小包裝中的大學(xué)問

丁小東

摘? 要：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第一單元綜合實(shí)踐課“包裝中的問題”是以長方體和正方體表面積知識為線索，引導(dǎo)學(xué)生綜合性地解決生活中的數(shù)學(xué)問題。在課堂教學(xué)活動(dòng)中，筆者分三步走：思維初體驗(yàn)，運(yùn)用公式計(jì)算包裝表面積;思維中體驗(yàn)，探究比較提煉包裝表面積;思維深體驗(yàn)，設(shè)計(jì)方案優(yōu)化包裝表面積。

關(guān)鍵詞：蘇教版;表面積;包裝的學(xué)問

“綜合與實(shí)踐”是小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)中重要的四大版塊內(nèi)容之一，其特別強(qiáng)調(diào)：通過實(shí)踐活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，體驗(yàn)?zāi)軌蜻\(yùn)用所學(xué)的知識和方法解決簡單的問題，獲得初步的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) [1]。在蘇教版各個(gè)年級的教材中，教材編委都根據(jù)數(shù)學(xué)知識穿插安排了綜合實(shí)踐活動(dòng)，既是為了幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識，更是為了幫助學(xué)生在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。

筆者在教學(xué)蘇教版六年級上冊第一單元“長方體和正方體的表面積”一課后，根據(jù)這個(gè)知識點(diǎn)安排了數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課“包裝中的學(xué)問”，帶領(lǐng)學(xué)生將長方體和正方體表面積的知識運(yùn)用到解決生活中的包裝問題上，讓他們能夠根據(jù)實(shí)際情況做合適的取舍。

[?]一、思維初體驗(yàn)，運(yùn)用公式計(jì)算包裝表面積

數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)課堂上沒有思考就沒有學(xué)習(xí)。課堂初始，筆者組織學(xué)生復(fù)習(xí)了長方體和正方體的表面積的知識，再借助生活情境引出物品的包裝問題，促使學(xué)生在動(dòng)手操作和空間想象中感受到物品的包裝就是求這個(gè)物品的表面積是多少。

師：同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了長方體和正方體的表面積，大家還記得計(jì)算長方體和正方體的表面積的公式嗎？

生：長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2，正方體的表面積=邊長×邊長×6。

師：大家記得真好，這節(jié)課我們就利用長方體和正方體的表面積的知識來解決我們生日時(shí)包裝物品的問題。瞧，佳佳的生日快到了，佳佳的小伙伴想要給佳佳送一份生日禮物。好朋友明明想送一盒糖果給佳佳，他正愁著要買多大的包裝紙呢。明明邀請大家?guī)退阋凰悖ǔ鍪咎枪凶拥拈L是15厘米，寬是15厘米，高是15厘米，接口處不計(jì)）。如果我們要買包裝紙，想一想要包住這盒糖果，我們要包住這個(gè)盒子的哪些部分？

生：我們要包住這個(gè)糖果盒子的上面、下面、左面、右面、前面、后面這6個(gè)面。

師：要計(jì)算這6個(gè)面的大小就是求什么？

生：求6個(gè)面的大小就是計(jì)算糖果盒子的表面積。

師：大家在學(xué)習(xí)單上算一算這個(gè)糖果盒子的表面積是多少。

生：因?yàn)檫@個(gè)糖果盒子是正方體，所以我們先計(jì)算出一個(gè)面的面積是15×15=225（平方厘米），6個(gè)面的面積是225×6=1350（平方厘米）。所以這個(gè)糖果盒子需要1350平方厘米的包裝紙。

在這個(gè)教學(xué)片段中，筆者借助計(jì)算一個(gè)糖果盒子需要包裝紙的大小，喚醒了學(xué)生已有的長方體和正方體的表面積公式，通過實(shí)物觀察幫助學(xué)生了解包裝糖果盒子就是計(jì)算糖果盒子的表面積，在問題轉(zhuǎn)換中運(yùn)用公式計(jì)算出這個(gè)糖果盒子的表面積。

[?]二、思維中體驗(yàn)，探究比較提煉包裝表面積

數(shù)學(xué)知識的發(fā)展是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，同樣，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程 [2]。因此，筆者在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)也遵循這個(gè)原則，借助數(shù)學(xué)問題推動(dòng)學(xué)生的思考，引導(dǎo)他們在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)“重合部分越多，表面積就越小”的結(jié)論。

師：我們幫助明明包裝好了糖果盒子，迪迪送給佳佳的生日禮物也需要大家?guī)退麃硭阋凰阈枰徺I多大面積的包裝紙。迪迪買了兩本故事書，每本書的長是20厘米，寬是15厘米，厚2厘米，請你先拿兩本書擺一擺，想一想有哪些不同的擺法。

生：有三種不同的擺放，第一種是把兩本書最大的面重合，第二種是把兩本書中間縫的面重合，第三種是把兩本書短的面重合。

師：這三種不同的包裝方法，你能算一算這樣放需要多大的包裝紙嗎？把你的計(jì)算過程寫在學(xué)習(xí)單上。

生1：第一種是把兩本書最大的面重合，這個(gè)大長方體的長是20厘米，寬是15厘米，厚是4厘米，所以這兩本書包裝的表面積是（20×15+20×4+15×4）×2=880（平方厘米）。第二種是把兩本書中間縫的面重合，這個(gè)大長方體的長是30厘米，寬是20厘米，厚是2厘米，所以這兩本書包裝的表面積是（30×20+30×2+20×2）×2=1400（平方厘米）。第三種是把兩本書短的面重合，這個(gè)大長方體的長是40厘米，寬是15厘米，厚是2厘米，所以這兩本書包裝的表面積是（40×15+40×2+15×2）×2=1420（平方厘米）。

師：生1是先確定組合后圖形的長、寬、高，再來計(jì)算組合后圖形的表面積。還有不同的計(jì)算方法嗎？

生2：我是先計(jì)算出這兩本書的表面積，再減去它們重合的部分，就是需要包裝紙的大小了。這兩本書的表面積都是（20×15+20×2+15×2）×2=740（平方厘米），兩本書的表面積就是740×2=1480（平方厘米）。第一種情況是20×15這個(gè)面算了2次，所以1480-20×15×2=880（平方厘米）;第二種情況是20×2這個(gè)面算了2次，所以1480-20×2×2=1400（平方厘米）;第三種情況是15×2這個(gè)面算了2次，所以1480-15×2×2=1420（平方厘米）。

師：生2的方法是先計(jì)算出兩本書一共的表面積，再減去公共部分的面積。從算式中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)表面積相同，重合部分面積越多，包裝紙的表面積越小。

在這個(gè)教學(xué)片段中，相比上一個(gè)數(shù)學(xué)問題難度提高了，但是學(xué)生在上個(gè)問題的基礎(chǔ)上，圍繞第二個(gè)數(shù)學(xué)問題展開嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思考，能從不同角度得到兩本書所需要包裝紙的包裝方法和大小，這也為下一環(huán)節(jié)的綜合實(shí)踐問題做好了鋪墊。

[?]三、思維深體驗(yàn)，設(shè)計(jì)方案優(yōu)化包裝表面積

筆者在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中由“扶”到“放”，逐步放手讓學(xué)生自己去探究并完成學(xué)習(xí)單。第三個(gè)環(huán)節(jié)的思維深體驗(yàn)，筆者設(shè)計(jì)了更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生借助前面兩個(gè)環(huán)節(jié)自己去設(shè)計(jì)四個(gè)相同物體擺放所需要的包裝紙大小，在尋找最節(jié)約的包裝紙過程中滲透優(yōu)化思想。

師：還有一位同學(xué)紅紅也送佳佳生日禮物了，讓我們一起來看看她需要多少包裝紙，需要最少的包裝紙是多少（出示紅紅的生日禮物：4本便利貼，便利貼的長是6厘米，寬是5厘米，厚是2厘米）。你會(huì)怎么擺這4本便利貼？把它們包裝起來有哪些不同的包裝方法？最節(jié)約的包裝紙需要多少呢？大家先不動(dòng)手，先猜想一下什么時(shí)候的包裝紙最少呢。

生1：我猜是重合的面越多，包裝紙的表面積肯定就越小了。

生2：我猜是把4本便利貼都疊起來的時(shí)候，需要的包裝紙最少。

師：到底怎樣最少，我們要用數(shù)據(jù)來說話。接下來請大家小組合作，先擺一擺，再計(jì)算出各種情況下所需要的包裝紙大小。

生3：我們小組一開始擺出了6種不同的情況，可以分成3種相同的面重合和3種不同的面重合。3種相同的面重合是這樣的：（1）6個(gè)大面重合;（2）6個(gè)中面重合;（3）6個(gè)小面重合。3種不同的面重合是這樣的：（1）4個(gè)大面和4個(gè)中面重合;（2）4個(gè)大面和4個(gè)小面重合;（3）4個(gè)中面和4個(gè)小面重合。接著，我們先計(jì)算出4本便利貼的表面積總和是：（6×5+6×2+5×2）×2×4=416（平方厘米）。然后再計(jì)算出這6種情況重疊部分的面積，3種相同的面重合的面積是：（1）6×5×6=180（平方厘米）;（2）6×2×6=72（平方厘米）;（3）5×2×6=60（平方厘米）。3種不同的面重合的面積：（1）6×5×4+6×2×4=168（平方厘米）;（2）6×5×4+5×2×4=160（平方厘米）;（3）6×2×4+5×2×4=88（平方厘米）。要讓包裝紙最少，就要去找重合部分最大的，所以是當(dāng)6個(gè)大面重合的時(shí)候，包裝紙的面積是416-180=236（平方厘米）。

生4：我們小組只算了“6個(gè)大面重合”和“4個(gè)大面和4個(gè)中面重合”這兩種情況，因?yàn)椤?個(gè)大面重合”是“3種相同的面重合”中面積最大的，“4個(gè)大面和4個(gè)中面重合”是“3種不同的面重合”中面積最大的。所以我們只要比較出這兩種情況到底誰大就可以了。

生5：我覺得比較“6個(gè)大面重合”和“4個(gè)大面和4個(gè)中面重合”誰大，其實(shí)就是比較“2個(gè)大面”和“4個(gè)中面”，換句話說就是比較“1個(gè)大面”和“2個(gè)中面”誰大。

師：太厲害了，把一個(gè)那么復(fù)雜的大小比較轉(zhuǎn)化為如此簡單的大小比較。掌聲鼓勵(lì)！

在這個(gè)教學(xué)片段中，雖然這個(gè)探究問題難度增加了，但是學(xué)生充分利用前一階段得到“表面積相同，重合部分面積越多，包裝紙的表面積越小”的結(jié)論，在層層深入中不斷化繁為簡，把復(fù)雜煩瑣的計(jì)算變成比較簡單的長度關(guān)系，促成了最節(jié)約包裝紙的優(yōu)化和計(jì)算過程的優(yōu)化。

總之，一個(gè)小小的包裝紙問題，引出了一系列的數(shù)學(xué)問題，這是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合的綜合問題?；仡櫿麄€(gè)教學(xué)活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)這樣的綜合實(shí)踐課不僅更貼近生活，促使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終價(jià)值，又讓學(xué)生在思考討論問題中發(fā)展人類社會(huì)必需的技能，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉紫瑩. 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課程的開發(fā)策略[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（22）：42-43.

[2]? 陳惠芳. 注重動(dòng)手操作，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)——以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課教學(xué)為例[J]. 教育視界，2018（20）：21-24.