由“表象認(rèn)知”走向“實(shí)質(zhì)理解”的圖形概念課設(shè)計(jì)

張友峰

摘要：圖形概念課是圖形教學(xué)的起始課，重要性不言而喻，本文通過(guò)有機(jī)整合各類教學(xué)手段，突破表象認(rèn)知，理念概念本質(zhì)。分三部分來(lái)嘗試突破教學(xué)瓶頸：一是學(xué)生借助生活情境入手，抽象感知圓的基本特點(diǎn)，形成表象認(rèn)知;二是學(xué)生通過(guò)幾何畫(huà)板的強(qiáng)大功能，突破圓本質(zhì)認(rèn)識(shí)的瓶頸;三是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、微課學(xué)習(xí)和畫(huà)圖操作等活動(dòng)，掌握畫(huà)圓方法，深刻認(rèn)識(shí)畫(huà)圓本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：表象認(rèn)知 實(shí)質(zhì)理解 圖形概念課 圓的認(rèn)識(shí)

“圓的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)課作為圓相關(guān)知識(shí)的種子課，為圓形的面積和周長(zhǎng)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)在教材中的地位和價(jià)值不言而喻。在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生對(duì)于圓的概念認(rèn)識(shí)停留于表象階段，不能實(shí)質(zhì)理解概念本質(zhì)。本課主要通過(guò)科學(xué)整合信息技術(shù)，提供多樣化的探究活動(dòng)，幫助學(xué)生突破圖形概念課的認(rèn)知困境，理解圓的本質(zhì)意義，最終提升學(xué)生的幾何直觀和數(shù)學(xué)想象能力，使圖形概念教學(xué)由“表象認(rèn)知”走向“實(shí)質(zhì)理解”。

1始于體驗(yàn)，抽象感悟圓

依據(jù)范希爾的幾何思維水平理論，本課的設(shè)計(jì)必定要尊重孩子的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)又要抓住圓的本質(zhì)特征?！皥A”是怎樣一種圖形？如何幫助學(xué)生抽象出圓的本質(zhì)特征是本課的核心問(wèn)題。圖形認(rèn)識(shí)課肯定是從生活情境人手、去除非本質(zhì)特征、抽象本質(zhì)特征的一個(gè)過(guò)程。為使抽象之路變得更順暢，主要做了如下嘗試：

1.1 生活情境中導(dǎo)入，初步感知圓

生活中處處都有圓，學(xué)生對(duì)圓已經(jīng)有了一定的概念認(rèn)知，借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，抽象出圓的表象是一種比較好的導(dǎo)入方式。主要設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是在學(xué)生充分表達(dá)的基礎(chǔ)上，通過(guò)生活中的圓進(jìn)一步抽象出數(shù)學(xué)中的圓，這是一個(gè)水到渠成的步驟;第二個(gè)層次是使學(xué)生在數(shù)學(xué)文化滲透和圖形比較中，思考圓的特殊性。所有平面圖形中，圓是最美的，最美在哪兒？橢圓也是曲線圖形，橢圓為什么不是最美的呢？圓的本質(zhì)特點(diǎn)肯定不僅僅局限于曲線圖形，圓區(qū)別于其它平面圖形的最特別的地方是研究重點(diǎn)（圖1），學(xué)生帶著疑問(wèn)進(jìn)入下面的實(shí)踐探究活動(dòng)。

以上兩個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生初步感知圓在生活中無(wú)處不在，圓既與生活經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，又與數(shù)學(xué)文化有關(guān)，兩者勾連自然導(dǎo)人新課。

1.2畫(huà)圖操作中體會(huì)，深入感知圓

畫(huà)圓的實(shí)踐操作分為兩個(gè)層次，首先是借助生活中的圓形物體畫(huà)圓，例如圓柱形的罐子、硬幣等等，學(xué)生在一年級(jí)下冊(cè)初步認(rèn)識(shí)圓形的時(shí)候已經(jīng)體驗(yàn)過(guò)了，本環(huán)節(jié)讓學(xué)生再次操作畫(huà)圓，通過(guò)動(dòng)手體驗(yàn)初步體會(huì)圓的特點(diǎn)：一種曲線圖形。

第二個(gè)層次是徒手畫(huà)圓，徒手畫(huà)圓看似簡(jiǎn)單，其實(shí)背后隱藏著一定的數(shù)學(xué)道理。圓的本質(zhì)是“一中同長(zhǎng)”，徒手畫(huà)圓時(shí)，學(xué)生的潛意識(shí)中就受這一條規(guī)則引導(dǎo)，這是一種體驗(yàn)式的、很難用語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)表達(dá)。借助徒手畫(huà)圓，學(xué)生分析并思考變得更圓一些的方法，發(fā)現(xiàn)要使圓變得更圓些，上面和下面的距離要和左右兩邊的距離相等，為下面揭示圓的本質(zhì)特點(diǎn)做好鋪墊。

上圖中，學(xué)生用水彩筆在紙上徒手畫(huà)一個(gè)圓，徒手畫(huà)出來(lái)的圓各不相同，學(xué)生潛意識(shí)里都有一個(gè)相同的畫(huà)圓的思路，很難用語(yǔ)言描述。通過(guò)展示學(xué)生典型作品“兩邊對(duì)稱，上面有點(diǎn)扁”這種情況。追問(wèn)：“你可以幫老師修改一下嗎？”學(xué)生提出：“上面和下面的距離要和左右兩邊的距離相等。”進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：要使徒手畫(huà)的圓更圓，中間到上面和下面，中間到左邊和右邊的距離都要相等，這其實(shí)也是學(xué)生關(guān)于圓的認(rèn)知起點(diǎn)。通過(guò)畫(huà)圖操作激了發(fā)學(xué)生的探究興趣，為本質(zhì)揭示提供了研究素材。

2落于畫(huà)板，理解國(guó)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)幾何畫(huà)板是一種非常好用的教學(xué)軟件，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常使用，“圓的認(rèn)識(shí)”這一課中有許多內(nèi)容可以運(yùn)用幾乎畫(huà)板來(lái)進(jìn)行整合教學(xué)。本環(huán)節(jié)教學(xué)中，學(xué)生的認(rèn)知困惑是“圓，一中同長(zhǎng)”這一概念本質(zhì)如果通過(guò)實(shí)踐操作深入理解。如果僅僅只是被動(dòng)接受，學(xué)生是很難真正理解“一中”“同長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)含義的，借助幾何畫(huà)板的演示交互功能，可以有效提升教學(xué)層次性。本環(huán)節(jié)主要安排了以下幾個(gè)操作流程：

2 1畫(huà)板操作中發(fā)現(xiàn)，感知點(diǎn)的特點(diǎn)

教材中關(guān)于圓的認(rèn)知，只涉及到圓心、半徑和直徑，筆者個(gè)性化設(shè)計(jì)了“中心點(diǎn)”和“參考點(diǎn)”，給學(xué)生一個(gè)認(rèn)知的“臺(tái)階”。通過(guò)若干個(gè)特殊點(diǎn)來(lái)初步感知圓上點(diǎn)的特點(diǎn)，主要分三步操作開(kāi)展：首先通過(guò)兩根完全相同的線段，必須中心點(diǎn)到參考點(diǎn)距離相等，得到4個(gè)參考點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)借助參考點(diǎn)畫(huà)出的圓仍然不圓，進(jìn)而引發(fā)思考。然后，通過(guò)軌跡點(diǎn)的操作，在中心點(diǎn)周圍不斷尋找合適的參考點(diǎn)。最后呈現(xiàn)密布狀態(tài)的參考點(diǎn)，學(xué)生再次畫(huà)圓，發(fā)現(xiàn)圓越來(lái)越圓了，深刻感受到圓上點(diǎn)的特點(diǎn) 到中心點(diǎn)距離相等（圖3）。

筆者認(rèn)為這個(gè)環(huán)節(jié)是本課的設(shè)計(jì)精髓，三個(gè)步驟既然有師生互動(dòng)交流，又有畫(huà)圖體驗(yàn)操作，最終感悟發(fā)現(xiàn)，自然揭示圓的概念本質(zhì)，充分發(fā)揮了幾何畫(huà)板的互動(dòng)演示優(yōu)勢(shì)。

2.2數(shù)學(xué)想象中生華，內(nèi)化圓的特征

圖形概念課操作很重要，體驗(yàn)很重要，但是數(shù)學(xué)想象更重要。圓上的點(diǎn)是畫(huà)不完的，圓的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程先找一個(gè)中心點(diǎn)，再找4個(gè)參考點(diǎn)，參考點(diǎn)和中心點(diǎn)的距離是同樣長(zhǎng)的（固定的長(zhǎng)度），參考點(diǎn)越多，這個(gè)圖形也就越接近于圓。學(xué)生頭腦中想象：如果參考點(diǎn)越來(lái)越多，當(dāng)參考點(diǎn)變成無(wú)數(shù)個(gè)并布滿周圍整整一圈的時(shí)候，就變成了一個(gè)圓。

如果讓學(xué)生再來(lái)說(shuō)一說(shuō)心中的圓是怎樣的，相信會(huì)有新的感悟和認(rèn)識(shí)：圓就由一個(gè)中心點(diǎn)和無(wú)數(shù)個(gè)到中心點(diǎn)固定長(zhǎng)度的參考點(diǎn)組成的。同時(shí)，滲透中國(guó)古代墨子的“圓，一中同長(zhǎng)也”，從操作層面升華到概念本質(zhì)層面，圖形概念教學(xué)的認(rèn)知難點(diǎn)也得到突破。

2.3動(dòng)態(tài)體驗(yàn)中揭示，明晰各部分名稱

幾何畫(huà)板在圓的概念本質(zhì)揭示中有著強(qiáng)大作用，在圓各部分認(rèn)識(shí)中也有著較大的價(jià)值。

例如，可以固定一個(gè)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)拖動(dòng)另一個(gè)點(diǎn)改變線段長(zhǎng)度，目前絕大部分軟件是缺乏這方面功能的。在半徑和直徑認(rèn)識(shí)中，可以借助幾何畫(huà)板拖動(dòng)一個(gè)端點(diǎn)，改變線段的長(zhǎng)度和位置，這對(duì)于學(xué)生深入理解半徑和直徑很有幫助。信息技術(shù)與課程整合需要“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，潛移默化滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫(huà)板可以無(wú)縫嵌入PPT課件，可以賦予課件強(qiáng)大的互動(dòng)功能，突破教學(xué)難點(diǎn)，理清概念特征。

3終于操作，畫(huà)圓中引領(lǐng)提升

3.1多重感悟中明悟，深入理解圓的本質(zhì)

借助幾何畫(huà)板，學(xué)生深入理解了圓的本質(zhì)，還可以借助折一折、搖一描、小組討論等活動(dòng)進(jìn)一步內(nèi)化圓的本質(zhì)理解。例如一張圓形紙片通過(guò)折一折尋找圓心，原理就來(lái)源于直徑的概念，通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，那么兩條不同的直徑肯定相交于圓心。如果只是抽象的推理解釋，學(xué)生很難接受，但是通過(guò)折一折的活動(dòng)，學(xué)生在操作中自然感悟到了直徑的特點(diǎn)。描一描半徑和直徑操作中，可以讓學(xué)生更好的體會(huì)到“圓上”和“經(jīng)過(guò)圓心”的圖形特點(diǎn)。圖形概念課需要操作，借助操作活動(dòng)，從直觀到半抽象的，再由半抽象到抽象，逐步提升。

3.2微課指導(dǎo)中規(guī)范，科學(xué)掌握畫(huà)圓方法

微課是教學(xué)的重要補(bǔ)充，畫(huà)圓環(huán)節(jié)就可以借助微課來(lái)指導(dǎo)教學(xué)，給予學(xué)生規(guī)范的操作方法。觀看微視頻尋找圓心和半徑在哪里，明確畫(huà)圓的基本要求，再通過(guò)呈現(xiàn)錯(cuò)誤畫(huà)法，分析可能哪里出了問(wèn)題？（兩腳間距離變動(dòng)，針尖動(dòng)了）進(jìn)而認(rèn)識(shí)到半徑確定了圓的大小，圓心確定圓的位置。畫(huà)圓又分了兩個(gè)層次：一是任意畫(huà)一個(gè)圓，讓學(xué)生體會(huì)圓的畫(huà)法和注意事項(xiàng);二是畫(huà)一個(gè)規(guī)定大小的圓，標(biāo)出各部分名稱，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到要定長(zhǎng)。兩個(gè)層次的畫(huà)圖操作，可以提升學(xué)生的畫(huà)圖實(shí)際操作能力。

3.3比較想象中拓展，深刻認(rèn)識(shí)畫(huà)圓本質(zhì)

通過(guò)圓規(guī)畫(huà)圓、操場(chǎng)畫(huà)圓、身體畫(huà)圓三種不同的畫(huà)圓方式，開(kāi)展討論交流，發(fā)現(xiàn)不同畫(huà)圓方法的相同之處：一個(gè)中心點(diǎn)（定點(diǎn)）、一個(gè)固定的長(zhǎng)度（定長(zhǎng)璇轉(zhuǎn)一周勾連畫(huà)圓方法和圓的本質(zhì)的聯(lián)系——“圓，一中同長(zhǎng)也”。最后利用幾何畫(huà)板的迭代功能，呈現(xiàn)正三邊形到正無(wú)數(shù)邊形的演變過(guò)程，從另一個(gè)角度認(rèn)識(shí)圓的意義，拓展學(xué)生思路。

通過(guò)本課的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，有以下幾方面思考：一是幾何畫(huà)板在小學(xué)數(shù)學(xué)高年級(jí)圖形教學(xué)中具備很強(qiáng)的研究?jī)r(jià)值，充分發(fā)揮好技術(shù)的功能，可以為圖形教學(xué)服務(wù);二是概念教學(xué)需要多樣態(tài)的活動(dòng)方式，單一的活動(dòng)操作會(huì)僵化學(xué)生的認(rèn)知，開(kāi)放性的手段可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;三是圖形概念教學(xué)需要經(jīng)歷“表象——思考——想象理解”的思維過(guò)程，在認(rèn)知沖突與思維碰撞中，走向?qū)W的彼岸。