解釋計算結(jié)果，促進算法理解
——以除法豎式為例

◇游 迪

廣西桂林市的陳燕虹老師在教學(xué)人教版教材四年級上冊“筆算除法”時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)了 “被除數(shù)與除數(shù)同時除以10 以進行除法豎式簡便運算”的方法 （如圖1） 后，在求解820÷90 的余數(shù)時，有圖2和圖3所示的兩種作答方式。

圖1

圖2

圖3

在圖2所示的解法中，學(xué)生類比圖1，將被除數(shù)與除數(shù)同時除以10，并進行了正確的除法豎式計算，得到的余數(shù)為1； 圖3則在圖2的基礎(chǔ)上，在余數(shù)“1”后添加了一個“0”，使得這一運算的結(jié)果余數(shù)為10。

陳老師觀察到了這一現(xiàn)象，并對學(xué)生的觀點進行收集。匯總后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生中主要有以下三種觀點：部分學(xué)生認(rèn)為，圖2所示的筆算方法是唯一正確的，且原式的余數(shù)為1，因為 “運算方法和圖1相同，且沒有計算錯誤”，而圖3中在除法豎式的余數(shù)后面添加數(shù)字的方式不符合格式（視為觀點1）；還有部分學(xué)生認(rèn)為，圖3所示的筆算方法正確，圖2所示的筆算方法錯誤，因為“820÷90 的余數(shù)就是 10，而非1，所以應(yīng)該添加一個‘0’得到正確的余數(shù)，圖2中的計算結(jié)果有誤”（視為觀點2）；其他學(xué)生則綜合上述兩種觀點，認(rèn)為矛盾無法調(diào)解，此處不能運用圖1所示的方法進行簡便運算（視為觀點3）。

那么，這些觀點究竟是否正確？學(xué)生為何會產(chǎn)生這樣的分歧？我們應(yīng)如何進行有針對性的教學(xué)？對于這些問題，本文將繼續(xù)沿用參考文獻[1]和[2]中的框架，分別從數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析、教學(xué)分析三個層面對此教學(xué)案例進行探討。

一 數(shù)學(xué)分析

從數(shù)學(xué)的角度說，除法豎式背后隱含的原理為整數(shù)的帶余除法。整數(shù)帶余除法定理的表述如下：對于整數(shù) a、b，這里a≥b,b≠0，存在唯一的整數(shù)對（q,r），使得 a=bq+r，其中 0≤r＜｜b｜。

當(dāng)r=0 時，即在整除的情況下，a=bq。令被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù) m（m≠0），得 am=（bm）q，商仍為 q；令被除數(shù)和除數(shù)都除以相同的數(shù)m （m≠0），得商不變。以上即為課本上“整除時商的變化規(guī)律”：被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個相同的數(shù)（0 除外），商不變。這是圖1所示的簡便運算的數(shù)學(xué)原理。

對于圖3，在“1”后面添加數(shù)字“0”得到新數(shù) 10，由于 10大于除數(shù)9，根據(jù)整數(shù)帶余除法定理，運算仍須繼續(xù)，最終得到的余數(shù)為1。這種添加方式是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

對于圖2所示的方法，學(xué)生在使用了“簡便運算”方法后，認(rèn)為 820÷90 的余數(shù)是 1，這是不正確的，但我們可以對計算的結(jié)果進行合理的解釋，將計算結(jié)果乘10 即可得到最終的答案。

實際上，除法豎式在很大程度上是一個工具，關(guān)鍵在于對計算結(jié)果進行合理的解釋。在分析學(xué)生的認(rèn)知之前，我們先通過美國一個非常著名的除法問題進行說明，其表述如下[3]：

某小學(xué)師生共296 人乘車去春游，如果每輛車上能坐24人，他們共需要多少輛車？

此問題可用式子“296÷24=12……8”進行求解，其意義為：共有12 輛車坐滿了，還余下8人，因此只需多配1 輛車，即答案為13。需要說明的是，師生實際乘車的情況更復(fù)雜，不一定是前面12 輛車坐滿，最后1輛車只坐8 人，還可能是11 輛車坐滿，另外2 輛車分別坐16人等多種情況。但無論何種情況，12 輛車上最多坐 24×12=288（人），小于人數(shù) 296，不滿足條件；而13 輛車上最多坐24×13=312（人），肯定能滿足需求。

可以看出，在解答這道含有余數(shù)的除法題時，不僅要求計算準(zhǔn)確，還需對計算結(jié)果進行合理的解釋。實際上，“296÷24=12……8” 這一計算結(jié)果還可用于求解以下兩個數(shù)學(xué)問題。

問題1：某小學(xué)師生共296人乘車去春游，如果每輛車上能坐24 人，且除了最后一輛車其他車都必須坐滿，問：有多少輛車坐滿了？

問題2：某小學(xué)師生共296人乘車去春游，如果每輛車上能坐24 人，且除了最后一輛車其他車都必須坐滿，問：最后一輛車上有多少人？

顯然，問題1 的答案為12，問題2 的答案則是 8。由上述例子可以看出，對同一式子的計算結(jié)果進行不同的解釋，可以求解不同的問題。因此，筆算僅僅是一個工具，計算的結(jié)果不一定是最終的結(jié)果，我們在解決問題時不能為其所束縛，而需要關(guān)注計算結(jié)果背后所隱含的意義，并對其進行合理的解釋，最終得到正確答案。

二 認(rèn)知分析

帶著前面的數(shù)學(xué)分析，把除法豎式看成工具，我們從認(rèn)知的角度回顧文章開始學(xué)生的三種觀點，可以看出，學(xué)生有著共同的認(rèn)知：既將筆算作為工具，又將其結(jié)果作為最終的結(jié)果。

1.觀點1的認(rèn)知分析。

觀點1 認(rèn)為圖2所示的筆算是唯一正確的，即可以進行“簡便運算（被除數(shù)與除數(shù)同時除以10）”，且原式的最終余數(shù)是1。這部分學(xué)生以“同時除以10 進行豎式除法的簡便運算”作為工具，并通過正確的計算得到余數(shù)“1”。由于學(xué)生認(rèn)為計算的結(jié)果即為最終的答案，所以學(xué)生未過多思考便將其作為最終結(jié)果。

通過上述數(shù)學(xué)分析我們知道，運用這種“簡便運算”得到的結(jié)果并非真正的解，學(xué)生在認(rèn)為計算結(jié)果即為最終結(jié)果的情況下，出現(xiàn)圖2所示的錯誤解答很可能是由于錯誤類比圖1所示的方法造成的。我們知道，在學(xué)習(xí)除法豎式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整除時商的變化規(guī)律，若教師未能對此進行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)，學(xué)生很有可能產(chǎn)生以下錯誤類比：被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個相同的數(shù)（0 除外），商不變，余數(shù)不變，由此認(rèn)可圖2中余數(shù)不為0 情況下的 “簡便運算”方法。

其實，圖2中運用圖1所示的方法進行簡便運算是可行的，但不能直接將計算的結(jié)果作為最終的答案，需對其進行合理的解釋，最終才能得到正確答案。

2.觀點2的認(rèn)知分析。

觀點2 認(rèn)為圖3所示的方法正確而圖2所示的方法錯誤，其與觀點1 有著很多相同的認(rèn)知，認(rèn)可余數(shù)不為0 情況下的“簡便運算”方法，且在操作除法豎式的過程中沒有計算錯誤；不同之處在于，他們很可能通過其他“非簡便運算”（如圖1左邊的豎式運算等）的方式求得此題的余數(shù)應(yīng)為10，由于他們認(rèn)為筆算的結(jié)果應(yīng)是最終答案，為了使其出現(xiàn)在計算的結(jié)果中，便在按圖2所示方法所求余數(shù)的結(jié)果“1”后添加“0”，湊出正確的結(jié)果“10”。

3.觀點3的認(rèn)知分析。

認(rèn)為兩種筆算方法都錯誤的學(xué)生綜合了前兩者的觀點：一方面，他們認(rèn)可圖2所示的計算過程，但知道正確的余數(shù)應(yīng)是10； 另一方面，雖然圖3所示的運算方式確實得到了正確的余數(shù)，但他們了解這種處理方式的不規(guī)范性。由于學(xué)生不能解釋其中的矛盾，便認(rèn)為此題不能使用圖1右邊的方法，即被除數(shù)與除數(shù)同時除以10 以進行豎式除法的簡便運算。

要厘清學(xué)生的以上分歧，需認(rèn)識到除法豎式本身不能違反整數(shù)帶余除法定理，因此，不能在通過除法豎式計算出來的余數(shù)后面隨意添加“0”。另外，教師要幫助學(xué)生了解，除法豎式僅僅是一種簡單而有效的記錄方式，是一種工具，所得到的計算結(jié)果不一定是最終的余數(shù)，因此，在解決問題時，應(yīng)根據(jù)情境對計算結(jié)果進行恰當(dāng)?shù)慕忉尅?/p>

三 教學(xué)分析

基于上述分析，我們認(rèn)為，除法豎式簡便運算的教學(xué)中至少要注意以下三點。其一，如之前所提及的，在運算方法的教學(xué)中，要注重對計算結(jié)果進行合理的解釋，讓學(xué)生理解算式及其結(jié)果的數(shù)學(xué)意義；其二，通過對“1”的解釋或?qū)D3的討論，加深對除法豎式的數(shù)學(xué)原理的理解，避免學(xué)生后續(xù)出現(xiàn)添加“0”后繼續(xù)進行除法運算的錯誤；其三，通過對標(biāo)準(zhǔn)算法和圖2所示算法的比較，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)對簡潔的追求。

據(jù)此，我們設(shè)計了下面的除法豎式教學(xué)方案。

1.復(fù)習(xí)算法。

教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)求解820÷90 的標(biāo)準(zhǔn)算法（不同時除以 10）。

標(biāo)準(zhǔn)算法是學(xué)生已經(jīng)掌握的算法，在經(jīng)過這一步驟后，學(xué)生對于計算結(jié)果商為9、余數(shù)為10 達(dá)成了一致。

此階段是鞏固對除法原理及其豎式表達(dá)方式的理解，包括對商和余數(shù)的理解，為接下來理解帶余數(shù)的除法豎式簡便運算提供知識基礎(chǔ)，即為學(xué)生在后期進行類比探究與陳述觀點作鋪墊。

2.類比探究。

引導(dǎo)學(xué)生進行圖1中780÷30 的計算，即進一步學(xué)習(xí)被除數(shù)和除數(shù)同時除以10 進行除法豎式的簡便筆算，此時得到的商不變。然后，讓學(xué)生自主探究如何運用類似的除法豎式求解 820÷90。

在這一環(huán)節(jié)，教師將課堂完全交給學(xué)生，學(xué)生可以自由發(fā)揮，按照自己的方式書寫除法豎式。如果有學(xué)生給出圖2所示的解法，教師可通過以下追問引導(dǎo)學(xué)生討論：“在這里余數(shù)是1，剛才我們不是求得余數(shù)是10 嗎？這里的計算方法正確嗎？”如果學(xué)生未給出圖3所示的解法，教師可以把圖3所示的解法呈現(xiàn)給學(xué)生，并問學(xué)生：“既然前面我們已經(jīng)知道余數(shù)是10，可不可以在這個豎式的余數(shù)‘1’后面添上‘0’呢？”從而引導(dǎo)學(xué)生比較、思考。

這一環(huán)節(jié)是為了以舊引新，并讓學(xué)生在變化了的新情境中形成認(rèn)知沖突，從而促進學(xué)生反思對余數(shù)的理解。

3.陳述觀點。

對于前面的問題，圍繞“為什么這么寫？依據(jù)是什么”展開討論，教師鼓勵學(xué)生表達(dá)自己的觀點，陳述自己探究的過程和理解。

這一環(huán)節(jié)是為了讓學(xué)生充分展示自己的做法和思考，教師從中了解學(xué)生的思維過程和結(jié)果，以便接下來針對學(xué)生在對除法豎式原理或除法豎式表達(dá)方式的理解方面的問題進行分析、點評，讓學(xué)生達(dá)成正確的理解。一般來說，在學(xué)生對問題進行分析并有了自己的想法后，教師的點評才能讓學(xué)生更有收獲。

4.教師點評。

對于圖2所示的筆算方法，教師對其進行肯定：“實際上，在除以10 后，這個除法豎式較為簡潔。但由前面的學(xué)習(xí)我們知道，此時的余數(shù)1 代表的是 10，而不是 1，因為 1 所在的位置是十位，而不是個位。因此，同學(xué)們在進行除法豎式運算時，要仔細(xì)分析計算的結(jié)果，進行正確的解釋。”最后，通過與標(biāo)準(zhǔn)算法的比較，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)對簡便的追求。

對于圖3所示的筆算方法，教師要表揚其合理性：“這里添一個‘0’，余數(shù)是 10，這表示學(xué)生認(rèn)識到了這個‘1’代表的是 10。但是，如果直接在‘1’后面添一個‘0’，會導(dǎo)致還需要繼續(xù)進行計算。因此，為了不引發(fā)這樣的問題，我們不能在‘1’后面直接添‘0’，即在格式上需要使用圖2所示的方式?！?/p>

對于其他筆算方法，教師亦可以從除法豎式的帶余除法原理上進行解釋，并對這些除法豎式格式的正確性、規(guī)范性、簡潔性進行恰當(dāng)?shù)狞c評。

在這一環(huán)節(jié)中，除了前面提到的分析、點評，對于部分學(xué)生不能理解為何帶余除法不能完全類比整除進行簡便計算，教師可以列出如下算式，幫助學(xué)生理解：

820=90×9+10，

820÷10=（90÷10）×9+（10÷10），

82=9×9+1。

因為 820=90×9+10，所以820÷90=9……10。

因為 82=9×9+1，所以 82÷9=9……1。

這一環(huán)節(jié)的教學(xué)是為了在學(xué)生進行深入思考后仍有困惑時，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，為學(xué)生解疑，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)上理解算法及其操作、表達(dá)方式，同時向?qū)W生滲透對計算結(jié)果進行數(shù)學(xué)解釋的思想。

四 結(jié)語

以上教學(xué)案例分析表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對除法豎式這類算法教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在不同情境中對數(shù)學(xué)結(jié)果進行合理的解釋。通過對數(shù)學(xué)結(jié)果進行解釋，一方面，促進學(xué)生對算法的原理及其操作方式的理解，澄清一些可能的誤解，使得學(xué)生不僅知其然，且知其所以然，并進行正確、規(guī)范的算法操作，理解數(shù)學(xué)算法操作的合理性和美學(xué)意義；另一方面，使學(xué)生感受到學(xué)校中所學(xué)的數(shù)學(xué)不只是數(shù)字游戲，還是有現(xiàn)實意義的，進而加深其對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

除法豎式僅僅是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一部分。本文的最終目的是，希望通過數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析和教學(xué)分析這種研究框架，為廣大一線教師提供一種研究視角——先對教學(xué)中所遇到的問題進行數(shù)學(xué)上的分析，再結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知情況，進行教學(xué)反思與改進。希望這樣的分析框架能幫助一線教師成為探究型教師，以研促教，最終改進課堂教學(xué)。