4R學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一種樣態(tài)

李新麗

摘? 要：深度學(xué)習(xí)具有意義性、建構(gòu)性和發(fā)展性特質(zhì)。4R學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的新樣態(tài)。豐富性學(xué)習(xí)有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，回歸性學(xué)習(xí)有助于建立學(xué)生的數(shù)學(xué)意義，關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)，嚴(yán)密性學(xué)習(xí)有助于學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。4R學(xué)習(xí)，有助于讓數(shù)學(xué)知識(shí)不斷地獲得意義增值。

關(guān)鍵詞：4R學(xué)習(xí);深度學(xué)習(xí);學(xué)習(xí)樣態(tài)

小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是一種回歸學(xué)生本位的學(xué)習(xí)，也是提升學(xué)生自我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生自我數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)是相對(duì)于淺層學(xué)習(xí)、被動(dòng)學(xué)習(xí)等而言的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，所謂“深度學(xué)習(xí)”，是指教師引導(dǎo)學(xué)生突破數(shù)學(xué)符號(hào)表層，潛入數(shù)學(xué)符號(hào)邏輯內(nèi)部、揣摩數(shù)學(xué)符號(hào)所表征的意義的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)具有意義性、建構(gòu)性和發(fā)展性特質(zhì)。4R學(xué)習(xí)[豐富性學(xué)習(xí)（Richness learning）、回歸性學(xué)習(xí)（Recursion learning）、關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)（Relations learning）、嚴(yán)密性學(xué)習(xí)（Rigor learning）]，是學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的新樣態(tài)。

[?]一、豐富性學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

“豐富性學(xué)習(xí)”是相對(duì)于當(dāng)下的“單一性學(xué)習(xí)”而言的。所謂“豐富性學(xué)習(xí)”，是指教師引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度、多個(gè)層面完整地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)、知識(shí)技能、過(guò)程方法等。豐富性學(xué)習(xí)，一方面要求學(xué)生要準(zhǔn)備好豐富的學(xué)習(xí)素材，經(jīng)由對(duì)學(xué)習(xí)材料的去粗取精、去偽存真，促進(jìn)學(xué)生由表及里、由此及彼地深度理解;另一方面，要求學(xué)生把握數(shù)學(xué)的符號(hào)、背景和意義之間的關(guān)系，從符號(hào)的表層，潛入符號(hào)的內(nèi)部，從而洞察符號(hào)所表征的意義。豐富性學(xué)習(xí)，是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要方式。

教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》，筆者讓學(xué)生從家中帶來(lái)了長(zhǎng)方形、圓形、正方形紙若干張，讓學(xué)生表示二分之一。學(xué)生對(duì)不同形狀的紙采用不同的方式進(jìn)行表征，有學(xué)生用折的方法，有學(xué)生用涂的方法。同樣是用“折”的方法，有學(xué)生將長(zhǎng)方形紙上下對(duì)折，有學(xué)生將長(zhǎng)方形紙左右對(duì)折，還有學(xué)生沿著長(zhǎng)方形的對(duì)角線對(duì)折，等等。通過(guò)涂色、對(duì)折，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管表征方式不同，但都是將整張紙平均分成兩份，表示其中的一份。在對(duì)折的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕都經(jīng)過(guò)了中心。所有這些，學(xué)生在動(dòng)手做的過(guò)程中采用了圖形表征、操作表征。在展示、交流中，有學(xué)生對(duì)操作、畫(huà)圖的過(guò)程進(jìn)行描述，說(shuō)出了分?jǐn)?shù)的意義，這就是學(xué)生的語(yǔ)言表征。不同的表征，從不同的側(cè)面揭示了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，即“平均分成幾份中的一份”。在學(xué)生以圖形為媒介初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義后，筆者又借助多媒體課件給學(xué)生展示了一根一米長(zhǎng)的繩子、一瓶果汁等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象操作：怎樣得到一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)物體的二分之一？誰(shuí)是誰(shuí)的二分之一？為什么平均分的對(duì)象不同，卻都可以用二分之一來(lái)表征，等等。豐富的材料，引發(fā)了學(xué)生的深度思考、探究，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

豐富性學(xué)習(xí)，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)材料越豐富，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表象就會(huì)越深刻。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式越豐富，學(xué)生數(shù)學(xué)理解就會(huì)越深刻。豐富性學(xué)習(xí)，克服了單一的符號(hào)學(xué)習(xí)，將符號(hào)學(xué)習(xí)與邏輯學(xué)習(xí)、意義學(xué)習(xí)結(jié)合到一起，從而促進(jìn)了學(xué)生的意義建構(gòu)，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[?]二、回歸性學(xué)習(xí)，建立學(xué)生的數(shù)學(xué)意義

回歸性學(xué)習(xí)，是指學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)回歸經(jīng)驗(yàn)、回歸生活。也就是說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能從概念到概念，而應(yīng)該在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活與數(shù)學(xué)符號(hào)之間來(lái)回穿行。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、具體化，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化、生活化。通過(guò)回歸性學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)的意義?；貧w性學(xué)習(xí)，能喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的陌生感。通過(guò)回歸性學(xué)習(xí)，讓復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)單化，將深?yuàn)W的知識(shí)淺顯化，將抽象的知識(shí)情境化、意義化。

比如教學(xué)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法》，教師通常從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活入手，引導(dǎo)學(xué)生列式，并根據(jù)生活事理，讓學(xué)生說(shuō)出計(jì)算的算理。但是，一旦學(xué)生經(jīng)由算理建構(gòu)出算法，學(xué)生就始終圍繞著算法，將算理?xiàng)壷贿叄M(jìn)而遠(yuǎn)離了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活，從而導(dǎo)致了學(xué)生在計(jì)算時(shí)往往只知道算法，而遺忘了算理?；貧w性學(xué)習(xí)，就是要求學(xué)生時(shí)時(shí)返回知識(shí)的本源，返回學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之處、生活之處去進(jìn)行理解。比如43×12，筆者就引導(dǎo)學(xué)生賦予算式以生活意義：一箱牛奶43元，小明買了12箱牛奶，一共需要付多少元？宜良電瓶車的時(shí)速是每小時(shí)43千米，12小時(shí)可以行使多少千米？張師傅一小時(shí)加工零件43個(gè)，12小時(shí)能加工多少個(gè)零件？等等。通過(guò)經(jīng)驗(yàn)化、生活化的意義賦予，抽象化的算式變得觸手可及。在學(xué)生計(jì)算的過(guò)程中，筆者同樣引導(dǎo)學(xué)生回歸經(jīng)驗(yàn)、回歸生活，如先算幾箱牛奶的價(jià)錢，再算幾箱牛奶的價(jià)錢，一共計(jì)算幾箱牛奶的價(jià)錢？經(jīng)過(guò)這樣的計(jì)算算理啟發(fā)，不僅有助于學(xué)生深刻理解、掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)，而且能滲透簡(jiǎn)便運(yùn)算比如乘法分配律的算理，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便算理奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)需要借助于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活，需要將數(shù)學(xué)算式還原，需要下沉到生活、經(jīng)驗(yàn)之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不僅要返回生活、經(jīng)驗(yàn)，還要反諸自我。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)變得直觀、生動(dòng)起來(lái)，才會(huì)富有深度。在這種回歸性學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)獲得意義的增值。

[?]三、關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的，充滿了千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。所謂“關(guān)聯(lián)性教學(xué)”，就是要求教師在教學(xué)中不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生完善認(rèn)知。數(shù)學(xué)知識(shí)不是一座符號(hào)的孤島，而是一座座島嶼群。作為教師，要從高處著眼，及時(shí)幫助學(xué)生將點(diǎn)狀的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，通過(guò)串點(diǎn)成線、連線成面，勾面成體，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)不僅有助于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)相加減》，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生自主探究，充分發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性、能動(dòng)性，挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性。學(xué)生“八仙過(guò)海各顯神通”，有的通過(guò)畫(huà)圖借助分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行推導(dǎo);有的運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)進(jìn)行計(jì)算;還有學(xué)生運(yùn)用通分，自主探究出異分母分?jǐn)?shù)相加減的法則。在通過(guò)算法比較，進(jìn)行算法優(yōu)化后，筆者及時(shí)出示整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的練習(xí)，讓學(xué)生回憶整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的法則。通過(guò)算法比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是“分?jǐn)?shù)單位相同”，還是“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”“相同數(shù)位對(duì)齊”，都有著異曲同工之妙。在學(xué)生感悟的基礎(chǔ)上，筆者揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，即無(wú)論是整數(shù)加減法、小數(shù)加減法還是分?jǐn)?shù)加減法，都是“只有計(jì)數(shù)單位相同才能相加或相減”。如此，就將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的法則有機(jī)結(jié)合在一起。從某種意義上說(shuō)，這樣的教學(xué)就是一種關(guān)聯(lián)性的教學(xué)，它在一定的程度上完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，為數(shù)學(xué)知識(shí)的可流動(dòng)性、為學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的可理解性提供了可能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要樹(shù)立整體意識(shí)，將點(diǎn)狀的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。關(guān)聯(lián)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生在不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)生有意識(shí)地將數(shù)學(xué)新知納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，有助于學(xué)生建構(gòu)一個(gè)和諧的、統(tǒng)一的表征系統(tǒng)，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)集結(jié)為一個(gè)整體。

[?]四、嚴(yán)密性學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門理性的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)當(dāng)充滿理性。抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性是數(shù)學(xué)的基本特性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從直觀的、感性的生活、經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，但一定要提升為理性化的知識(shí)，形成數(shù)學(xué)的思想方法。嚴(yán)密性教學(xué)是相對(duì)于經(jīng)驗(yàn)教學(xué)、直觀教學(xué)而言的，也就是要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的理智化、理性化功用。通過(guò)嚴(yán)密性學(xué)習(xí)，能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》，學(xué)生都運(yùn)用“實(shí)驗(yàn)法”對(duì)三角形內(nèi)角和進(jìn)行探究，比如測(cè)量三角形的每一個(gè)內(nèi)角，比如將三角形的三個(gè)內(nèi)角用手撕下來(lái)然后拼合到一起，比如將三角形的三個(gè)內(nèi)角折拼在一起，等等。這些實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的動(dòng)作性、形象性特質(zhì)，是感性的。還有一些學(xué)優(yōu)生，從長(zhǎng)方形的內(nèi)角和開(kāi)始進(jìn)行嚴(yán)密性推理：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360度，而任何兩個(gè)完全相同的直角三角形都可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以任何一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度;又因?yàn)槿魏我粋€(gè)銳角三角形或鈍角三角形沿著高分開(kāi)，都可以得到兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360度，從中減去垂足左右兩邊的兩個(gè)直角，所以任意一個(gè)銳角三角形或鈍角三角形的內(nèi)角和也是180度。因?yàn)槿我庖粋€(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度，又因?yàn)槿我庖粋€(gè)銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180度，所以任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180度。這樣的推理，體現(xiàn)著學(xué)生嚴(yán)密的邏輯，閃耀著理性的光芒，彰顯了學(xué)生的智慧。

嚴(yán)密性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再停留在經(jīng)驗(yàn)、直觀的層面，而是充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)體的理性學(xué)習(xí)潛質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。這種嚴(yán)密性學(xué)習(xí)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的標(biāo)識(shí)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)識(shí)。嚴(yán)密性學(xué)習(xí)，超越了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性學(xué)習(xí)、生活性學(xué)習(xí)，集中體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)化、公理化思想。

4R教學(xué)不是四種不同的教學(xué)模式或教學(xué)方法，而是有效學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度理解、深度探究、深度體驗(yàn)、深度反思。4R學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義理解，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的意義增值。