培養(yǎng)邏輯推理 提升數(shù)學運算
——“數(shù)列求和”教學案例

張強

（內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特中旗第一中學，內(nèi)蒙古巴彥淖爾 015300）

1 背景

數(shù)列作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是歷屆高考的必考內(nèi)容。數(shù)列教學的核心素養(yǎng)——邏輯推理和數(shù)學運算。借助我國先人之數(shù)學經(jīng)典展開教學，讓學生感受我國文明之璀璨，把握三維目標，體現(xiàn)數(shù)學價值，呈現(xiàn)數(shù)學魅力。數(shù)列求和作為數(shù)列教學的重要模塊，是以兩個基本數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列為基礎，進一步提升邏輯推理和運算能力，學會建立一般數(shù)學模型，強化實際問題的考察。在解決具體問題時，要熟練運用分類討論、轉(zhuǎn)化歸納、類比推理等數(shù)學思想，將表象很難求和的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的求和形式。本節(jié)課從公式法求和、分組求和、并項求和、裂項求和、錯位求和五個角度，闡述數(shù)列求和的方法，遵循學生循序漸進的認知規(guī)律，讓學生在感知知識的同時，感受數(shù)學的樂趣。

2 教學設計

2.1 提出問題 畫龍點睛

教師：數(shù)列的基本就在于等差數(shù)列和等比數(shù)列，對于這兩種數(shù)列，我們怎樣求和，看下面的問題。

問題1：

⑴2+4+6+…+2n=

⑵1+2+2+2+…+2=

學生1：這兩個數(shù)列求和，直接用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式求解。答案是n(n+1),2-1

教師：有不同意見嗎？

學生2：第⑵題應該有n+1項，答案是 2-1

方法點睛（教師）：同學們，利用公式法求和，一定要搞清首項、公差（公比）以及數(shù)列的項數(shù)。

教師：請同學們認真觀察，我們能否對該數(shù)列求和。

方法點睛（教師）：通過分組，得到等差或等比數(shù)列，分別求和再相加即可。這種方法叫做分組求和法。

問題3：S=1-2+3-4+…+(-1)·n，當n為奇數(shù)時，S= ，當n為偶數(shù)時，S=

學生4：類比問題2，利用分組求和法。（實物投影展示）

教師：同學們，還有其他方法嗎？

方法點睛（教師）：學生5的方法，把數(shù)列的若干項合并，得到一個常數(shù)列（也可能得到等差或等比數(shù)列），再進行求和，這種方法叫做并項求和法。顯然，問題3使用并項求和法更為簡單。

問題4：

方法點睛（教師）：這兩個數(shù)列求和，都是把數(shù)列中每一項拆成兩項之差，并消掉若干項，實現(xiàn)求和。第二個數(shù)列求和，需配一個常數(shù)，才能拆項。同學們要體會其中的數(shù)學奧秘。這種數(shù)列求和的方法叫做裂項相消法。

常見的拆項公式：

問題5：1·3+2·3+3·3+…+n·3=

教師：同學們，仔細觀察，我們能有什么方法求和？學生8：令S=1·3+2·3+3·3+·+n·3……①

兩邊同乘3，得：3S=1·3+2·3+3·3+…+n·3……②

①—②得：-2S=1·3+1·3+1·3+…+1·3n·3

方法點睛（教師）：這個問題，我們利用等式的性質(zhì)和方程的思想，通過錯位相減轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題，最終實現(xiàn)對該數(shù)列的求和。這種數(shù)列求和的方法叫做錯位相減法。

2.2 歸納總結 有效提高

教師：本節(jié)課我們學習了哪些數(shù)列求和的方法，請同學們總結一下。

學生9：我們學習了公式法求和、分組求和法、并項求和法、裂項相消法、錯位相減法。

教師：很好，數(shù)列求和是本章的難點，不同的數(shù)列求和方法不同，重在研究數(shù)列的形式和通項公式。通過分析、歸納、類比，得到數(shù)列的一些規(guī)律，聯(lián)想相應的求和方法，既是根本，也是關鍵。數(shù)列求和的實質(zhì)就是求數(shù)列{S}的通項公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略，方法和技巧。所以請同學們謹記：方法不萬能，嘗試是關鍵，猜想要大膽，百練定成功。

3 教學反思

（1）數(shù)列求和對學生的知識和思維有很高的要求，通過自主學習、合作探究，激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學生的主觀能動性。遵循學生的認知規(guī)律，與學生同步而行。不斷挖掘?qū)W生的潛能，啟發(fā)學生的思考方向和思維角度，把握學生的學習情緒，獲得學習的樂趣。在解決問題的過程中，學生找到了方法與技巧，必然帶來思想上的波瀾，情感上的感染，價值上的認可，從而不斷提升學生的核心素養(yǎng)。

（2）教師在教學過程中，充分的參與，恰當?shù)狞c撥，肯定的關注，合理的引導。把握教學環(huán)節(jié)的突發(fā)事件，應對自如，注重細節(jié)，使學生獲得知識的同時，產(chǎn)生對數(shù)學學習的濃厚樂趣。并不是所有學生都能掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但肯定的賞識，適當?shù)谋摅祝茏寣W生充滿自信，這也是核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。

4 結語

高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合理的教學情境，運用各種教學方法，啟發(fā)思維，激發(fā)興趣，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣。不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。