五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分算法

朱 洪，王 娟，李寶萍

（安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥230601）

近年來，在計算機(jī)輔助幾何設(shè)計或工業(yè)造型等領(lǐng)域，細(xì)分算法因具有處理簡單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛的應(yīng)用，也基于此越來越多的專家和學(xué)者對其開展了廣泛的研究，如Hassan等給出了C2連續(xù)的四點(diǎn)細(xì)分插值算法[1]，Siddiqi等提出了一種具有C2連續(xù)的五點(diǎn)逼近細(xì)分算法[2]，Tan等提出動態(tài)的三點(diǎn)二重逼近細(xì)分法[3]。根據(jù)不同的初始控制參數(shù)運(yùn)用細(xì)分算法，可產(chǎn)生很多靈活的C3連續(xù)曲線。Akram等討論了動態(tài)的插值四點(diǎn)細(xì)分法的保形性[4]；Siddiqi等分析了C2連續(xù)的六點(diǎn)三重插值算法，并對其保凸性進(jìn)行了具體的研究[5]；Luo等基于逼近細(xì)分法去構(gòu)造插值細(xì)分法[6]；而檀結(jié)慶等則是從插值細(xì)分中給出逼近細(xì)分算法，并生成C2連續(xù)的極限曲線[7]；Pan等把逼近插值兩種細(xì)分算法相互結(jié)合，從而產(chǎn)生C2連續(xù)的細(xì)分曲線[8]；王燕等分別給出了一類保凸的細(xì)分法以及含有兩個形狀控制參數(shù)的五點(diǎn)逼近細(xì)分算法[9-10]；劉秀平等通過建立細(xì)分算法有關(guān)的矩陣，給出了插值細(xì)分曲線中有理參數(shù)點(diǎn)的求值[11]。將細(xì)分和樣條這兩種理論相融合也是曲線曲面造型中研究的重要工作，駱巖林等討論了有理穩(wěn)定細(xì)分方法，產(chǎn)生的曲線包括經(jīng)常用的有理B-樣條曲線[12]；莊興龍給出含有一個參數(shù)的五點(diǎn)二重逼近細(xì)分算法，并對該算法的連續(xù)性進(jìn)行了分析[13]?；谝陨涎芯?，將有理B-樣條曲線與逼近細(xì)分算法相結(jié)合，提出一種新的五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分算法，并在理論上證明該算法的一致收斂性和連續(xù)性，最后通過具體算例驗(yàn)證該細(xì)分算法的可行性及靈活性。

1 預(yù)備知識

定理1[1]若二重細(xì)分法S一致收斂，則其掩模滿足定理2[1]設(shè)二重細(xì)分法S的掩模滿足定理1，則存在一個二重細(xì)分法S1，滿足其中。同理，記Sn（n階差分算法）的掩模為相應(yīng)的生成多項(xiàng)式是

定理3[14]若二重細(xì)分法S的掩模和的掩模滿足而且存在正整數(shù)L有成立，則由二重細(xì)分法S生成的曲線是Cn連續(xù)的。特別是取時

2 五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分算法和連續(xù)性分析

根據(jù)定理2，S1的生成多項(xiàng)式為

則有

由定理3可知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法一致收斂。

根據(jù)定理2，S2的生成多項(xiàng)式為

則有

由定理3知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法C1連續(xù)。

證明 根據(jù)定理2，S3的生成多項(xiàng)式為

則有

根據(jù)定理3知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法C2連續(xù)。又根據(jù)定理2，S4的生成多項(xiàng)式為

則有

根據(jù)定理3知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法C3連續(xù)。

證明 根據(jù)定理2，S5和S6的生成多項(xiàng)式分別為

則有

根據(jù)定理3知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法C5連續(xù)。

根據(jù)定理3知，五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分法C7連續(xù)。

3 數(shù)值算例

根據(jù)連續(xù)性分析知，對于同一初始控制多邊形，圖1所示是參數(shù)ω=[-3/5,-7/20,0,1/30]的極限曲線變化動態(tài)圖，它們分別為C1、C3、C5、C7連續(xù)。從圖中可以看出，當(dāng)參數(shù)從小到大變化時，極限曲線體現(xiàn)出越來越高的光滑度，而且比較貼近初始控制多邊形，因此，這種有理逼近細(xì)分算法克服了傳統(tǒng)逼近細(xì)分本身對初始控制多邊形保持較弱的缺點(diǎn)。

當(dāng)參數(shù)ω=-1/10時，對于同一控制多邊形，細(xì)分算法（1）不同細(xì)分次數(shù)所生成的極限曲線如圖2所示。在相同初始控制多邊形下，當(dāng)參數(shù)分別取時，極限曲線都保持著C3連續(xù)，但是隨著參數(shù)取值的增大，極限曲線越來越靠攏初始控制多邊形，如圖3所示。比較細(xì)分算法（1）與文獻(xiàn)[9]、[13]的算法，發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[9]相比，在相同的連續(xù)性下，細(xì)分算法（1）的極限曲線更加接近控制多邊形；與文獻(xiàn)[13]相比，在相同的連續(xù)性下，細(xì)分算法（1）的參數(shù)取值范圍較大，因此，對極限曲線的調(diào)控更加靈活，如圖4所示。

圖1 極限曲線（虛線，初始控制多邊形；實(shí)線，極限曲線）

圖2 同一控制多邊形的細(xì)分動態(tài)圖

圖3 極限曲線動態(tài)圖ω=[-7/20,-1/4,-3/20,-1/10]

圖4 算法對比（虛線：初始控制多邊形；實(shí)線：極限曲線）

4 結(jié)束語

結(jié)合有理B樣條曲線在工業(yè)造型設(shè)計中的應(yīng)用，本文提出了五點(diǎn)二重有理逼近細(xì)分算法，使得生成的極限曲線除了保持較高的連續(xù)性以外，還能非常地接近初始控制多邊形。未來工作將對該算法的保形性和多項(xiàng)式再生以及逼近階等性質(zhì)進(jìn)行研究，從而更好地用于工業(yè)造型設(shè)計。