例談連接體的速度求解問題
——以繩、桿模型為例

(江蘇省啟東中學,江蘇 南通 226200)

在高中力學教學中，常常會出現(xiàn)連接體問題，即兩個物體通過輕繩、輕桿等進行連接，呈現(xiàn)出相互牽連的狀態(tài)。這類運動形式不同于一般的動力學連接體，運用牛頓運動定律求解比較復雜，甚至無法求解，大多數(shù)情況下可以對連接體的運動效果進行分解，或者從功能角度進行求解，數(shù)理基礎較強的學生還可以嘗試采用微元法進行處理。這類問題的解題關鍵就是準確找出兩物體間的速度牽連關系，從整體與微元兩方面尋找問題隱含的數(shù)量關系。

1 運動效果分解法

例1：如圖1所示，小車A與物體B通過輕繩連接，繩子穿過一定滑輪。若小車的運動狀態(tài)為向左做勻速運動，其運動速度為v0。當小車運動到繩子和水平面成θ角時，物體B上升的速度為多少(忽略滑輪與輕繩之間的摩擦阻力)？

圖1

圖2

在解決運動的合成與分解問題時，最重要的步驟就是準確地判斷問題對象的合運動，分析清楚運動狀態(tài)所表達的實際意義，然后借助運動分解等常規(guī)的力學方法進行計算。在該系統(tǒng)中，小車A向左運動的方向就是系統(tǒng)合運動的速度方向，這一合速度產生了兩個運動效果：第一個效果就是使得物塊B向上抬升，第二個效果就是使得繩子繞定滑輪順時針方向擺動。

因此，將小車的速度v0分解為沿繩子方向的速度v1與垂直于繩子方向速度的v2(如圖2)，結合平行四邊形定則可知：物體B的上升速度v1=v0cosθ。

2 微元法

圖3

微元法是一種數(shù)學方法，在物體的運動過程中，這種方法能揭示“運動效果分解”的本質，在物理中的運用常與三角函數(shù)結合，是一種常用的解題方法。

3 功能關系法

例2：如圖4所示，小車A與小車B通過輕繩連接，小車A的運行速度vA是5m/s，當A端的繩子與水平面成30°，B端的繩子與水平面成60°，試求小車B的運行速度vB。

圖4

功能方法實際上是從功能角度對“運動效果分解法”的解讀，在具體的問題情境中常常與功能關系、動能定理等聯(lián)系起來。

4 相對運動法

例3：如圖5所示，輕桿被豎直固定，上端固定一質量為m的小球，下端與質量為M的斜面相接觸，接觸點為A，斜面傾角為θ。當桿從A滑行距離L后到達B點，不計摩擦阻力，求這時斜面的速度。

圖5

圖6

在連接體運動速度的求解問題中，往往存在相對的運動特征，因此借助相對運動法以及運動分解、三角函數(shù)等基本的數(shù)理方法，能夠在相關的速度之間建立等式關系，那么系統(tǒng)內部各主體的運動速度就能夠求解出來了。

5 速度投影方法

5.1 原理介紹

在同一時刻，做平面運動的剛體上任意兩點速度在兩點連線上的投影相等。

證明：假設A、B是剛體上的任意兩點，A點速度為vA，B點速度為vB(如圖7)。結合剛體性質可知：剛體上質元間距離不變，這就說明質元A、B沿兩點連線方向的速度分量大小相等，即滿足：v1=v2。

圖7

5.2 例題與求解

例4：如圖8所示，A、B為兩根長度相等的剛性細桿，長度為L，兩細桿一端共同與質量為m的球形鉸鏈相連接，A桿另一端與質量為m的小球相接，B桿另一端與質量為2m的小球相接。將兩桿靠攏，受到輕微觸動后兩球向兩側滑動，系統(tǒng)始終保持位于豎直平面內。不計桿的質量以及系統(tǒng)摩擦阻力，試求當兩桿夾角為直角時A桿上球的運動速度。

圖8

假設A桿小球速度為v1，B桿小球速度為v2，鉸鏈的水平速度為u1，豎直速度為u2。易知：系統(tǒng)水平方向動量守恒，因此：mv1+mu1=2mv2。同時，系統(tǒng)滿足機械能守恒，那么：

在解決連桿問題時，如果題目中明確給出為“硬性桿”“剛性桿”等條件時，需要利用速度投影定理，建立速度之間的等量關系，再結合題目的受力、功能關系等尋找其他的數(shù)量關系，最終求解出題目需要的速度值。

6 結語

本文結合具體例題，簡介了實際教學過程中解決連接體問題的5種常用方法，基本涵蓋了繩、桿牽連物體的速度求解問題。教師在教學過程中需要引導學生多角度地思考與分析問題，避免所有問題一律采用“受力分析——合成分解”這一常規(guī)方法，提高解答此類問題的準確率，培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力。