把握整體結(jié)構(gòu)，體悟育人價(jià)值

孔德鵬

摘要：對(duì)《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課，從課題引入背景、知識(shí)發(fā)生過(guò)程等角度解讀教材，把握整體結(jié)構(gòu)。由此，進(jìn)行教學(xué)思考，體悟育人價(jià)值：教學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題;滲透“控制變量，分解問(wèn)題”“從熟悉到陌生、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”、類比、數(shù)形結(jié)合、歸納、演繹等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)理性思維和精神。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)的圖像教材解讀數(shù)學(xué)思想方法

近日，南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍名師工作室“深度研課”活動(dòng)在南京市第二十七高級(jí)中學(xué)舉行，課題是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4中的“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”，采用同課異構(gòu)的形式。筆者參與其中，認(rèn)真聽(tīng)課、評(píng)課，與專家交流，加深了對(duì)這節(jié)課教材編寫(xiě)意圖的理解，提升了對(duì)這節(jié)課教學(xué)目標(biāo)定位的認(rèn)識(shí)。

一、教材解讀：把握整體結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)總是處于一定的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中的，具有“前后一致、邏輯連貫”的特點(diǎn)。研讀教材，要厘清課時(shí)內(nèi)容在所屬知識(shí)體系中所處的地位，把握課題引入和知識(shí)發(fā)生的過(guò)程;要靈活處理數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)二者的有機(jī)結(jié)合。

（一）關(guān)注課題引入背景

這節(jié)課教材從物理學(xué)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型引入，給出了位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系s=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0），并指明解析式中A、ω、φ的實(shí)際意義。這樣的安排便于學(xué)生體會(huì)到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）具有現(xiàn)實(shí)意義和研究?jī)r(jià)值，在物理學(xué)、工程技術(shù)中具有廣泛的應(yīng)用;并意識(shí)到它具有周期性，與函數(shù)y=sinx有類似的性質(zhì)和密切的聯(lián)系，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)傾向。

接下來(lái)，教材提出了本節(jié)課的核心問(wèn)題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關(guān)系？要求學(xué)生進(jìn)行邏輯思辨，尋找研究的突破口。事實(shí)上，函數(shù)y=sinx是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）“大家族”中的一員，它們是局部與整體的關(guān)系。從特例出發(fā)，從原有認(rèn)知出發(fā)，這也滲透了從特殊到一般、從已知到未知的歸納和轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程;反過(guò)來(lái)，也體現(xiàn)了演繹和轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，即在函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中通過(guò)賦值A(chǔ)=1、ω=1、φ=0得到函數(shù)y=sinx。

這樣的課題引入注重知識(shí)背景的挖掘，貼近學(xué)習(xí)的實(shí)際需求，有利于研究的開(kāi)展。但是，教材對(duì)于物理模型的處理過(guò)于簡(jiǎn)單，以直接告知的方式會(huì)讓人感覺(jué)不著邊際：函數(shù)解析式s=Asin（ωt+φ）是怎么來(lái)的？如果留下“漏洞”繼續(xù)學(xué)習(xí)，顯然不利于學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)的必要性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。所以，要補(bǔ)上這個(gè)“漏洞”，加入數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，顯化函數(shù)模型的獲得。可以用生活中的摩天輪或物理學(xué)中的單擺、潮汐現(xiàn)象等引入課題。如果兼顧學(xué)情，最好以摩天輪為載本引入課題，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)單位圓更熟悉。這有利于降低數(shù)學(xué)建模的難度，給學(xué)生成就感，為本節(jié)課積累平和正向的情緒體驗(yàn)。

（二）理清知識(shí)發(fā)生過(guò)程

提出本節(jié)課的核心問(wèn)題后，教材用問(wèn)題分解的策略研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像與函數(shù)y=sinx圖像的關(guān)系：控制其中兩個(gè)參數(shù)，研究剩下一個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響;再控制其中一個(gè)參數(shù)（主要是A），研究剩下兩個(gè)參數(shù)（主要是ω、φ）對(duì)函數(shù)圖像的影響。具體地，采用由特殊到一般的策略：

（1）作出y=sin（x+1）和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系;作出y=sin（x-1）和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，歸納一般情況。

（2）作出y=3sinx和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系;作出y=13sinx和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，歸納一般情況。

（3）作出y=sin 2x和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系;作出y=sin12x和y=sinx的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，歸納一般情況。

（4）作出y=sin（2x+1）和y=sin 2x的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系;作出y=sin（2x-1）和y=sin 2x的圖像，總結(jié)圖像的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，歸納一般情況。

教材分別就單個(gè)參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖像的影響展開(kāi)探究，體現(xiàn)的正是將復(fù)雜的問(wèn)題分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題分別研究，小步驟、低難度螺旋上升的策略。那么，學(xué)生能否自然地想到這個(gè)策略呢？有什么已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)可以借鑒嗎？事實(shí)上，學(xué)生在初中就有過(guò)這樣的經(jīng)驗(yàn)：研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，用的就是分解策略：先令b=c=0，只研究參數(shù)a對(duì)函數(shù)圖像的影響;再控制a，通過(guò)配方研究參數(shù)b、c對(duì)函數(shù)圖像的影響。教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生前后聯(lián)系，提出問(wèn)題、解決問(wèn)題。

教材分別就單個(gè)參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖像的影響展開(kāi)探究時(shí)，是按照φ→A→ω的順序進(jìn)行的，并沒(méi)有討論為什么。實(shí)際上，這樣的安排有一定的考量：先研究參數(shù)φ對(duì)函數(shù)圖像的影響符合學(xué)生已有的認(rèn)知，因?yàn)閷W(xué)生在必修1中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像的平移變換;先研究參數(shù)A對(duì)函數(shù)圖像的影響再研究參數(shù)ω對(duì)函數(shù)圖像的影響符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，因?yàn)锳對(duì)縱坐標(biāo)是正向影響，容易理解，ω對(duì)橫坐標(biāo)是反向影響，較難理解?？偟膩?lái)看，這樣的安排符合從熟悉到陌生、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從角落到中心的順序。如果學(xué)生基礎(chǔ)較好，也可以放手讓學(xué)生討論這個(gè)問(wèn)題，自主擬訂方案，實(shí)施方案，并嘗試評(píng)價(jià)方案的優(yōu)劣。

二、教學(xué)思考：體悟育人價(jià)值

知識(shí)產(chǎn)生于思維（基于問(wèn)題），運(yùn)用于思維（解決問(wèn)題）。數(shù)學(xué)知識(shí)只是載體，數(shù)學(xué)思維才是更為本質(zhì)、更有價(jià)值、更能發(fā)展學(xué)生能力（獲得知識(shí)、解決問(wèn)題的探究能力）的東西。解讀教材時(shí)，我們著重分析了本節(jié)課的課題引入背景和知識(shí)發(fā)生過(guò)程。思考教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該著重分析本節(jié)課的思維內(nèi)涵，提煉本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想和方法，從而體悟這節(jié)課的育人價(jià)值，抓住這節(jié)課的育人契機(jī)。

（一）教學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“《2017版課標(biāo)》”）提出“四能”的總目標(biāo)，要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中，教師要特別重視讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，形成問(wèn)題意識(shí)。而數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題需要學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，這離不開(kāi)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題的引導(dǎo)。

本節(jié)課中，教師可以選取摩天輪的典型例子——倫敦眼，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，然后設(shè)置問(wèn)題：如圖1，摩天輪半徑為A（單位長(zhǎng)度），逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)ω弧度，如果從摩天輪上的點(diǎn)P位于圖中的點(diǎn)P1處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，∠P0OP1=φ，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的坐標(biāo)系中，確定時(shí)刻t min時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，可以獲得結(jié)果：y=Asin（ωt+φ）。這樣也讓學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，感受了函數(shù)模型的價(jià)值與意義。

接下來(lái)，教師要利用“啟發(fā)性提示語(yǔ)”啟發(fā)學(xué)生思考：（1）獲得函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）后，接下來(lái)研究什么？——學(xué)生回答：研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)。（2）如何研究？——學(xué)生回答：從特例開(kāi)始，從簡(jiǎn)單的開(kāi)始。（3）你們最熟悉什么函數(shù)？——學(xué)生回答：正弦函數(shù)y=sinx。這樣就引導(dǎo)學(xué)生將整個(gè)研究思路自然地過(guò)渡，提出了本節(jié)課的核心問(wèn)題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關(guān)系？

（二）滲透數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)理性思維和精神

分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，處處滲透著數(shù)學(xué)思想和方法，能培養(yǎng)理性思維和精神。這些是數(shù)學(xué)育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，《2017版課標(biāo)》將它們提煉為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本節(jié)課除了在課題引入環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模思想（素養(yǎng)）外，還要注意在知識(shí)發(fā)生環(huán)節(jié)滲透以下數(shù)學(xué)思想和方法：

首先，這節(jié)課要教學(xué)生控制變量，分解問(wèn)題的策略。對(duì)于本節(jié)課的核心問(wèn)題，要提問(wèn)學(xué)生怎么研究，是否有過(guò)類似的經(jīng)歷，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，發(fā)現(xiàn)初中研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的策略：控制變量，分解問(wèn)題。由此得到本節(jié)課研究的思路：分別研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）解析式中三個(gè)參數(shù)A、ω、φ對(duì)圖像的影響。這里，要放慢過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到這是研究多變量（參數(shù)）問(wèn)題的一般思路，具有方法論的意義。這是理性思維的體現(xiàn)。

其次，這節(jié)課要突出從熟悉到陌生、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的策略。對(duì)于研究參數(shù)的順序問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)討論，設(shè)計(jì)方案并進(jìn)行比較，從而認(rèn)識(shí)到φ的問(wèn)題比較熟悉，應(yīng)該最先研究;ω的問(wèn)題比較困難，應(yīng)該最后研究。這是理性精神的體現(xiàn)。

再次，這節(jié)課要突出類比思想。分別研究三個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響，不管按照什么順序，如果一個(gè)一個(gè)地展開(kāi)詳細(xì)研究，那么課堂容量大，重點(diǎn)不突出。其實(shí)，這三個(gè)參數(shù)的研究中，φ是基礎(chǔ)，ω是關(guān)鍵。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生一起解決φ的問(wèn)題，然后讓學(xué)生類比研究方法，經(jīng)歷相似過(guò)程，研究剩下的參數(shù);在學(xué)生分組合作、集中匯報(bào)的基礎(chǔ)上，教師可以再?gòu)?qiáng)調(diào)一下ω的問(wèn)題，然后讓學(xué)生研究ω、φ合起來(lái)的問(wèn)題。這是邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn)。

接著，這節(jié)課要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想：最終規(guī)律的獲得（核心問(wèn)題的解決）要從形入手，以數(shù)析形，即畫(huà)出函數(shù)圖像，分析變換關(guān)系。這里，需要指出的是，教材沒(méi)有說(shuō)明畫(huà)出函數(shù)圖像的方法，只呈現(xiàn)了函數(shù)圖像的結(jié)果，讓學(xué)生歸納概括，獲得規(guī)律，這是符合課標(biāo)要求“能借助函數(shù)圖像理解參數(shù)A、ω、φ的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響”的。但是，很多教師會(huì)在課上要求學(xué)生作出函數(shù)圖像，而很多學(xué)生會(huì)直接采用“五點(diǎn)法”。這樣做，一方面浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，不利于這節(jié)課教學(xué)重難點(diǎn)，即尋找圖像之間關(guān)系的凸顯與突破;另一方面有循環(huán)論證的嫌疑，即在不清楚y=Asin（ωx+φ）圖像的大致樣子（周期性和單調(diào)性等）的情況下，使用了“五點(diǎn)法”。實(shí)際上，這里應(yīng)該引入幾何畫(huà)板、圖形計(jì)算器等信息技術(shù)手段畫(huà)出函數(shù)圖像，從而直觀地得到平移變換、伸縮變換的結(jié)論。這是直觀想象素養(yǎng)的體現(xiàn)。

最后，這節(jié)課還要注重歸納、演繹等邏輯推理的運(yùn)用。研究每一個(gè)參數(shù)時(shí)，畫(huà)出多組具體圖像、得到特殊結(jié)論后，要變數(shù)字為字母進(jìn)行抽象，歸納一般情況的規(guī)律。在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)論是對(duì)特殊情況，還是對(duì)一般情況，都要多問(wèn)學(xué)生、多讓學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生注重邏輯推理，從圖形的直觀上回到代數(shù)的推理上。比如，y=sinωx的圖像為什么就是將y=sinx圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω得到的？設(shè)y=sinx圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），要使y=sinωx圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y0，必須有ωx=x0，所以這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是1ωx0，y0，和原來(lái)的坐標(biāo)相比，橫坐標(biāo)變成了1ω。這是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程，也是邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn)。

最后，需要指出的是，上述育人價(jià)值除了在課題引入和知識(shí)發(fā)生環(huán)節(jié)凸顯，還應(yīng)該在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思、總結(jié)、提煉。比如，教師啟發(fā)學(xué)生：這節(jié)課臨近結(jié)束，我們還要干什么？如何總結(jié)這節(jié)課？學(xué)習(xí)了什么？是怎樣開(kāi)展研究的？你提出的問(wèn)題解決了嗎？你還能研究什么問(wèn)題？這樣，才能讓學(xué)生有更深切的體會(huì)和領(lǐng)悟。

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