“簡(jiǎn)潔”但不“簡(jiǎn)單”

周衛(wèi)紅 趙東

一、研究背景

百分?jǐn)?shù)在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，深入理解百分?jǐn)?shù)的意義，對(duì)于學(xué)生正確解答有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題具有重要作用。但多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們：“簡(jiǎn)潔”的百分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解起來真的不是那么“簡(jiǎn)單”，這其中也有教師的原因。

（一）教師在教學(xué)中用“套路”進(jìn)行教學(xué)

1.用“套話”分析百分?jǐn)?shù)

對(duì)于“我國(guó)人口總數(shù)占世界人口總數(shù)的22%”這樣含有百分?jǐn)?shù)的句子，教師上課時(shí)會(huì)重點(diǎn)讓學(xué)生進(jìn)行關(guān)鍵句的分析，分析的“套話”基本是兩種：“22%表示我國(guó)人口總數(shù)占世界人口總數(shù)的比例”“把世界人口總數(shù)看作單位1，平均分成100份，我國(guó)人口總數(shù)占其中的22份，是22%”。第一種解釋只是對(duì)關(guān)鍵句的重復(fù)，第二種解釋套用分?jǐn)?shù)的意義解釋百分?jǐn)?shù)。這兩種解釋都沒有對(duì)百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)進(jìn)行深入理解。

2.按“套路”解決問題

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問題“內(nèi)容復(fù)雜，類型繁多，變化多樣”，是小學(xué)階段令教師和學(xué)生頭疼的一類問題。如這樣一題：“學(xué)校圖書室去年有圖書1400冊(cè)，今年圖書冊(cè)數(shù)增加了10%。今年圖書室有多少冊(cè)圖書？”如果把題目中的“關(guān)鍵句”或問題稍加改動(dòng)就可以變化出多種不同題目，學(xué)生往往困惑于該用乘法還是用除法，該用1+10%還是用1-10%。教學(xué)中教師花費(fèi)大量的時(shí)間要求學(xué)生掌握一套問題分析流程：“抓關(guān)鍵句—找‘單位1—畫線段圖—讀出圖意—列式計(jì)算?！睘榱舜_保學(xué)生進(jìn)行正確的解答，有教師甚至總結(jié)了一套“萬能法則”，即：?jiǎn)挝?×分率=分量;分量÷分率=單位1;分量÷單位1=分率;單位1已知用乘法;單位1未知用除法……這些解題“套路”反而給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成負(fù)擔(dān)，不利于學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)去分析和解決問題。而且在中學(xué)，多側(cè)重于用方程解決百分?jǐn)?shù)問題，根本不提“單位1”的事兒。

（二）學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解不夠全面

1.對(duì)百分?jǐn)?shù)的大小認(rèn)識(shí)上有局限

學(xué)生受已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的影響，在心理上不接受小于1%和大于100%的百分?jǐn)?shù)。

在上圖這道題的測(cè)試中，有10%的學(xué)生出現(xiàn)了錯(cuò)誤。學(xué)生認(rèn)為，300%有些怪怪的，不大理解它的意思。如果寫成“高鐵的速度大約是普通客車速度的3倍”，就能理解了。將我國(guó)森林覆蓋率寫成大約是100%的學(xué)生也不在少數(shù)，說明學(xué)生不能從本質(zhì)上理解百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量的關(guān)系，不能自覺溝通份、倍、分?jǐn)?shù)、比這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。

2.對(duì)于變換形式的題目不知所措

面對(duì)一些與份數(shù)、倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比這些概念相近的題目，尤其是逆向解決的問題，學(xué)生常常不知所措。如“馬爾馬拉海是世界上最小的海，面積為11000平方千米，比我國(guó)太湖面積的4倍還多1400平方千米，你知道太湖的面積有多大嗎？”“單位1”不明顯的題目對(duì)于學(xué)生來說，理解題意也有一定困難，如：“爸爸帶芳芳去新加坡旅游，芳芳發(fā)現(xiàn)，每次吃完飯結(jié)賬時(shí)，賬單上的錢數(shù)已包含了餐費(fèi)的10%的服務(wù)費(fèi)。如果賬單上的錢數(shù)是123.2元，那么你知道芳芳他們的餐費(fèi)是多少錢嗎？”究其原因，學(xué)生不能準(zhǔn)確把握題目中兩個(gè)量“比較”的關(guān)系。

二、百分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)分析

（一）抓住百分?jǐn)?shù)概念的核心

在各個(gè)版本的教材中，對(duì)百分?jǐn)?shù)的概念基本上是這樣定義的：百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比。如，15%表示一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的[15100]。筆者認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)的核心是：表示兩個(gè)量相除的比較關(guān)系，這兩個(gè)量可以是部分與整體，也可以是部分與部分。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)于百分?jǐn)?shù)中“兩個(gè)數(shù)”的理解是比較籠統(tǒng)的，還不能有目的地找到百分?jǐn)?shù)反映的是哪兩個(gè)量之間的關(guān)系。

怎樣簡(jiǎn)潔地表示出百分?jǐn)?shù)中蘊(yùn)含的“兩個(gè)量”的關(guān)系？怎樣利用百分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)幫助學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力？怎樣抓住百分?jǐn)?shù)概念的核心進(jìn)行單元整體教學(xué)？

（二）整體教學(xué)的設(shè)想

學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的意義，既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容的必備知識(shí)，又是分析與解答相關(guān)實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)。同時(shí)也是溝通與份、倍、分?jǐn)?shù)、比這些概念的聯(lián)系和區(qū)別、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要內(nèi)容。

基于這樣的思考，我們開展教學(xué)的思路是：抓住題目中的關(guān)鍵句，把百分?jǐn)?shù)中所反映的關(guān)系明朗化，外顯成分?jǐn)?shù)表達(dá)的關(guān)系式，把復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)單化。如“賬單上的錢數(shù)已包含了餐費(fèi)的10%的服務(wù)費(fèi)”可以讓學(xué)生簡(jiǎn)單地表達(dá)為：

[服務(wù)費(fèi)餐費(fèi)]=10% ， [總費(fèi)用餐費(fèi)]=1+10%

“甲數(shù)比乙數(shù)少10%”可以表示為：

[少的數(shù)乙數(shù)]=10%， [甲數(shù)乙數(shù)]=1-10%

從百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)到實(shí)際問題的解決，教師整體把握對(duì)百分?jǐn)?shù)中兩個(gè)量“關(guān)系”的深入挖掘，教學(xué)不用“套路”，把百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用過程變成對(duì)百分?jǐn)?shù)概念不斷深化的過程;學(xué)生全面感知，學(xué)習(xí)的內(nèi)容更有系統(tǒng)性、條理性。

基于以上思考，筆者進(jìn)行了整體把握百分?jǐn)?shù)單元教學(xué)的實(shí)踐探索。

三、實(shí)踐過程

我們從整個(gè)單元中選取三部分主要內(nèi)容進(jìn)行實(shí)踐，三節(jié)課緊緊抓住百分?jǐn)?shù)的意義。在具體操作中，都是讓學(xué)生從繁雜的背景中重點(diǎn)挖掘：題目中的百分?jǐn)?shù)是誰和誰比？誰占誰的百分之幾？并以分?jǐn)?shù)形式呈現(xiàn)兩個(gè)量的關(guān)系。三節(jié)課具體是這樣安排的。

（一）“百分?jǐn)?shù)的意義”一課

通過突出百分?jǐn)?shù)是兩個(gè)量“比較”的關(guān)系，找到題目中的兩個(gè)量，包括部分與整體的關(guān)系，兩個(gè)獨(dú)立量之間的關(guān)系。

環(huán)節(jié)一：由課前研查的問題引入。

出示問題：“六（7）班和六（10）班，哪個(gè)班學(xué)生的視力情況比較好？”

請(qǐng)學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探究并匯報(bào)。

第一小組：只比較近視人數(shù)。

第二小組：用分?jǐn)?shù)結(jié)果比較。

第三小組：用百分?jǐn)?shù)結(jié)果比較。

師生對(duì)話得出：要想知道哪個(gè)班的視力情況比較好，只看近視的人數(shù)不行;用分?jǐn)?shù)能比較出來，但是不簡(jiǎn)潔;而比較“近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分之幾”，既能準(zhǔn)確比較出兩個(gè)班學(xué)生視力的情況，又很簡(jiǎn)潔。

板書：[近視人數(shù)總?cè)藬?shù)]

（設(shè)計(jì)意圖：在探究中初步感知百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量的關(guān)系。）

環(huán)節(jié)二：多種形式理解百分?jǐn)?shù)的意義。

（1）理解部分與整體關(guān)系的百分?jǐn)?shù)。

資料1：我們小組有4人，男生占75%。

資料2：人體對(duì)雞蛋蛋白質(zhì)的吸收率高達(dá)98%。

（2）理解兩個(gè)獨(dú)立量之間百分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

書法社團(tuán)人數(shù)是剪紙社團(tuán)人數(shù)的200%。

（設(shè)計(jì)意圖：用線段圖的形式進(jìn)一步幫助學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)是可以大于100%的。）

（3）深入理解百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量比較的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生感知百分?jǐn)?shù)與扇形統(tǒng)計(jì)圖的聯(lián)系，進(jìn)一步感悟百分?jǐn)?shù)的意義。）

環(huán)節(jié)三：請(qǐng)學(xué)生用自己的理解表達(dá)百分?jǐn)?shù)。

出示學(xué)生作品。

圖形表達(dá)：

文字表達(dá)：

一個(gè)數(shù)（可以是一個(gè)物體或是一群人）占總數(shù)的百分之幾;

一部分占整體的百分之幾;

一個(gè)隊(duì)是另一個(gè)隊(duì)的百分之幾;

一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾……

（設(shè)計(jì)意圖：教師基于學(xué)生的理解，設(shè)計(jì)開放的情境，進(jìn)一步利用不同的形式強(qiáng)化學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。）

（二）“生活中的百分率”一課

本節(jié)課的設(shè)計(jì)旨在在復(fù)雜情境中讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的意義，為解決百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題打下基礎(chǔ)，構(gòu)架百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)與解決百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的橋梁。

具體操作形式為：借助線段圖，利用[（? ）（? ）]的形式讓百分?jǐn)?shù)（百分率）所表述的兩個(gè)量的關(guān)系明朗化，并能根據(jù)題目進(jìn)行聯(lián)想。

環(huán)節(jié)一：銜接。

沿用上節(jié)課的內(nèi)容，提問：用近視人數(shù)÷總?cè)藬?shù)就能求出什么？根據(jù)[近視人數(shù)總?cè)藬?shù)]=83.3%，我們還可以得出什么？

板書：[未近視人數(shù)總?cè)藬?shù)]=1-83.3%

（設(shè)計(jì)意圖：在具體情境中理解百分?jǐn)?shù)是兩個(gè)量比較的一種關(guān)系，并能根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行合理的聯(lián)想。）

環(huán)節(jié)二：利用線段圖，理解不同生活情境中百分?jǐn)?shù)的意義。

（1）王麗用電腦輸入一份資料，她上午比下午多輸入了20%。

（2）本季度水費(fèi)比上季度節(jié)約20%。

（3）現(xiàn)在每件產(chǎn)品的成本比原來降低了30%。

（4）實(shí)際比計(jì)劃超產(chǎn)10%。

……

（設(shè)計(jì)意圖：借助線段圖，讓學(xué)生對(duì)各種情境中的百分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析，并利用分?jǐn)?shù)的表述形式形成關(guān)系式，體現(xiàn)百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量比較的一種關(guān)系。這種詞句的含義清楚了，解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題就會(huì)水到渠成。）

（三）“百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”一課

本節(jié)課主要讓學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，借助關(guān)系式，正確解答實(shí)際問題。避免學(xué)生用“套路”解決問題，把算術(shù)法和方程法進(jìn)行有效溝通。

環(huán)節(jié)一：利用關(guān)系式解決一步實(shí)際問題。

（1）分析關(guān)鍵句，獲得關(guān)系式。

港珠澳大橋海底隧道長(zhǎng)度約占大橋總長(zhǎng)的12%。

討論：句中是哪兩個(gè)量在比較？12%是什么意思？能得到怎樣的關(guān)系式？

[隧道長(zhǎng)度大橋總長(zhǎng)]=12%， [海面橋長(zhǎng)大橋總長(zhǎng)]=1-12%

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合前兩節(jié)課的理解，分析關(guān)系句中的量，探討12%的含義，獲得兩個(gè)關(guān)系式，為進(jìn)一步解決問題做好準(zhǔn)備。）

（2）解決問題，反饋交流。

港珠澳大橋全長(zhǎng)55千米，海底隧道長(zhǎng)度約占大橋總長(zhǎng)的12%，海底隧道長(zhǎng)約多少千米？

方法一：設(shè)海底隧道長(zhǎng)[x]千米，[x55]=12%;

方法二：55×12%=6.6（千米）。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題選取恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式，對(duì)方程法、算術(shù)法的道理進(jìn)行分析。）

環(huán)節(jié)二：利用關(guān)系式解決兩步實(shí)際問題。

（1）分析關(guān)鍵句，獲得關(guān)系式。

港珠澳大橋比青島灣大橋長(zhǎng)51%。

借助線段圖理解51%的含義，通過聯(lián)想獲得不同的數(shù)量關(guān)系式。

（2）解決問題，反饋交流。

港珠澳大橋長(zhǎng)55千米，比青島灣大橋長(zhǎng)51%，青島灣大橋長(zhǎng)多少千米？

方法一：設(shè)青島灣大橋長(zhǎng)[x]千米，[55x]=1+51%;

方法二：55÷（1+51%）≈36.4（千米）。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生選取恰當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系式解決實(shí)際問題，體會(huì)利用百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量比較的意義。）

環(huán)節(jié)三：總結(jié)方法，嘗試練習(xí)。

從香港到珠海通過港珠澳大橋駕車用時(shí)為45分鐘，比原來縮短了75%，原來用時(shí)多少分鐘？

（設(shè)計(jì)意圖：通過剖析百分?jǐn)?shù)的意義，分析數(shù)量關(guān)系式，得出解決問題的方法，提升學(xué)生解決問題的能力。）

四、實(shí)踐反思

在整體單元設(shè)計(jì)中，突出了百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，并用簡(jiǎn)潔的分?jǐn)?shù)形式表示這樣的關(guān)系，巧妙地溝通了倍、分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。在整個(gè)單元學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠緊緊抓住“關(guān)系”這條主線，由淺入深、層層遞進(jìn)，打通了知識(shí)體系之間的聯(lián)系。

這樣的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生解答復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題，尤其是逆向的實(shí)際問題，起到了很好的支撐作用。學(xué)生不用過多地關(guān)注誰是已知，誰是未知，什么情況下用乘法，什么情況下用除法，并有利于用方程法解決問題，有利于中小銜接。

整體設(shè)計(jì)利用了多種形式呈現(xiàn)百分?jǐn)?shù)，使學(xué)生深刻地理解了生活中的百分?jǐn)?shù)。在題材的選擇上，關(guān)注了百分?jǐn)?shù)各種不同形式的表征，100%以內(nèi)的，大于100%的，整數(shù)的、分?jǐn)?shù)的、符號(hào)的、圖形的，部分與整體的，部分與部分的，使學(xué)生能夠從中感悟到百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

考慮到百分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，單元設(shè)計(jì)還需進(jìn)一步完善。今后應(yīng)通盤考慮教材，緊緊抓住“關(guān)系”“比較”的核心要素，把倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比這些相關(guān)的概念整合起來，使知識(shí)之間的聯(lián)系更加緊密。

（北京市昌平區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校? ?102200

北京市昌平區(qū)南口鐵道北小學(xué)? ?102200）