黃沙百戰(zhàn)穿金甲：淺談窮舉法

編者按：秉承“常態(tài)閱讀，深度思考，精致表達(dá)，共同發(fā)展”的理念，為推動數(shù)學(xué)寫作活動的深入開展，展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考、探究創(chuàng)新、合理表達(dá)，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟開展了第二屆“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作競賽活動，并取得圓滿成功。

這次數(shù)學(xué)寫作活動得到了多所學(xué)校的支持，其中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的作品。這些作品有的是對所讀的文章或圖書的深度思考，有的是對課堂內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的拓展和應(yīng)用，有的是自己做一道題或一類題的感悟，有的是在使用數(shù)學(xué)工具的過程中的大發(fā)現(xiàn)，有的是數(shù)學(xué)相聲、數(shù)學(xué)詩歌……真是讓人大開眼界，以下?lián)袢∑渲械囊恍┪恼屡c讀者共享。

孫子在兵法中強(qiáng)調(diào)，戰(zhàn)爭的目的是為了勝利而非殺戮的快感，同樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了更快更精準(zhǔn)地解題，而非僅僅用來炫技，有時(shí)候，解決一道難題的最佳方案，也許反而是最純粹的列舉.希望這篇文章能引起各位的注意，畢竟數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱更主要是在于分析和解決問題的能力，而非知識量的多少.

例 一列數(shù)：1，2，3，5，8，13，…請問第1993個(gè)數(shù)被6除余幾？

這道看似是名校自主招生的題，實(shí)際上來自一本小學(xué)四年級的奧數(shù)講義書.顯然，所謂“一列數(shù)”即去掉首項(xiàng)1的斐波那契數(shù)列（斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…），對這樣龐大的數(shù)字求解，其背后一定有規(guī)律存在，于是我隨手便列舉了7位：

隨著數(shù)列的展開，具體數(shù)值將滾雪球般越來越大，這時(shí)依然靠它求被6除的余數(shù)顯然不夠理智，觀察可以發(fā)現(xiàn)，最右邊由被6除余數(shù)組成的新數(shù)列之間，也存在著類似斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，簡單證明一下：

山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村.如表3所示，亂序的數(shù)字在第24位出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，即第24位不僅回到了第1位的數(shù)值1，其前一位為0，那么第25位為1、第26位為2、……分別對應(yīng)第1、2……位.所以說，這個(gè)“一列數(shù)”呈現(xiàn)出以24為周期的循環(huán).這時(shí)經(jīng)簡單運(yùn)算，答案為1.

為了保險(xiǎn)起見，我又在網(wǎng)上找到了原題與詳解，答案正確并且窮舉為目前我能查到的唯一方法，解析最后一句“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，仿佛是對我默默窮舉，耐心求解的一種稱贊.

我上傳答案后，仍有人不死心，誓要熬夜思考其他方法……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話，可能與文題不太吻合：“有時(shí)我們走得太遠(yuǎn)，以至于忘了為何出發(fā).”

解完了這道工程量頗為浩大的題，我總結(jié)歸納了一下，得到有關(guān)窮舉法的幾個(gè)要點(diǎn)：

①題干中出現(xiàn)幾百幾千這樣極大的數(shù)據(jù)時(shí)，往往會有規(guī)律可循，可先通過窮舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再進(jìn)行代數(shù)證明;

②在窮舉過程中，盡量避免計(jì)算過于龐大的數(shù)據(jù)，而是在數(shù)值比較小的數(shù)據(jù)中找規(guī)律.這需要在解題過程中隨時(shí)化繁為簡;

③面對較難的，求具體數(shù)值、最值的相關(guān)問題時(shí)，窮舉往往是最先與最后要考慮的方法，先小規(guī)律地列表，未果后考慮其他思路，若依舊毫無成效，則可放大窮舉的范圍，對填空題而言，這種相對客觀的解題策略與方法既省時(shí)又高效;

④窮舉并非單純的全部列舉，在適當(dāng)?shù)臈l件下結(jié)合兩分法等，在對過程的分析中可以跳過一些無意義的列舉，抓住性質(zhì)縮小范圍，尋找列舉中的“轉(zhuǎn)機(jī)”.

那么，讓我們回到高中數(shù)學(xué)中來，嘗試解答這道2018年高考江蘇卷的填空壓軸題：

得到答案為27，對于計(jì)算能力可觀的學(xué)生來講，窮舉似乎比需要討論的函數(shù)法更加迅猛，雖然不少行為更多是出于“下意識”，但在并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過程結(jié)束后可以再回頭思考原理，萬變不離其宗，就算沒能直接算出結(jié)果，列舉的過程中想必也能幫助考生更準(zhǔn)確地把握函數(shù)表達(dá)式.

沒有花哨的公式，思考加上5次基本運(yùn)算，一道高考壓軸題和小學(xué)生的思考題一樣煙消云散.下一次遇到符號字母們解決不了的問題，不要太狂躁，不如先列幾個(gè)數(shù)看看，回到原點(diǎn)，萬一那就是終點(diǎn)呢？

老師點(diǎn)評：孫毅堅(jiān)同學(xué)愛好學(xué)習(xí)，善于思考，而且有堅(jiān)韌的毅力.對于窮舉法，許多孩子是沒有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗(yàn)學(xué)生的意志力與科學(xué)精神”，學(xué)生的意志力與科學(xué)精神是可以通過考試的形式得到考查的.四年級的奧數(shù)題對于一個(gè)高中生來說應(yīng)該是不算太難.但是方法的選擇顯得很重要，本題如果不用枚舉法去解，則要費(fèi)時(shí)費(fèi)力得多，2018年江蘇高考題也是這個(gè)道理.枚舉法是最基本且重要的方法，學(xué)生要有耐心去嘗試.當(dāng)然并不是要求沒有目的地做，而是要求學(xué)生能夠邊做，邊觀察，邊思考，這樣才能找出規(guī)律，從而使問題得到解決.久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就能夠得到培養(yǎng).