不等式sin θ＜θ＜tan θ的證明與應(yīng)用

卓杰　余新國(guó)

此不等式的證明正是借助于“形”，從“形”的角度建立不等關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的重要數(shù)學(xué)思想，也凸顯了“數(shù)形結(jié)合”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性和簡(jiǎn)潔性.

特別強(qiáng)調(diào)：此不等式僅對(duì)θ∈（0，π/2時(shí)成立.

3.不等式sin θ<θ

分析 方程sin x=x解的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.因此只要能準(zhǔn)確畫(huà)出 y=sinx與y=x的圖象即可看出.若不仔細(xì)研究將畫(huà)出錯(cuò)誤的圖象.

解 由不等式sinθ<θ

當(dāng)x>0，則x> sinx;

當(dāng)x=0，則x= sinx;

當(dāng)x<0，則x

如圖2，方程slnx=x僅有1個(gè)解，

評(píng)注 若不借助于不等式sinθ<θ

思考 你能類(lèi)比例1借助上述不等式判斷方程tanx=x，x∈（0，π/2解的個(gè)數(shù)嗎？請(qǐng)作圖說(shuō)明.

例2已知a，b∈（0，π/2），且a=cosa，b=sin cosb，試比較a，b的大小關(guān)系并說(shuō)明理由.

分析 本題直接比較大小非常困難，觀(guān)察式子可以發(fā)現(xiàn)，兩式是不同名三角式，可以聯(lián)想到通過(guò)不等式sinθ<θ

解 因?yàn)閎∈（0，π/2），所以cos b∈（O，1），

則b=sin cos b

所以a-b=cosa-sin cosb>cosacosb.

因?yàn)閍，b∈（0，π/2），

若a≤6，則有cosa- cos b≥O，

所以a-b> cosa -cos b≥0，矛盾.

所以a>b.得證.

評(píng)注 此不等式可以實(shí)現(xiàn)將三角式化為一次式，化難為易，進(jìn)而解決問(wèn)題.

思考 若例2中有c= cos sinc，你能比較a，c的大小關(guān)系嗎？

在高等數(shù)學(xué)及科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域常用到不等式sin θ<θ