數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：幾何概念學(xué)習(xí)的“腳手架”

匡金龍

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以貫穿幾何概念教學(xué)的始終。教師要在實(shí)驗(yàn)中引入，豐富圖形經(jīng)驗(yàn)：改圖，感悟圖形聯(lián)系;構(gòu)圖，拓展視覺(jué)空間。要在實(shí)驗(yàn)中探索，突出概念本質(zhì)：選擇合適的素材，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì);厘清實(shí)驗(yàn)序列，逐層建構(gòu)意義。還要在實(shí)驗(yàn)中聯(lián)結(jié)，深化概念理解：由淺入深，通過(guò)沖突澄清概念;由此及彼，利用變式溝通聯(lián)系;由表及里，借助反思促進(jìn)聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幾何概念教學(xué)引入探索聯(lián)結(jié)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了探索數(shù)學(xué)知識(shí)，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)猜想或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助一定的物質(zhì)或技術(shù)手段，進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐探索活動(dòng)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察、分析、猜想和推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)，理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)。

《未來(lái)的幾何》一文指出，幾何對(duì)象和概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)該采用實(shí)驗(yàn)與歸納的方法，而不是公理化的途徑。在幾何概念教學(xué)中，教師應(yīng)該基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，積累“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解概念的本質(zhì)特征，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以貫穿幾何概念教學(xué)的始終。

一、在實(shí)驗(yàn)中引入，豐富圖形經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一定的圖形經(jīng)驗(yàn)，有觀察獲得的靜態(tài)經(jīng)驗(yàn)，也有通過(guò)折紙、尋找軌跡等活動(dòng)獲得的動(dòng)態(tài)經(jīng)驗(yàn)，兩種經(jīng)驗(yàn)共同構(gòu)成了學(xué)生幾何概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。和“靜圖”經(jīng)驗(yàn)相比，小學(xué)生的“動(dòng)圖”經(jīng)驗(yàn)相對(duì)比較缺乏。在教學(xué)中，教師應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生“動(dòng)圖”經(jīng)驗(yàn)的積累，通過(guò)實(shí)驗(yàn)動(dòng)態(tài)地引入圖形，幫助學(xué)生感悟圖形和圖形要素之間的幾何關(guān)系。

（一）改圖，感悟圖形聯(lián)系

以熟悉的圖形作為認(rèn)知起點(diǎn)，通過(guò)改變形狀引出新圖形，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且能使學(xué)生清晰地感知到新、舊圖形之間的異同點(diǎn)，為學(xué)生進(jìn)一步探索圖形特征，生成幾何概念的意義做必要的準(zhǔn)備。拉、拼、分等都是改圖的方式。教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)實(shí)際需要，靈活選擇實(shí)驗(yàn)的方式，幫助學(xué)生從圖形變化的角度積累直觀經(jīng)驗(yàn)。

比如，一年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)，受圖形感知水平的限制，往往把視覺(jué)上“長(zhǎng)長(zhǎng)”的四邊形誤認(rèn)為是平行四邊形。教學(xué)時(shí)，教師可以通過(guò)操作長(zhǎng)方形框架的實(shí)驗(yàn)，將“長(zhǎng)方形”變形而引出“平行四邊形”，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，以此加深對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)。

（二）構(gòu)圖，拓展視覺(jué)空間

通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式動(dòng)態(tài)建構(gòu)圖形是常見(jiàn)的圖形引入方式。若運(yùn)用巧妙，能取得意想不到的教學(xué)效果。受經(jīng)驗(yàn)和能力的制約，低年級(jí)學(xué)生還不能動(dòng)態(tài)地從不同的角度考察圖形，只能看到整體的形狀，而不能明晰圖形之間或圖形部分元素之間的幾何關(guān)系。因此，教師要有意識(shí)地在中、高年級(jí)的幾何概念教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造圖形，發(fā)展空間觀念。

比如，教學(xué)“圓柱的認(rèn)識(shí)”時(shí)，筆者讓學(xué)生以長(zhǎng)方形紙片的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周引出圓柱——

設(shè)疑：長(zhǎng)方形是我們學(xué)過(guò)的平面圖形，你能將這個(gè)平面圖形變成一個(gè)立體圖形嗎？

想象：如果以長(zhǎng)方形紙片的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，可能會(huì)得到什么圖形？

實(shí)驗(yàn)：動(dòng)手試一試，看看能得到什么圖形？有幾種情況？

從“靜態(tài)看圖”到“動(dòng)態(tài)構(gòu)圖”，拓展、豐富了學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“形”和“體”之間的聯(lián)系，直觀感知圓柱底面“半徑”和“高”這兩個(gè)要素，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱特征、體積積累必要的感性經(jīng)驗(yàn);另外，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“想象—實(shí)驗(yàn)—多樣化呈現(xiàn)”的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的形成。

二、在實(shí)驗(yàn)中探索，突出概念本質(zhì)

學(xué)生在日常生活中積累的直觀經(jīng)驗(yàn)，往往會(huì)受原有經(jīng)驗(yàn)、直觀原型以及認(rèn)知背景等因素的干擾，難以生成概念，甚至造成概念誤解。教學(xué)時(shí)，教師可以精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，排除非本質(zhì)因素的干擾，突出概念的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解。此外，控制實(shí)驗(yàn)變量時(shí)，不僅要聚焦概念的本質(zhì)要素，而且要觀照學(xué)生的認(rèn)知心理，引領(lǐng)學(xué)生完成對(duì)概念要素的多元化認(rèn)知，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何概念的深層次理解。

（一）選擇合適的素材，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

實(shí)驗(yàn)素材是實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的物質(zhì)基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行圖形操作和思維分析的對(duì)象，也是幾何概念形成的關(guān)鍵所在。因此，教師要以可視化、可操作性為依據(jù)，精心選擇實(shí)驗(yàn)材料，提高其與概念本質(zhì)要素的契合度。

比如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，一位教師設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：

設(shè)疑：你會(huì)畫圓嗎？會(huì)用什么工具畫圓呢？在還沒(méi)有發(fā)明圓規(guī)這個(gè)畫圓工具之前，古人是怎么畫圓的呢？（學(xué)生各抒己見(jiàn)，充分交流。）

組織實(shí)驗(yàn)：利用一個(gè)圖釘，一條一端系著粉筆的繩子，能畫出圓嗎？動(dòng)手畫一個(gè)圓。（提供兩套演示材料，一套中的繩子幾乎沒(méi)有彈性，另一套中的繩子是彈性較大的皮筋。）

展示與質(zhì)疑：同樣是用“釘繩”畫圓，為什么有的畫出了標(biāo)準(zhǔn)的圓，有的畫不出呢？

提煉要點(diǎn)：用“釘繩”畫圓，一定要注意什么？（繩長(zhǎng)固定不變。）

抽象定名：（1）圖釘所在的點(diǎn)正好在圓的中心，叫圓心;固定的繩長(zhǎng)實(shí)際上是圓的半徑（邊說(shuō)邊沿繩子描出線段）。想一想，半徑是怎樣的線段？（2）除了半徑，圓里還有一條特殊的線段，叫直徑。你知道直徑是怎樣的線段嗎？

描述特征：結(jié)合畫圓的過(guò)程思考，圓的半徑有什么特征？直徑呢？為什么？

這位教師沒(méi)有選擇常規(guī)的圓規(guī)畫圓，而是大膽選用了“釘繩”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?！搬斃K”不是標(biāo)準(zhǔn)的畫圓工具，只是比較原始的畫圓素材，但在學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的特征過(guò)程中起到了關(guān)鍵的作用：首先，用“釘繩”取代圓規(guī)，特別是“繩子”的出場(chǎng)，使“圓心”和“半徑”這兩個(gè)要素都能以具象、物化的形式呈現(xiàn)，便于學(xué)生直觀感知和觀察分析;其次，利用不同彈性的“繩子”進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，凸顯圓的本質(zhì)特征;最后，“釘”“繩”直接抽象為“圓心”“半徑”，使實(shí)驗(yàn)素材和數(shù)學(xué)概念無(wú)縫對(duì)接，加快了學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)認(rèn)識(shí)的進(jìn)程。

（二）厘清實(shí)驗(yàn)序列，逐層建構(gòu)意義

心理學(xué)研究表明，學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形概念的過(guò)程是有一定順序的。就圖形概念的空間位置與度量性質(zhì)來(lái)說(shuō)，學(xué)生一開(kāi)始往往只關(guān)注圖形的整體特征，隨后會(huì)按“先長(zhǎng)度后角度”的次序注意圖形元素的單一性質(zhì)，最后才能兼顧圖形元素的多種性質(zhì)。教學(xué)時(shí)，教師要遵循學(xué)生認(rèn)知圖形的規(guī)律，合理建構(gòu)實(shí)驗(yàn)序列。

比如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形”時(shí)，一位教師設(shè)計(jì)了用小棒搭長(zhǎng)方形的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：

出示3組小棒，如圖1。

實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)你選擇其中一組小棒搭一個(gè)長(zhǎng)方形。

思考：（1）你選擇了哪組小棒？為什么？（2）你是怎樣擺放小棒位置的？

對(duì)比：如圖2，哪個(gè)搭成了長(zhǎng)方形？同樣是把相同的小棒相對(duì)擺放，為什么②號(hào)圖形沒(méi)有搭成長(zhǎng)方形？

猜想：根據(jù)用小棒搭長(zhǎng)方形的過(guò)程，猜想長(zhǎng)方形有什么特征？

實(shí)驗(yàn)：測(cè)量長(zhǎng)方形的邊和角，驗(yàn)證猜想。

以上實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，按從“邊”到“角”的順序引導(dǎo)學(xué)生逐步探索長(zhǎng)方形的特征：首先，通過(guò)選材料搭圖形的活動(dòng)，幫助學(xué)生從長(zhǎng)度和位置這兩個(gè)維度描述長(zhǎng)方形“邊”的特征;接著，就不同實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比觀察，突出“角”這個(gè)“弱刺激”，把學(xué)生的視角從“邊”順利引向“角”，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形元素的多元關(guān)注;最后，通過(guò)測(cè)量“邊”和“角”檢驗(yàn)結(jié)論，一定程度上彌補(bǔ)了實(shí)驗(yàn)的不足，提高了知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、在實(shí)驗(yàn)中聯(lián)結(jié)，深化概念理解

數(shù)學(xué)概念之間具有廣泛的聯(lián)系，不僅有橫向的聯(lián)系和縱向聯(lián)系，而且有淺表性聯(lián)系和深層次聯(lián)系。幾何概念教學(xué)中，教師要基于對(duì)學(xué)生原有概念聯(lián)系的理性分析，通過(guò)生動(dòng)、有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生形成正確的概念“聯(lián)結(jié)”，深化對(duì)概念本質(zhì)的理解。

（一）由淺入深，通過(guò)沖突澄清概念

受日常生活經(jīng)驗(yàn)的影響，小學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念時(shí)經(jīng)常會(huì)進(jìn)行錯(cuò)誤的概念“聯(lián)結(jié)”。凱斯認(rèn)為，一個(gè)有效的教學(xué)策略是讓學(xué)生有機(jī)會(huì)主動(dòng)察覺(jué)自己的錯(cuò)誤，造成本身在認(rèn)知上的不平衡，進(jìn)而產(chǎn)生認(rèn)知調(diào)整的需求。

比如，教學(xué)體積概念時(shí)，一位教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境幫助學(xué)生澄清概念：

準(zhǔn)備：一個(gè)眼罩和兩個(gè)物體，其中一個(gè)物體是質(zhì)量重但體積小的鐵塊，另一個(gè)質(zhì)量輕但體積大的泡沫塑料。

實(shí)驗(yàn)：先請(qǐng)一名學(xué)生帶上眼罩，雙手側(cè)平舉，再在該生的兩個(gè)手臂上各掛一種物體。

猜測(cè)：猜一猜，哪邊的物體體積大？為什么？

觀察：你有什么想法？（質(zhì)量重的物體，體積不一定大。）

眾所周知，體積是物體所占空間的大小。但在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)小學(xué)生會(huì)用“質(zhì)量”來(lái)解釋“體積”，認(rèn)為質(zhì)量重的物體體積大，反之，質(zhì)量輕的物體體積小。針對(duì)這種簡(jiǎn)單的、非本質(zhì)的概念“聯(lián)結(jié)”，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境，利用“視覺(jué)”和“體感”之間的差異制造認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生明確“體積”和“質(zhì)量”的不同，進(jìn)而明晰體積概念的本質(zhì)。

（二）由此及彼，利用變式溝通聯(lián)系

研究表明，概念變式是從多角度檢查概念的方式，既能增強(qiáng)對(duì)概念的理解，還有助于概念的遷移。幾何概念教學(xué)中，教師可以巧借實(shí)驗(yàn)提供圖形變式，通過(guò)變化圖形的本質(zhì)或非本質(zhì)特征，幫助學(xué)生把握概念的內(nèi)涵和外延，同時(shí)促進(jìn)圖形、概念之間的“聯(lián)結(jié)”。

比如，在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”的練習(xí)中，一位教師設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：

猜想：如圖3，圖①的周長(zhǎng)是幾根牙簽的長(zhǎng)度？圖①、圖②的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？

實(shí)驗(yàn)1：先照樣擺圖①，再把圖①變成圖②，思考圖①、圖②的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)，為什么。

猜想：如圖4，哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些？

實(shí)驗(yàn)2：把圖①分別變成圖③和圖④，思考圖③、圖④的周長(zhǎng)一樣嗎，為什么。

發(fā)現(xiàn)：通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過(guò)操作牙簽變化圖形并比較圖形的周長(zhǎng)，不僅能加深對(duì)周長(zhǎng)本質(zhì)的理解，而且能促進(jìn)圖形、概念之間的“聯(lián)結(jié)”：一是滲透“轉(zhuǎn)化”的思想，建立各種圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，積累通過(guò)轉(zhuǎn)化求不規(guī)則圖形周長(zhǎng)的方法;二是引發(fā)對(duì)圖形“周長(zhǎng)”和“大小”（面積）之間關(guān)系的思考。

（三）由表及里，借助反思促進(jìn)聯(lián)系

恩格斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)并不停止于實(shí)驗(yàn)，而必須把它與理性的解釋結(jié)合起來(lái)，在這些看上去無(wú)聯(lián)系的實(shí)驗(yàn)背后是否隱藏著某種理論？”幾何概念教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行質(zhì)疑，積極思考實(shí)驗(yàn)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

比如，教學(xué)“三角形按角分類”后，可以設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：

質(zhì)疑：按角分類，三角形只能分成直角、銳角和鈍角三角形這三類嗎？可不可能存在其他的三角形呢？

實(shí)驗(yàn)：在釘子板上圍出含2個(gè)鈍角或2個(gè)直角的三角形。

思考：為什么圍不出其他的三角形呢？

針對(duì)三角形按角分為直角、鈍角和銳角三角形這個(gè)結(jié)論，教師首先通過(guò)提問(wèn)“可不可能存在其他的三角形”對(duì)三角形的分類結(jié)果進(jìn)行質(zhì)疑，接著鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)“圍有2個(gè)鈍角或2個(gè)直角的三角形”，舉出反例驗(yàn)證猜想，最后基于實(shí)驗(yàn)事實(shí)引導(dǎo)學(xué)生深入思考現(xiàn)象背后的原因，從而幫助學(xué)生建立起“三角形內(nèi)角和”與“三角形分類”之間的聯(lián)系，從本質(zhì)上解釋并證實(shí)了三角形按角分類的合理性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.