“用教材教”，讓數(shù)學(xué)史真正融入數(shù)學(xué)課堂
——基于記數(shù)法的數(shù)學(xué)史分析

◇林采露 黃 健

筆者在進(jìn)行北師大版教材二年級(jí)下冊(cè)第三單元“生活中的大數(shù)”第三課時(shí)“撥一撥”的備課期間，發(fā)現(xiàn)課后有關(guān)于中國古代記錄數(shù)字的方法簡(jiǎn)介（如圖1）。教材給予我們思路和啟迪，教師應(yīng)該在此基礎(chǔ)上深入研究，挖掘資源，重構(gòu)數(shù)學(xué)史，將合適的、有效的、有趣的內(nèi)容恰當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)給學(xué)生，才能達(dá)到最優(yōu)的效果。因此，筆者對(duì)古代記數(shù)法進(jìn)行了大量的文獻(xiàn)搜索和分析，試圖從中挖掘出有教學(xué)價(jià)值的課程資源。

圖1 教材第26 頁截圖

一 記數(shù)法的數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)析

1.古巴比倫。

大約4000年前，古巴比倫人發(fā)明了位置記數(shù)法。楔形符號(hào)中，有表示1 至59 的楔子，構(gòu)成了59 個(gè)單個(gè)的符號(hào)（如圖2），多組楔子之間用適當(dāng)?shù)拈g隙隔開，每組楔子根據(jù)其位置的不同各有其值，比如，表示 2×（60）2+2×60+2=7322（此表示方法仍存在一定爭(zhēng)議）。古巴比倫一直沒有表示0 的符號(hào)，是用留空隙的方法表示數(shù)字中間的0[1]。

圖2 古巴比倫六十進(jìn)制的楔形數(shù)字

2.古埃及。

古埃及的記數(shù)法可以追溯到大約5000年前，前6 個(gè)10 的整數(shù)次冪有其特殊符號(hào) （如圖3），數(shù)的表示是基于十進(jìn)制且使用簡(jiǎn)單的迭代法。（后文中有相關(guān)例子）

圖3 古埃及的象形數(shù)字

3.中國。

中國最早記數(shù)的方法出現(xiàn)于公元前16世紀(jì)至公元前11世紀(jì)的甲骨文（如圖4）。

圖4 中國殷商甲骨文數(shù)字

大約在公元前幾百年，中國出現(xiàn)了“籌數(shù)”系統(tǒng)，即用算籌表示數(shù)，也是位置記數(shù)法最早被使用的時(shí)期。數(shù)字1至9如圖5所示。

圖5 中國算籌記數(shù)法

從右到左的數(shù)位上交替使用這18 個(gè)符號(hào)：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，以此類推，如教材所示（如圖1）。最開始用算籌表示數(shù)時(shí)，遇到0 用空位代替，后來出現(xiàn)專門的符號(hào)“〇”，中國的十進(jìn)位值制記數(shù)法至此才算真正完整。

二 教學(xué)實(shí)踐

基于以上分析，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的資源廣袤無邊，可謂是“從教材中我們可能只能看見一棵樹，從歷史中我們卻可能會(huì)看到一片森林[2]”。在“撥一撥”這節(jié)數(shù)學(xué)課上，筆者便以此為例，試圖帶領(lǐng)孩子們領(lǐng)略數(shù)字的無窮魅力。

1.史話趣聞。

向?qū)W生簡(jiǎn)要介紹古埃及記數(shù)法、中國的甲骨文記數(shù)法和算籌記數(shù)法，以展示圖片和介紹讀數(shù)方法為主。

2.史題練筆。

問題一：拿破侖的軍隊(duì)曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一塊不可思議的石碑——羅塞塔石碑。你能讀懂石碑上的數(shù)字嗎？（如圖6）

圖6 問題一

問題二：“運(yùn)籌帷幄”的“籌”字指的就是中國古代的“算籌”（如圖5）。中有（ ）個(gè)十和（ ）個(gè)一。中有（ ）個(gè)百、（ ）個(gè)十和（ ）個(gè)一。中出現(xiàn)了兩次的符號(hào)表示的意義相同嗎？為什么？

3.史中探智。

師：剛剛我們一起探索了古埃及和中國古代表示數(shù)的方法，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，思考一下這兩種表示方法有什么不同的地方。

生1：古埃及的表示方法中可能需要畫很多符號(hào)，比如寫9999 時(shí)，就要畫好多個(gè)圖案。

生2：中國的算籌可以用同一個(gè)符號(hào)表示不同的意思，如問題二最后一道題中，符號(hào)的位置不一樣，表示的意義也不一樣。

師：哪一種表示方法和我們現(xiàn)在數(shù)的表示方法更接近呢？

生3：中國的算籌和現(xiàn)在數(shù)的表示方法比較像，因?yàn)閿?shù)字2 可以放在百位表示200，也可以放在千位表示2000，不管多大的數(shù)都可以表示出來，算籌也是這樣。

師：你更喜歡哪種表示方法呢？說一說你的理由。

生4：我更喜歡算籌，表示大數(shù)的時(shí)候比較方便。

生5：我更喜歡古埃及的表示方法，因?yàn)槟切┓?hào)很有趣。

生6：我也更喜歡算籌，因?yàn)楣虐＜暗挠锌赡軙?huì)畫得很累。

三 討論與總結(jié)

1.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化這個(gè)寶庫的進(jìn)一步開發(fā)仍需要不斷的努力。教科書只是藏寶地圖的一角，它是我們教學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，而不是終點(diǎn)，用好教材需要先拓展教材。

2.數(shù)學(xué)史在課堂中的運(yùn)用，需要根據(jù)學(xué)生的具體情況和教學(xué)的特殊需要進(jìn)行選擇。如本節(jié)課中，若直接將古代記數(shù)法毫無保留地展示給學(xué)生，不僅很難達(dá)到預(yù)期效果，還會(huì)畫蛇添足導(dǎo)致二年級(jí)學(xué)生一頭霧水。而這樣的趣味展示配合小題訓(xùn)練和討論互動(dòng)，使課堂變得有趣、深刻且充滿文化氣息。

古代記數(shù)法的歷史遠(yuǎn)不止本文介紹的這些，在《數(shù)學(xué)史》[1]與《古今數(shù)學(xué)思想》[3]等不少著作中都有詳細(xì)的介紹。加之互聯(lián)網(wǎng)的普及，教學(xué)的素材一直在身邊，我們?nèi)钡氖峭ㄍ鶎殠斓牟貙殘D和一探究竟的動(dòng)力。