拉格朗日中值定理在分析證明不等式中的應(yīng)用

顏挺進(jìn)

摘 要：隨著我國教育行業(yè)的不斷進(jìn)步與發(fā)展，當(dāng)前高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維養(yǎng)成也越來越重要，尤其是在函數(shù)和不等式的解題過程中。在平時的學(xué)習(xí)過程中若是學(xué)生可以很好的掌握拉格朗日中值定理，并運用此定理進(jìn)行解題，可以顯著的提高學(xué)生實際的解題能力。本文對拉格朗日中值定理的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了簡單的介紹，并結(jié)合相應(yīng)的不等式問題對其進(jìn)行系統(tǒng)的分析，將在實際解決相應(yīng)不等式問題時所應(yīng)用該定理的具體步驟進(jìn)行了簡單的分析與探討，從而有效的提高學(xué)生實際解決問題正確率以及提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理;數(shù)學(xué)問題;不等式;應(yīng)用;分析

引言：在實際進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中，不等式問題占有十分重要的地位，并且在考試中占有大量的分值。但是一般情況下在學(xué)生實際解決這類不等式問題時難度較高，給學(xué)生的數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)帶來了很大的困難，這也使得學(xué)生實際的解題能力始終難以解決，并且對整體的解題效率產(chǎn)生了很大的影響，很多學(xué)生由于難以攻克不等式數(shù)學(xué)問題的難關(guān)而使得整體的數(shù)學(xué)成績一直難以提高。

一、拉格朗日中值定理的具體含義以及其實際的表達(dá)形式

一般拉格朗日中值定理又可以將其稱為拉式定理，在微積分?jǐn)?shù)學(xué)理論當(dāng)中占有十分重要的地位，利用此定理可以將相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間中和本區(qū)間當(dāng)中某一個特殊點具體的局部變化率，及其內(nèi)部所具有的聯(lián)系進(jìn)行詳細(xì)的介紹，讓使用者可以更加明確的了解到各個導(dǎo)函數(shù)實際的意義。此定理在發(fā)展是在羅齊爾中值定理的基礎(chǔ)上衍生而出的，也可以將其當(dāng)做柯西中值定理當(dāng)中的一個特殊形式。

拉格朗日中值定理的具體表達(dá)形式如下：

通常在使用拉格朗日中值定理時可以利用以下幾個具體的數(shù)學(xué)語言對其進(jìn)行表達(dá)，首先需要設(shè)存在一個函數(shù)f（x），并且此函數(shù)需要滿足以下幾個要求，第一點要求就是必須要確保此函數(shù)在[a，b]這個閉區(qū)間內(nèi)為一個連續(xù)導(dǎo)數(shù)，第二點需要保證此函數(shù)在（a，b）這個開區(qū)間上是一個可導(dǎo)的函數(shù)。結(jié)合這兩點可以判斷出開區(qū)間（a，b）上最少會存在一個點Σ比a大比b小，讓此函數(shù)可以滿足f（a）-f（b）=f′（Σ）（a-b）是一個正確并且成立的方程。而還有一個形式為需要先設(shè)一個未知量x，設(shè)這個未知量為[a，b]這個閉區(qū)間當(dāng)中存在的一點，利用x+?x代表此區(qū)間當(dāng)中的另外一個點，并且需要確保?x大于零或者是?x小于零，這樣此定理在區(qū)間[x，x+?x]上可以確保以下等式成立：f+（x+?x）-f（x）=f′（x+n?x）·?x此式子還需要滿足（0

二、拉格朗日中值定理在解不等式問題當(dāng)中的具體應(yīng)用

1、通過公式直接求解不等式

拉格朗日中值定理在現(xiàn)今的大學(xué)高數(shù)教學(xué)過程中也有著廣泛的應(yīng)用，其中一個主要應(yīng)用就是通過定義公式，可以直接求解相應(yīng)的不等式。拉格朗日中值定理在應(yīng)用過程中不僅要注重合理的科學(xué)性，同時也要注重集體步驟思維相性。尤其是在解不等式問題過程中，通過公式可以直接將一些不必要的步驟直接忽略，然后將結(jié)果進(jìn)行分析出來。它減少了在很多過程上的思考，使問題的解決變得更加簡單方便。

2、構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)求解不等式

拉格朗日中值定理不僅自身能夠進(jìn)行一些不等式的計算，它同樣也可以與其他函數(shù)公式相結(jié)合去求解更加復(fù)雜的不等式。而該定理在進(jìn)行與其他函數(shù)相結(jié)合的過程中會產(chǎn)生很多結(jié)合產(chǎn)物，比如說在拉格朗日中值定理基礎(chǔ)之上，又會出現(xiàn)一個新的公式，而這種公式在今后計算過程中將會直接被用于計算問題當(dāng)中，這個定理同樣也會被直接形成一個固定的可直接使用的常用定理，然后讓同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)。

三、拉格朗日的中值定理的證明思維

3.1中值法

拉格朗日的中值計算步驟主要可以分為以下幾點：

1）將結(jié)論讀為x，通過簡單化使得等式的右側(cè)為0

2）對等式的右側(cè)進(jìn)行求導(dǎo)的運算（運算過程省略）

3）再設(shè)置輔助函數(shù)，使用拉格朗日中值定理使得結(jié)論成立，在將要證明的結(jié)論中湊成一個F’（x），根據(jù)這些求導(dǎo)出F（x）值，再換成x，變形后觀察

3.2常數(shù)值法

在構(gòu)造等式函數(shù)時，如果等式的關(guān)于端點處的函數(shù)值具有著對稱性，一般會使用常數(shù)K值法來構(gòu)造一個輔助的函數(shù)關(guān)系式，作為K，也就是常數(shù)的分離出來的一部分，在進(jìn)行恒等變形使得等式的一端a和f（a）構(gòu)成一個代數(shù)關(guān)系式，b和f（b）構(gòu)成一個代數(shù)關(guān)系式，把代數(shù)式中的端點值（a或者是b）設(shè)為x成為輔助函數(shù)。

總結(jié)近年來，隨著我國對于很多數(shù)學(xué)定理的不斷深度研究，很多都已經(jīng)漸漸的成為當(dāng)今學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所學(xué)的重要知識點，這些知識點在進(jìn)行學(xué)習(xí)過程中，不僅能夠幫助同學(xué)們解決更多的數(shù)學(xué)問題，更為重要的是能夠幫同學(xué)們建立起一個完善的數(shù)學(xué)解決問題思維。很多定理公式，只要背下來就可以進(jìn)行計算解決相應(yīng)的問題，但同樣也有很多人無法理解定理的含義和應(yīng)該應(yīng)用的范圍，所以在使用過程中會遇到一些困難。定理的本身含義就是為了提高同學(xué)們自身的解決問題能力才進(jìn)行使用與應(yīng)用的，同時減少解題步驟的復(fù)雜程度。拉格朗日中值定理已經(jīng)成為了當(dāng)今大學(xué)生以及高中學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中必須要接觸的一個數(shù)學(xué)定理，不僅僅是因為近幾年來數(shù)學(xué)題型的不斷變化與難易程度的不斷提高，更為重要的是必須要借助相應(yīng)的定理來提高同學(xué)們的實際解題能力與建立一個完善的思維邏輯能力。希望通過本文的分析，能夠讓更多的人廣泛關(guān)注到拉格朗日中值定理的具體應(yīng)用，同樣也希望該定理在應(yīng)用過程中能夠被更多人接受更多人學(xué)習(xí)，也希望通過本人的分析可以推進(jìn)我國教育事業(yè)的快速發(fā)展。

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