溝通關(guān)系建構(gòu)數(shù)學模型

宋鈞鈞

摘 要：“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學趣題。教學中，本人根據(jù)學生現(xiàn)有的認知水平，努力溝通數(shù)量關(guān)系，解題策略內(nèi)在關(guān)系，有效突破傳統(tǒng)教學模式，滲透化繁為簡的數(shù)學思想，構(gòu)建數(shù)學模型，使學生積累了豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠 ?數(shù)量關(guān)系 策略 數(shù)學思想 數(shù)學模型

一、背景闡述

“雞兔同籠”問題是中國古代經(jīng)典趣題的代表。在現(xiàn)行的各個版本的教材中都有其濃墨重彩的一筆。如北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會運用列表這種基本的解題策略解題;蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略;原人教版（實驗版）則是在六年級上冊“數(shù)學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法（列表、假設(shè)或方程解等）及實際應(yīng)用。除此之外，還有不少名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它，特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

二、教學片段

（一）、情境導(dǎo)入：呈現(xiàn)教材情境圖（古人學習“雞兔同籠” 問題圖），理解“古語”并提出問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：猜一猜：雞和兔各有多少只？

師：他們的猜測對嗎？同學們有方法來驗證一下嗎？

師：大家猜了好幾組數(shù)據(jù)，但是經(jīng)過驗證都不對，為什么都猜不準呢？

生：數(shù)太大了不好猜！

【設(shè)計意圖：1.通過大數(shù)據(jù)的“雞兔同籠”問題進行答案的猜測，由于學生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和知識儲備，他們會猜測出各種答案（但絕不會猜測全部是雞或全部是兔子），這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向，還增強了學生的數(shù)感，發(fā)展了推理能力;2.根據(jù)猜測進行計算、驗證，感受大數(shù)據(jù)下的問題解決困難，滲透化繁為簡的數(shù)學思想;3.讓學生經(jīng)歷猜測、計算、驗證的活動過程初步體驗數(shù)量之間的關(guān)系（在頭數(shù)不變的情況下：雞、兔數(shù)量的多少變化和隨之發(fā)生變化的腳的數(shù)量之間的關(guān)系）、積累基本的活動經(jīng)驗，為接下來的列表解決問題鋪墊。】

（二）、新知探究

1.呈現(xiàn)例一，滲透思想

師：數(shù)小一些是不是就能猜對了？

出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

2.自主嘗試，解決問題：獨立思考可以列表、畫圖、算式等，嘗試解決，然后匯報。

【設(shè)計意圖：1.給予學生充分的時間與空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，從中發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題中的一些特殊的規(guī)律，初步體會其內(nèi)在聯(lián)系，從而感悟數(shù)量之間的關(guān)系;2.嘗試用多種方法（畫圖、列表、計算等）解決雞兔同籠問題，初步感受各種解題策略之間的關(guān)系。】

3.交流策略，溝通數(shù)量關(guān)系

師：經(jīng)過同學們的研究，現(xiàn)在知道雞和兔各有幾只了嗎？

師：你是怎么探究得出這個結(jié)果的？老師請這幾位同學來為大家做匯報？

生1：逐一舉例：從雞有0只，兔有8只開始推算（如下表）

師：仔細觀察，你能發(fā)現(xiàn)些什么？

追問：從左往右看，每次增加1只雞，減少1只兔，腿數(shù)是怎么變化的？

（把一只雞換成一只兔，腳的數(shù)量就增加2只）

追問：從右往左看，每次增加1只兔，減少1只雞，腿數(shù)又是怎么變化的？

（把一只兔換成一只雞，腳的數(shù)量就減少2只）

……

師：你認為這種方法有什么特點？（逐一舉例）

小結(jié)：逐一列表法雖然比較麻煩，但是不重復(fù)不遺漏;

【設(shè)計意圖：1.第一張列表的選擇呈現(xiàn)學生常規(guī)的逐一舉例法，引導(dǎo)學生按順序?qū)ふ掖鸢?2.呈現(xiàn)逐一舉例的列表更利于教師有效的持續(xù)的引導(dǎo)，幫助學生發(fā)現(xiàn)并理清兔子和雞之間到底有什么關(guān)系?！?/p>

生2：請取中列表的同學匯報（取中列舉：如下表）

師：你為什么選擇4只雞、4只兔為第一組數(shù)據(jù)？

師：在驗證了第一組數(shù)據(jù)后，（計算驗證后發(fā)現(xiàn)了什么問題？）馬上調(diào)整為第二組數(shù)據(jù)？

師：在驗證了第二組數(shù)據(jù)后，（計算驗證后發(fā)現(xiàn)了什么問題？）馬上調(diào)整為第三組數(shù)據(jù)？

追問：他的這種猜測、計算驗證、分析、調(diào)整的方法怎么樣？（簡便、快捷）

【設(shè)計意圖：1.合理的利用有價值的生成，盡可能關(guān)注學生在學生中的遇到的問題與困惑，激活學生的思維，促進學生自主能動的開展學習、探究活動;2.在取中舉例4雞4兔有24只腳的基礎(chǔ)上，對比腳的數(shù)量進行了第一次調(diào)整（5雞3兔），發(fā)現(xiàn)“增雞減兔”后發(fā)現(xiàn)腳數(shù)更少了，因此進行了第二次調(diào)整（3雞5兔）“增兔減雞”，腳數(shù)才等于26只，再一次感受雞、兔頭數(shù)的數(shù)量變化與腳數(shù)之間的數(shù)量變化的關(guān)系;3.在逐一列表并發(fā)現(xiàn)雞兔的頭數(shù)變化與腳數(shù)變化之間的數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，感悟?qū)Σ聹y、計算、驗證后的數(shù)量關(guān)系（猜測下的腳數(shù)與實際腳數(shù)的數(shù)量關(guān)系），并進行合理的分析、調(diào)整（猜測下腳多了——“減兔增雞”;猜測下腳少了——“增兔減雞”）?！?/p>

師：現(xiàn)在你能根據(jù)調(diào)整數(shù)據(jù)的方法，練習調(diào)整從8雞0兔16腳和0雞8兔32腳調(diào)整到26腳。說一說調(diào)整的方法。（如下表）

總結(jié)：這些同學根據(jù)已知信息進行嘗試猜測，分析后進行合理調(diào)整，然后進行計算驗證，最終都得到正確答案。（相機板書：猜測、驗證、調(diào)整）

三、結(jié)語

史寧中教授提出：義務(wù)教育階段數(shù)學的本質(zhì)是研究“關(guān)系”。本課教學中我致力于引導(dǎo)學生通過猜測、計算、驗證、分析、推理、調(diào)整等思維活動，借助“畫圖法”探究并理解“雞兔同籠”問題的本質(zhì)，幫助學生溝通數(shù)量之間的關(guān)系，解決問題策略之間的內(nèi)在關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學生思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而把所列的表格，圖形、總結(jié)的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號，建構(gòu)成數(shù)學模型。

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