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    歐拉公式的妙用

    2019-09-10 04:07:35王晶郭立豐
    學習與科普 2019年29期
    關(guān)鍵詞:微分方程積分

    王晶 郭立豐

    摘 要:歐拉公式將三角函數(shù)運算轉(zhuǎn)化為復指數(shù)函數(shù)運算,在三角函數(shù)相關(guān)運算中利用直觀的代數(shù)運算解決問題。在微積分運算中,將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積轉(zhuǎn)化為復變量指數(shù)函數(shù)簡化計算。在微分方程運算中,將復值函數(shù)轉(zhuǎn)化為實值函數(shù),體現(xiàn)復數(shù)域與實數(shù)域的和諧統(tǒng)一。

    關(guān)鍵詞:歐拉公式、復指數(shù)函數(shù)、積分、微分方程

    歐拉公式將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系起來,為研究這兩種函數(shù)的有關(guān)運算及性質(zhì)架起了一座橋梁。歐拉公式將實數(shù)域問題擴大到復數(shù)域討論,構(gòu)造復指數(shù)函數(shù)巧妙地將問題簡化。下面給出歐拉公式的具體應用實例。

    1.三角函數(shù)中的應用

    歐拉公式在證明三角恒等式、求解三角方程、三角級數(shù)的相關(guān)運算和探求一些復雜的三角關(guān)系時,可以避免復雜的三角變換,利用較直觀的代數(shù)運算使問題得到解決。

    2.高階導數(shù)計算中的應用

    取其實部可得

    3.積分計算中的應用

    對被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分,利用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為復指數(shù)函數(shù),降低解題難度。

    4.高階常系數(shù)齊次線性微分方程求解中的應用

    高階常系數(shù)齊次線性微分的特征方程求解中,如果特征方程有一對共軛復根,利用歐拉公式及疊加原理將復值函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷嵵岛瘮?shù)。

    參考文獻:

    [1]西安交通大學高等數(shù)學教研室.復變函數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1996.

    [2]歐陽光中、朱學炎等.數(shù)學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

    [3]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2012.

    基金項目:

    [1]2018年度黑龍江省高等教育教學改革一般研究項目,項目編號SJGY20180060

    [2]黑龍江省教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度重點課題,項目編號GBB1318022

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