)說(shuō)明函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)

教材是先從函數(shù)圖象出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點(diǎn)，來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是否有零點(diǎn)。這是一個(gè)直觀認(rèn)識(shí)的過(guò)程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難。然后再讓學(xué)生認(rèn)識(shí)，f（a）*f（b）<0則函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有交點(diǎn)。不過(guò)，這卻是一個(gè)由直觀到抽象的飛躍，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有困難的。教學(xué)的關(guān)鍵在于，如何引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)f（x）的圖象穿過(guò)x軸在（a，b）的部分，聯(lián)想到f（a）*f（b）<0。為此，我們不妨可以通過(guò)下列問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生：

（1）我們看到，當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象穿過(guò)x軸時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn)。如果不作出函數(shù)f（x）的圖象，你又如何判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)？

（2）函數(shù)f（x）的圖象穿過(guò)x軸這是幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來(lái)描述呢？

（3）函數(shù)f（x）的圖象穿過(guò)x軸其實(shí)就是穿過(guò)與x軸的交點(diǎn)周?chē)牟糠?，比如（a，b）。在區(qū)間（a，b）內(nèi)，如何用代數(shù)形式來(lái)描述呢？

（4）如果函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)為（c，0），那么函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（a，c）和區(qū)間（c，b）上的值各有什么特點(diǎn)？這對(duì)我們用代數(shù)形式進(jìn)行描述有何幫助？

（5）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點(diǎn)，請(qǐng)舉例說(shuō)明。

函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有f（a）f（b）<0，且有零點(diǎn)，那么一定只有一個(gè)嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

（7）函數(shù)值在區(qū)間（a，b）上連續(xù)且存在零點(diǎn)，則它在區(qū)間（a，b）端點(diǎn)的函數(shù)值一定有f（a）f（b）<0嗎？

通過(guò)這些問(wèn)題的解決，就能獲得函數(shù)零點(diǎn)存在條件：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c就是方程f（c）=0的根。還要明確定理只能判定零點(diǎn)的存在性，不能判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2.如何引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

要判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可先觀察函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，再進(jìn)行證明。這同樣是一個(gè)從直觀到抽象的過(guò)程，教學(xué)需要處理好下列兩個(gè)問(wèn)題：

（1）如何引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)觀察到函數(shù)f（x）的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)后，可以在（a，b）內(nèi)分別選取每個(gè)交點(diǎn)周?chē)囊粋€(gè)區(qū)間，然后說(shuō)明函數(shù)分別在各個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)。這樣，就將判斷函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)分別只有一個(gè)零點(diǎn)。

（2）要證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程

證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，是一個(gè)從圖象的直觀到抽象的代數(shù)證明的理性思維過(guò)程。從學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)積累來(lái)看，目前教學(xué)應(yīng)立足從圖象直觀來(lái)認(rèn)識(shí)，對(duì)于易于用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的函數(shù)，可要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)證明。待學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后，再統(tǒng)一要求學(xué)生對(duì)所有的函數(shù)都進(jìn)行代數(shù)證明。

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容，第一次教學(xué)就要取得成功的確不易?？磥?lái)，像這些中學(xué)新增內(nèi)容的教學(xué)，需要一個(gè)不斷實(shí)踐以及實(shí)踐后的反思的過(guò)程，在實(shí)踐與反思的過(guò)程中，不僅要妥善解決上述問(wèn)題，還要不斷地發(fā)現(xiàn)和解決新的問(wèn)題，這樣，教學(xué)效果才會(huì)逐步得到改善。