高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法

郝嘉駿

摘 要：本文主要以高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法為重點(diǎn)進(jìn)行闡述，結(jié)合當(dāng)下高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常見(jiàn)思想為主要依據(jù)，從比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、放縮法這幾方面進(jìn)行深入探討與研究，其目的在于加強(qiáng)我們不等式證明的能力。

關(guān)鍵詞：不等式;證明;常用方法

引言：高中數(shù)學(xué)中不等式的證明問(wèn)題，因?yàn)榉椒ǘ鄻印㈩}型多變，外加沒(méi)有規(guī)律可循，一般無(wú)法用一種方式就能優(yōu)化，其是各種方法的靈活應(yīng)用，也是多種思想方法的集中體現(xiàn)，為此難度相對(duì)較大。優(yōu)化這個(gè)問(wèn)題的主要方式為熟練掌握基本不等式與不等式的性質(zhì)，靈活應(yīng)用常用方法。本文主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法進(jìn)行分析。

一、高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常見(jiàn)思想

（一）分類(lèi)思想

所謂分類(lèi)思想指的是依據(jù)研究主體的某個(gè)屬性的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)，把研究主體分為多個(gè)類(lèi)別，并對(duì)多個(gè)類(lèi)別進(jìn)行研究與探討的數(shù)學(xué)思想。分類(lèi)思想的掌握，有利于我們理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高知識(shí)獲取能力，構(gòu)建健全的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)。

（二）數(shù)形結(jié)合思想

在高中數(shù)學(xué)中數(shù)和形為兩個(gè)互相交叉的知識(shí)板塊，所謂數(shù)形結(jié)合思想指的是通過(guò)數(shù)和形有效融合來(lái)優(yōu)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，一直貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，圖解法、向量法以及幅書(shū)法皆是數(shù)形結(jié)合思想的主要運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合思想能夠把簡(jiǎn)化繁雜的問(wèn)題，將抽象知識(shí)具象化，進(jìn)而讓問(wèn)題得到優(yōu)化，在不等式證明學(xué)習(xí)中，我們需要合理應(yīng)用圖形圖像，讓我們有效理解數(shù)形結(jié)合思想，并讓其加以使用。

（三）轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思維為我們依據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，利用聯(lián)想、觀察以及類(lèi)比等方式，轉(zhuǎn)換待求解的問(wèn)題，直至轉(zhuǎn)化為易解決問(wèn)題的思想，我們倘若掌握了轉(zhuǎn)化思想，便能夠進(jìn)行各種轉(zhuǎn)化，例如用化歸思想將多元方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉匠?，將高次方程轉(zhuǎn)為低次方程，在不等式證明中合理運(yùn)用[1]。

二、高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法

（一）比較法

在高中數(shù)學(xué)中最常用也是最基礎(chǔ)的一種不等式證明方法就是比較法，比較法又分為求差法與求商法。

第一，求差法。其理論依據(jù)為不等式的基本性質(zhì)，主要的求差步驟為：首先作差，對(duì)不等式左右兩邊的構(gòu)成進(jìn)行考察，并把其看作是一個(gè)整體。其次變形，把不等式左右兩邊進(jìn)行作差變形，既可以使其變成幾個(gè)平方的和，還可以使其變成一個(gè)常數(shù)。變形最為重要的一點(diǎn)就是差值比較法，其中配方法和因式分解法較為常用。最后判斷，根據(jù)上述變形的記過(guò)與題目中的已知條件，判斷不等式左右兩邊的差，然后對(duì)不等式成立的結(jié)論進(jìn)行肯定。一般情況下，求差法的適用范圍為證明不等式兩邊為分式或是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)用差值比較法。

第二，求商法。其主要步驟為：首先作商，對(duì)不等式左右兩側(cè)的式子進(jìn)行作商;其次變形，把商式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其為最簡(jiǎn)的形式;最后判斷，把1和商的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，即判斷商是大于1還是小于1。求商法在通常情況下的使用范圍為被證不等式兩側(cè)有指數(shù)式或是冪數(shù)式時(shí)，應(yīng)用求商法[2]。

（二）分析法

分析法主要是指結(jié)合需要證明的不等式，對(duì)不等式成立的條件進(jìn)行認(rèn)真分析，并對(duì)該條件是否存在進(jìn)行判斷。分析法的基本思路和特點(diǎn)為執(zhí)果索因，簡(jiǎn)單的講就是從未知看到須知，再慢慢趨近已知。其邏輯關(guān)系是：B，B1，B2…Bn，A。

（三）綜合法

所謂綜合法就是應(yīng)用已知事實(shí)當(dāng)作基礎(chǔ)，其中已知事實(shí)主要包含已經(jīng)得到證明的不等式、已知條件、重要不等式等，結(jié)合不等式的性質(zhì)和定理，實(shí)施邏輯推理，最終得到需要論證的不等式。綜合法的基本思路與特點(diǎn)為由因?qū)Ч?，?jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是由已知看到須知，漸漸將結(jié)論推導(dǎo)出來(lái)，其基本思路與分析法正好是相反的。其邏輯關(guān)系是：A，B1，B2…Bn，B，即從已知條件A慢慢將不等式成立的必要條件推導(dǎo)出，進(jìn)而得到結(jié)論B[3]。

（四）放縮法

對(duì)于不易論證的不等式A<B，放縮發(fā)則是依托一個(gè)或是多個(gè)中間變量通過(guò)適當(dāng)?shù)目s小或是放大，從而實(shí)現(xiàn)不等式證明的方式。應(yīng)用放縮法對(duì)不等式證明的主要依據(jù)為：第一，不等式較強(qiáng)的傳遞性;第二，不等量同等量相加等于不等量;第三，異分母與同分子這兩個(gè)分子式相比。經(jīng)常使用的收縮技巧包含下述三種：一是加入一些項(xiàng)或是舍掉一些項(xiàng);二是在分式之中縮小或是放大分母或是分子;三是使用均值不等式放縮。

（五）反證法

高中數(shù)學(xué)中有部分不等式的證明，從證明不好論證，而從反面則好論證，即對(duì)不等式A>B進(jìn)行證明，首先需假設(shè)A≤B，從其他性質(zhì)與題設(shè)，推出矛盾，進(jìn)而肯定不等式A>B。凡是有“不可能”、“至多”、“不存在”等詞語(yǔ)或是證明不等式為唯一命題與否定命題時(shí)，能夠考慮使用反證法[4]。

（六）換元法

換元法針對(duì)的是部分變量較多或結(jié)構(gòu)繁雜的不等式，在不等式中引入一個(gè)或是多個(gè)變量對(duì)結(jié)構(gòu)繁雜的不等式進(jìn)行替換，以簡(jiǎn)化初始結(jié)構(gòu)或是實(shí)現(xiàn)某種變通和轉(zhuǎn)化，為不等式證明帶來(lái)新思路。具體換元形式有兩種，其中包含三角代換法和增量換元法。前者一般都用到證明條件不等式上，在題目所給條件較為復(fù)雜繁瑣時(shí)，一個(gè)變量沒(méi)有辦法利用另一個(gè)變量進(jìn)行表示，這時(shí)可以通過(guò)三角代替的形式，利用同一個(gè)參數(shù)，對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行表示，三角代替的形式如果使用恰當(dāng)，能夠連接代數(shù)與三角間的關(guān)系，把繁雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿菃?wèn)題結(jié)合具體問(wèn)題。后者一般使用在對(duì)稱(chēng)式不等式上和給定字母順序的不等式上，通過(guò)增量換元的方式，主要是利用換元進(jìn)行減元，從而使問(wèn)題從繁至簡(jiǎn)，從難至易。例如a+b=1，能夠用a=1/2+t，b=1/2-t或是a=1-t，b=t換元。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不等式證明占據(jù)主體位置，此外在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽和每年高考試題中不等式證明也常常出現(xiàn)。證明不等式的方式有很多，本文主要闡述了一些不等式證明的常見(jiàn)方式，以期為提高我們不等式證明能力做鋪墊。

參考文獻(xiàn)

[1]潘娟娟，凌雪岷.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類(lèi)常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，33（04）：1-3.

[2]夏靜.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，31（19）：19-20.

[3]曹軍芳.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（01）：220-221+227.

[4]黃東，茍一泉，趙中玲.高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法[J].湖南農(nóng)機(jī)，2011，38（07）：171-172.