導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張馨內(nèi)

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中教材中的重難點(diǎn)，在數(shù)學(xué)的占有著重要地位。并且高考試卷中占有非常高的分值。我們要明確研究導(dǎo)數(shù)的必要性，因?yàn)檠芯繉?dǎo)數(shù)不僅能解決實(shí)際生活問(wèn)題，更在函數(shù)問(wèn)題上發(fā)揮著重大的作用。在中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)經(jīng)常與函數(shù)相結(jié)合，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)能夠充分提高自己的分析和動(dòng)手能力。在這里，筆者將結(jié)合導(dǎo)數(shù)的典例來(lái)向大家細(xì)細(xì)分析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：思想;化繁為簡(jiǎn);應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位

導(dǎo)數(shù)作為高考的重要考點(diǎn)，考察形式很多變，?？嫉男问接校簩?dǎo)數(shù)的定義、單調(diào)性、極值……而它們通常以函數(shù)作為載體來(lái)對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行考察。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的許多問(wèn)題，用初等數(shù)學(xué)方法難以解決，所以在教學(xué)中我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)，在我們的生活中，導(dǎo)數(shù)充分發(fā)揮了它的工具性和應(yīng)用性，為中學(xué)數(shù)學(xué)中的難題帶去了新的解決方法和途徑。

二、結(jié)合導(dǎo)數(shù)典例的分析

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，下面筆者就將結(jié)合幾個(gè)典型的導(dǎo)數(shù)典例來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在各學(xué)科中的應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)的定義如下：當(dāng)自變量的增量x=x-x0，x趨向于0時(shí)，函數(shù)增量y=f（x）-f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限就說(shuō)函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在xO點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或變化率）.

[典例1]已知函數(shù)f（x）=（a）

當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程。

求函數(shù)f（x）的極值。

[分析]在我們研究曲線在某一點(diǎn)的切線的時(shí)，有兩種情況：（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（XO，YO）處的切線方程;（2）已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，求得切線方程為y=y0+。而典例1是第一種情況。

（2）由f′（x）=1+ax=x+ax，x>0知：I、當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無(wú)極值;II、當(dāng)a<0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=?a.又當(dāng)x∈（0，?a）時(shí)，f′（x）<0;當(dāng)x∈（?a，+∞）時(shí)，f′（x）>0，綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值;當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值?a+aln（?a），無(wú)極大值。

在我們碰到這種題型時(shí)，我們首先要明確導(dǎo)數(shù)的概念，熟練的掌握運(yùn)用，對(duì)于該題，我們采用是第一種求切線的方法，我們要是記住這種解題步驟，因?yàn)轭}目的考察形式固定，解題方法同樣固定，當(dāng)學(xué)生掌握了函數(shù)的求導(dǎo)方法以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變換形式，就能將其拿下。而在求導(dǎo)數(shù)的極值時(shí)，它的考察形式其實(shí)也比較固定，學(xué)生要仔細(xì)分析題目的解答步驟，要理解解答過(guò)程中是怎么從一到二，在這一步中使用的是什么知識(shí)點(diǎn)。并且在下次解答時(shí)再次運(yùn)用。

三、導(dǎo)數(shù)在學(xué)科中的應(yīng)用

我們說(shuō)導(dǎo)數(shù)在生活中與我們息息相關(guān)，在這一部分，我們來(lái)細(xì)說(shuō)導(dǎo)數(shù)在生活及學(xué)科中的應(yīng)用。

1.物理學(xué)

導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中，最直觀的讓我們感受到的就是速度和加速度與位移之間的關(guān)系。速度和加速度分別代表位移對(duì)時(shí)間和速度對(duì)時(shí)間的變化率，瞬時(shí)速度表示為v=lim趨向于0），而加速度a=lim，即加速度為速度的導(dǎo)數(shù)。

2.實(shí)際生活

導(dǎo)數(shù)在生活中常常用來(lái)計(jì)算利潤(rùn)最高、成本最低和效率最高的問(wèn)題，即最優(yōu)化問(wèn)題，例如：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去邊長(zhǎng)相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底鐵皮箱子，當(dāng)箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？這里就是典型的最優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件再結(jié)合我們的已學(xué)內(nèi)容，設(shè)箱底的邊長(zhǎng)為x，容積函數(shù)為得到V=f（x），再通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)的最值，即最大容積。

以上只列舉了兩個(gè)方面應(yīng)用，但是導(dǎo)數(shù)在生活中絕對(duì)不止應(yīng)用在是這幾個(gè)方面，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識(shí)并理解該點(diǎn)。

四、學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的意義

導(dǎo)數(shù)于學(xué)生的意義不僅僅只是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷上的高分值，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生們的獨(dú)立思考能力以及讓孩子們形成思維導(dǎo)構(gòu)，導(dǎo)數(shù)的確很難，可是只要抓住導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，一切難關(guān)都能迎刃而解。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生做了大量習(xí)題，老師們將題型分類來(lái)訓(xùn)練孩子，為的是讓學(xué)生形成固定的思維方式，通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，我們希望孩學(xué)生能夠?qū)W會(huì)獨(dú)立思考，拿到問(wèn)題時(shí)學(xué)會(huì)剖析，將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合起來(lái)。做題時(shí)，首先要分析該題考察的什么知識(shí)點(diǎn)，是求曲線的切線斜率還是求函數(shù)的極值……必須要讓孩子們首先明確題目的考點(diǎn)，這種思維方式不僅僅要運(yùn)用在數(shù)學(xué)上，在各個(gè)學(xué)科適用性都非常的強(qiáng)。在練習(xí)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，很多導(dǎo)數(shù)題可以一題多解，我們通過(guò)探究導(dǎo)數(shù)的多解，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力，這種能力和思維方法各個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)上都起著重大作用。通過(guò)不斷練習(xí)，孩子們才能夠?qū)W到更多的知識(shí)，思維導(dǎo)構(gòu)才會(huì)更加清晰，這種思維導(dǎo)構(gòu)運(yùn)用到學(xué)習(xí)和生活上，孩子們會(huì)取得巨大的進(jìn)步。

結(jié)語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在生活與學(xué)習(xí)中有著非常重要的地位，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要善于總結(jié)歸納，將題型與考點(diǎn)歸納出來(lái)，攻克導(dǎo)數(shù)這道難關(guān)。而在未來(lái)的學(xué)習(xí)以及生活中，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)以一種更加開(kāi)闊的思維去應(yīng)對(duì)導(dǎo)數(shù)這個(gè)難關(guān)，導(dǎo)數(shù)存在于我們生活中的方方面面，學(xué)生們必須要將自己的眼界放在更加高的地方，這樣在面對(duì)導(dǎo)數(shù)這個(gè)難關(guān)時(shí)，才能更加清晰的找到導(dǎo)數(shù)的突破口，一舉將其拿下。

參考文獻(xiàn)

[1]唐復(fù)求《導(dǎo)數(shù)在高中物理中的運(yùn)用》;2013年全國(guó)新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)卷