幾何體的展開(kāi)、折疊問(wèn)題

王懷興

解答展開(kāi)、折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫(huà)好展開(kāi)、折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清展開(kāi)、折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析、解決問(wèn)題的依據(jù).而表面展開(kāi)問(wèn)題是折疊問(wèn)題的逆向思維、逆過(guò)程，一般地，涉及多面體表面的問(wèn)題，解題時(shí)不妨將它展開(kāi)成平面圖形試一試.

一、幾何體的展開(kāi)問(wèn)題

1.有關(guān)多面體的展開(kāi)圖

例1 如圖1，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，AB =3，AA1=4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CCl到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為√29，設(shè)這條最短路線與C1C的交點(diǎn)為N.求

（l）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng);

（2） PC和NC的長(zhǎng);

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值.

2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖

例2 如圖3所示，一個(gè)圓臺(tái)的上底半徑為5，下底半徑為10，母線A1A2=20. 一只螞蟻從A1A2的中點(diǎn)M繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到下底面圓周上的點(diǎn)A2，求

（1）螞蟻爬行的最短距離;

（1）螞蟻在爬行過(guò)程中（沿最短距離爬行），螞蟻與上底面圓周上的點(diǎn)的最短距離.

規(guī)律方法 立體圖形的展開(kāi)是把一個(gè)立體圖形（或它的一部分）展開(kāi)在一個(gè)平面上，然后將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這也是解決立體幾何問(wèn)題時(shí)的常用策略：將三維空間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上來(lái)處理，

二、幾何體的折疊問(wèn)題

1.不變的垂直關(guān)系

例3 如圖5，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P，

（l）求證：PE⊥平面PDC;

（2）求二面角P-CD-E的度數(shù)，

解析 （1）從翻折的過(guò)程可以看出，AD⊥AE，EB⊥BC這兩個(gè)垂直關(guān)系是不變量，而翻折后A，B重合為P，故在立體圖中有PE⊥PD，PE ⊥ PC，問(wèn)題得解.

（2）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)PF，F(xiàn)E，在原平面圖形中，AD=BC，ED=EC，翻折后A，B重合為P，故PD—PC，可知PF⊥CD，EF ⊥CD，則∠PFE是二面角P-CDE的平面角，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，得PE—確定A，B，C，D四點(diǎn)所在的球心呢？找不變量！通過(guò)比較兩圖可以發(fā)現(xiàn)，折疊前A，B，C，D四點(diǎn)是共面的，翻折后不再共面，這是變化的量，而正方體中心0到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是不變的，即在折疊前后中始終有OA=OB=OC=OD，所以0就是翻折后A，B，C，D四點(diǎn)所在球的球心，易得該球半徑R=l，而D，B兩點(diǎn)在球中所對(duì)球心角為π/2，球面距離L=a·R=π/2.

3.不變的平行關(guān)系

例5 如圖7，已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，求證：BF∥平面ADE.

分析 要證明BF∥平面ADE，只需證明BF與平面ADE內(nèi)的一條直線平行即可，而比較翻折前后的圖形可以發(fā)現(xiàn)，BF∥ED這個(gè)平行關(guān)系是不變量，命題得證.

解 E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，則EB∥FD且EB=FD，

所以四邊形EBFD是平行四邊形，

所以BF∥ED，

所以ED 平面AED，而B(niǎo)F 平面AED，

所以BF∥平面AED.

規(guī)律方法 充分利用翻折前后圖形的性質(zhì)來(lái)尋找解題的途徑，而其中翻折前后的“不變量”往往是解題的關(guān)鍵，常見(jiàn)的不變量有“不變的垂直關(guān)系，不變的長(zhǎng)度關(guān)系，不變的平行關(guān)系”這三類，當(dāng)解題受阻時(shí)就應(yīng)該思考“哪些量是不變的”，可以說(shuō)找到了不變量就找到了解題的鑰匙！

如圖8，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

（l）證明：AC上HD';

（2）若AB=5，AC=6.AE=5/4，OD'=—2√2，求五棱錐D'-ABCFE的體積。