學(xué)習(xí)立體幾何的法寶之一

時訓(xùn)江

立體幾何著眼于構(gòu)圖，通過對圖形的觀察、操作和分析，形成空間觀念，提升空間想象能力，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).而這些能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)都需要建立在對基本圖形（柱、錐、臺、球）的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，通過對基本圖形的認(rèn)知（會看、會畫、會分析、會應(yīng)用），將復(fù)雜的幾何圖形化歸成基本圖形來研究.本文就立體圖形的讀圖能力的培養(yǎng)加以闡述.

一、會畫圖——強(qiáng)化基本作圖技能訓(xùn)練，培養(yǎng)畫圖能力

畫圖，實現(xiàn)研究對象從具體到抽象，是立體圖形認(rèn)知的基礎(chǔ).認(rèn)識立體圖形，可以從立體圖形的三視圖和直觀圖兩個角度人手.初中階段我們已經(jīng)對簡單幾何體的三視圖作了初步研究，在此基礎(chǔ)上，復(fù)雜幾何體的視圖可以通過分解成簡單圖形加以研究.

例1 畫出如圖1的幾何體的三視圖.

解 三視圖如圖2所示：

該幾何體可以看成四棱柱和圓柱的組合.復(fù)雜幾何體通過分解化歸成基本幾何體研究，這是研究立體圖形的重要方法.

立體幾何的學(xué)習(xí)是以基本圖形（柱、錐、臺、球）及其組合圖形為載體，能準(zhǔn)確畫出這些基本圖形的直觀圖，在頭腦中形成這些基本圖形的構(gòu)成要素（點(diǎn)、線、面）的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知，在此基礎(chǔ)上，才能夠?qū)?fù)雜圖形快速識別、剝離，化歸成基本圖形進(jìn)行研究，形成解決問題的一般策略.

例2 圖3的幾何圖形可以由哪些基本圖形構(gòu)成？

解 該幾何體可以分解成六棱錐和六棱柱.

當(dāng)將復(fù)雜的立體圖形分解成一些簡單熟悉的圖形，比如這里的六棱錐和六棱柱，就可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.

二、會看圖——強(qiáng)化基本概念的認(rèn)知，提升空間想象能力

看圖，實現(xiàn)對立體圖形信息的提取，是分析圖形的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)的本質(zhì)是弄清概念，立體幾何的學(xué)習(xí)也不例外.立體圖形的特征是通過概念來表達(dá)，我們只有對點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系等相關(guān)概念的認(rèn)知，才能在頭腦中勾畫幾何圖形，層層分解，形成策略，從而固化對圖形表征概念的認(rèn)知.以“四棱柱”為例：

（1）四棱柱的每個側(cè)面都是平行四邊形;

（2）直四棱柱的每個側(cè)面都是矩形;

（3）底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱;

（4）對角面是矩形的四棱柱是直四棱柱;

（5）正四棱柱的八個頂點(diǎn)在一個球面上;

（6）四棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形;

（7）四棱柱的兩個底面和平行于底面的截面是全等的四邊形;

（8）過四棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形;

（9）直四棱柱的側(cè)棱長與高相等;

（IO）正方體是側(cè)面為正方形的正四棱柱;

（11）四棱柱的側(cè)棱與底面所成角都相等.

通過上述系列問題的辨析，我們對四棱柱概念的內(nèi)涵和外延的認(rèn)知會更深刻，圖形的識別能力白然增強(qiáng).我們還要用聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)對圖形進(jìn)行識別，四棱柱與平行四邊形、矩形和正方形進(jìn)行比較，把對四棱柱的認(rèn)知納入到原有的四邊形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，讓知識網(wǎng)絡(luò)化.

三、會析圖——強(qiáng)化圖形變換和化歸意識，提升圖形的處理能力

析圖，在圖形基本概念信息提取的基礎(chǔ)上，學(xué)會對圖形進(jìn)行變換、化歸處理，深刻理解圖形，提升空間認(rèn)知能力，復(fù)雜的幾何圖形往往可以通過拼接、折疊、割補(bǔ)、展開等方式化歸成基本圖形，臺補(bǔ)成錐，錐割成臺;錐補(bǔ)成柱，柱割成錐;側(cè)面展開成平面，平面彎折成空間.補(bǔ)與割，折與展，體現(xiàn)了圖形變換的對立與統(tǒng)一.其次，復(fù)雜圖形還可以通過平移、旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造新的圖形加以研究，還可以添加輔助線，作出新截面進(jìn)行研究.復(fù)雜問題簡單化，空間問題平面化，一般問題標(biāo)準(zhǔn)化，這些都是處理立體幾何問題的基本想法.以下面幾個問題為例.

例3棱錐和棱臺如何通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)換？

解 如圖4、圖5所示.

例4 從圓臺底面點(diǎn)A繞側(cè)面一周回到過點(diǎn)A的母線中點(diǎn)處最短的路線是什么？

解 如圖6所示，把幾何體的側(cè)面展開，最短路線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離來處理.

畫圖、看圖、析圖，我們要學(xué)會看圖說話，用圖說話，學(xué)會用圖形語言表達(dá).這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的制勝法寶之一.