正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計

馬寧

摘要：本文分析正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的畫法的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生在畫正余弦函數(shù)圖象的過程中體會數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，以及類比的數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)? ?正弦函數(shù)? ?余弦函數(shù)? ?圖象教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能用單位圓中的三角正弦線作出的圖象，知道它的圖象;

2.能根據(jù)關(guān)系，作出的圖象;

3.會用“五點法”作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖;

4.畫正余弦函數(shù)圖象的過程中，體會數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，以及，類比的學(xué)習(xí)方法.

（二）重難點

重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的畫法.

難點：單位圓中的正弦線轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點的縱坐標(biāo)的形與數(shù)的轉(zhuǎn)換.

二、教學(xué)過程：

（一）情境引入

師：大家是否還記得今年六月份，上合峰會在青島舉行，朋友圈被燈光秀刷屏。短短幾分鐘表演，看的人熱血沸騰、滿滿的自豪感。我們再來重溫一下當(dāng)時的盛況：（視頻展示）

這段視頻真正展現(xiàn)了世界水準(zhǔn)、中國氣派、山東風(fēng)格、青島特色。由此可見，形象的、直觀的影像是最具表現(xiàn)力，最打動人心，最令人難忘的。我們研究數(shù)學(xué)問題也是如此，往往從生活中熟悉的問題入手，遵循由易到難，由簡到繁，由直觀到抽象，由外在到本質(zhì)的原則.

設(shè)計意圖：既滲透德育了教育，增強愛國熱情和民族自豪感，又說明形象的直觀的影像最具表現(xiàn)力，最打動人心，最令人難忘，從而引出我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)函數(shù)從圖象入手，以及研究函數(shù)圖象的必要性.

下面我們再看看生活中還有哪些與數(shù)學(xué)有關(guān)的場景。（視頻展示青島海邊波濤洶涌）.

師：這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)一種波浪型曲線——正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

（教師板書：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象）.

設(shè)計意圖：從家鄉(xiāng)的風(fēng)景入手，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并對正余弦曲線有了直觀的認(rèn)識.

師：我們已經(jīng)知道，當(dāng)角的概念推廣到弧度制后，實數(shù)與角度就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。所以，對于任意的實數(shù)x，有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應(yīng).由這個法則所確定的函數(shù)y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）.定義域為R.

課前讓大家搜集了資料，生活中還有哪些圖形與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)？

學(xué)生展示簡諧振動實驗.

設(shè)計意圖：從學(xué)習(xí)生活中的例子直觀感受正余弦曲線.

師：這只是正弦函數(shù)直觀的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)上的正弦函數(shù)圖象怎么畫呢？類比必修一學(xué)過的指對冪函數(shù)圖象的畫法，你能怎么畫？

生：列表、描點、連線。（投影展示）

師：好！下面我們就嘗試用列表、描點、連線的方法畫正弦函數(shù)的圖像.

設(shè)計意圖：類比必修一研究函數(shù)的方法，掌握學(xué)習(xí)方法的遷移.

（二）講授新課：

1.利用單位圓中的正弦線作函數(shù)的圖象

教師引導(dǎo)學(xué)生探究總結(jié)描點法的缺陷：當(dāng)自變量x任意取值時，對應(yīng)的y值大部分都是取得近似值，在坐標(biāo)系中難以精確表示。另外由于作圖會出現(xiàn)誤差，取點時也不容易取得點的精確位置.

師：（繼續(xù)引導(dǎo)）怎樣才能做出盡可能精確的正弦函數(shù)y=sinx的圖象？

學(xué)生討論，難以找出很好的辦法.

師：要想把正弦函數(shù)的圖像盡可能精確的畫出來，關(guān)鍵是點（x， sinx）能精確的表述出來，所以在列表時要把點的縱坐標(biāo)精確地表示出來.由于所要描出的點的縱坐標(biāo)實質(zhì)都是x所對應(yīng)的正弦值，所以我們只要把x所對應(yīng)的正弦值在坐標(biāo)系中精確表示出來即可.經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，三角函數(shù)線可以非常直觀的精確表示三角函數(shù)值的大小.所以，大家考慮：能否用正弦線來表示（x， sinx）中的縱坐標(biāo)？

設(shè)計意圖：應(yīng)用前置知識，從感性到理性，從形到數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生以形代數(shù).設(shè)計自然合理.

師：如何在單位院中做出任意角x的正弦線？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧正弦線的做法，讓一位學(xué)生到講臺上做出單位圓中的正弦線，然后讓此名學(xué)生在坐標(biāo)系中表示出比較特殊的點

設(shè)計意圖：這樣可以分散難點，只要解決一個點的坐標(biāo)，其他以此類推

教師通過幾何畫板演示如何利用正弦線的平行移動作正弦函數(shù)的圖象，先演示12等分的，再演示任意取點的，邊演示，邊講解，進一步提問學(xué)生，讓學(xué)生體會離散到連續(xù)、特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.

師：剛才，我們在幾何畫板上利用正弦線的平行移動描出了畫正弦函數(shù)的圖像所需要的點，也是描點法.不同的是，我們沒有在列表時給出精確的縱坐標(biāo)值，而是利用正弦線這種我們可以感性認(rèn)識到的具形的線段刻畫了點的縱坐標(biāo)值，使得描出來的點比較精確，從而就精確地畫出了正弦函數(shù)y= sinx在[0，2π]的圖象.

（此時，教師引導(dǎo)學(xué)生對作圖過程進行總結(jié)，教師對正弦線的平行移動進行說明，讓學(xué)生進一步體會用正弦線描點的精確性，體會數(shù)學(xué)結(jié)合的思想與方法.）

師：因為正弦函數(shù)的定義域是R，所以我們要做出y= sinx在R上的圖象。前面得到的僅僅是y= sinx在[0，2π]上的圖象.那么我們?nèi)绾胃鶕?jù)y= sinx在[0，2π]的圖象得到y(tǒng)= sinx在R上的圖象？

2.探究由函數(shù)y= sinx在[0，2π]的的圖象拓展得到函數(shù)y= sinx在R上的圖象

利用正弦線的平行移動，教師引導(dǎo)學(xué)生做出y= sinx在[2π，4π]上的圖象，讓學(xué)生觀察，比較，從而發(fā)現(xiàn)：y= sinx在[2π，4π]上的圖象和y= sinx[0，2π]上的圖象是完全相同的，都是由相同的正弦線通過平移過去得到的，因此，y= sinx在[2π，4π]上的圖象和，y= sinx在[0，2π]上的圖象在形狀上是完全一樣的，只是位置不同.所以要得到y(tǒng)= sinx在[2π，4π]上的圖象只需把y= sinx在[0，2π]上的圖象向右水平移動2π個單位.同樣的道理，用類似的方法得到y(tǒng)= sinx在[4π，6π]、[6π，8π]…上的圖象.

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，達到共識：把函數(shù)y= sinx在[0，2π]的圖象沿x軸左右水平移動，每次平移2π個單位，就可以得到y(tǒng)= sinx在R上的圖象.

教師進行多媒體演示，演示函數(shù)y= sinx在[0，2π]的的圖象經(jīng)過水平移動得到函數(shù)y= sinx在R上的圖象的圖象的過程.

師：（小結(jié)）根據(jù)函數(shù)y= sinx在[0，2π]的的圖象通過水平移動得到函數(shù)y= sinx在R上的圖象的過程，我們還可以體會到什么？

指出：上述操作的依據(jù)是誘導(dǎo)公式一：.

設(shè)計意圖：先從感性認(rèn)識入手，進行歸納總結(jié)，得到理性認(rèn)識，由形入手，以數(shù)結(jié)論.讓學(xué)生從直觀上感受[2π，4π]上的圖象的得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式一從理論的角度進行解釋，學(xué)生容易接受.如果直接利用誘導(dǎo)公式一來解釋由函數(shù)y= sinx在[0，2π]的的圖象得到函數(shù)y= sinx在R上的圖象的過程，比較抽象，學(xué)生難以理解）

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得到：要作正弦函數(shù)y= sinx在R上的圖象，先作出y= sinx在[0，2π]的圖象，然后沿把y=？sinx在[0，2π]的圖象沿x軸左右水平平移，每次平移2π個單位，就可以得到y(tǒng)= sinx在R上的圖象.

3.探究應(yīng)用“五點法”作正弦函數(shù)y= sinx的簡圖

師：請同學(xué)們觀察y= sinx在[0，2π]的圖象，圖像的形狀在哪幾個點處發(fā)生著比較大的變化？

教師引導(dǎo)學(xué)生找出確定函數(shù)y= sinx在[0，2π]的圖象的幾個關(guān)鍵點，進一步解釋為什么是這幾個點，各有著什么樣的作用，讓學(xué)生用心體會，并結(jié)合函數(shù)的圖像的頂點的作用讓學(xué)生進一步體會.

師：我們在畫的圖像時，只要確定頂點的坐標(biāo)，就能畫出函數(shù)的大致形狀.那么，對于正弦函數(shù)y= sinx，我們要用它的圖像時是否必須每次都要應(yīng)用正線顯得平行移動來解決呢？這樣是不是太麻煩了？有沒有更為簡潔的辦法，既方便，又能做出函數(shù)y= sinx的大致圖像呢？

學(xué)生陷入思考.

師：（進一步提出問題：）在精確度要求不太高時，如何作正弦函數(shù)的大致圖象呢？

學(xué)生經(jīng)過觀察、比較，進行思考，并結(jié)合剛才所找出的五個關(guān)鍵點，發(fā)現(xiàn)：確定圖象的形狀有五個起著關(guān)鍵作用的點：圖象的最高點，最低點以及與圖象x軸的交點，只要描出這五個點，就能確定y= sinx的大致圖像.

教師進一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：在精確度要求不太高時，要作y= sinx的大致圖象，只需先描出五個關(guān)鍵點，再用光滑的曲線把它們連接起來.這種作圖的方法稱為“五點法”！

師：這五個點的橫坐標(biāo)取值有什么規(guī)律？

生：每個點的橫坐標(biāo)的取值是有規(guī)律的——每個間隔個個單位.

師：同學(xué)們練習(xí)用這五個點畫出y= sinx在在[0，2π]的圖象;然后再用五點法做出y= sinx在在[2π，4π]的圖象，再用五點法做出y= sinx在在[-2π，0]的圖象.

設(shè)計意圖：由特殊到特殊，最后再由特殊到一般，由學(xué)生總結(jié)出一般方法.

4.探究由正弦函數(shù)y= sinx的圖象得到余弦函數(shù)y= cosx的圖象

師：我們可以通過正弦線的水平移動得到y(tǒng)= sinx的精確的圖象，也可以應(yīng)用五點法做出y= sinx的圖象.那么，我們能否應(yīng)用類似的方法做出余弦函數(shù)y= cosx的精確的圖像以及大致的圖像？

生：既然能把正弦線平移得到y(tǒng)= sinx的精確的圖象，那么也可以用余弦線平移得到y(tǒng)= cosx的精確的圖像.

師：是嗎？請同學(xué)們試一試.

教師巡視，很快發(fā)現(xiàn)學(xué)生陷入了苦惱之中，無法用余弦線表示縱坐標(biāo)的值！

師：同學(xué)們，你們的困惑在哪里？

生：正弦線是水平的線段，平移過來沒法表示縱坐標(biāo)！

師：那如果我們把余弦線在對應(yīng)的點（x，cosx）的橫坐標(biāo)x處立起來呢？也就是讓余弦線垂直于x軸？這樣能否表示點的縱坐標(biāo)呢？

學(xué)生恍然大悟，但是又陷入新的苦惱：為什么非要立起來呢？

師：這里我給大家留兩個課后作業(yè)：一是用剛才的方法畫出余弦函數(shù)y= cosx的圖象，二是思考為什么能把余弦線立起來.

然后教師繼續(xù)并提出問題：能不能直接應(yīng)用正弦函數(shù)y= sinx的圖象作出余弦函數(shù)y= cosx的圖象呢？

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：正弦sinx與余弦cosx可以利用什么公式建立起聯(lián)系？

生：，！

師：那么我們可否選擇上述公式，利用正弦函數(shù)y= sinx的圖象作出余弦函數(shù)y= cosx的圖象？應(yīng)用那一個公式呢？

學(xué)生經(jīng)過思考，恍然大悟：應(yīng)用這個公式，把y= sinx的圖象水平移動就可以得到y(tǒng)= cosx的圖象！

師：怎么平移？向哪個方向水平移動？

生：向左水平移動個單位！

師：請同學(xué)們動手操作驗證你的猜想！

學(xué)生通過操作，發(fā)現(xiàn)自己的猜想非常正確，歡欣雀躍！

師：請同學(xué)們進一步思考：我們選擇行不行？如果選擇這個公式的話，y= sinx的圖象怎么變化才能得到y(tǒng)= cosx的圖象？

學(xué)生討論探究，發(fā)現(xiàn)：應(yīng)用公式也可以，不過需要把y= sinx的圖象先做一個關(guān)于x軸的變換再進行水平移動才行，操作非常麻煩.所以還是應(yīng)用把y= sinx的圖象水平移動就得到y(tǒng)= cosx的圖象的方法最好.

設(shè)計意圖：通過探究，讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)解析式之間的隱含關(guān)系思考函數(shù)圖象之間的關(guān)系，進而學(xué)習(xí)通過圖象變換畫余弦函數(shù)圖象的方法，向?qū)W生滲透化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

5.探究用“五點法”作余弦函數(shù)y= cosx的簡圖

師：觀察余弦函數(shù)y= cosx的圖象，類比正弦函數(shù)y= sinx的圖象，思考：確定余弦函數(shù)的圖像形狀的關(guān)鍵點是什么？我們能否應(yīng)用類似的方法做出余弦函數(shù)y= cosx的大致圖象？.

學(xué)生經(jīng)過思考討論，得到確定的結(jié)果：能！

師：那么，余弦函數(shù)y= cosx的圖象的五個關(guān)鍵點是什么？

學(xué)生迅速找出五個關(guān)鍵點.

師：（總結(jié)）在精確度要求不太高時，先描出余弦函數(shù)y= cosx的圖象的五個關(guān)鍵點，再用光滑的曲線將它們順次連結(jié)起來，就得到余弦函數(shù)y=cosx的大致圖象.這種作圖法叫做“五點（畫圖）法”.

教師指出：五點法是我們今后學(xué)習(xí)常用的方法.

以下是我們用“五點法”來演示出與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相關(guān)的函數(shù)圖象

6.典例講解

示例（1）用“五點法”作函數(shù)上的簡圖;

（2）用“五點法”作函數(shù)上的簡圖.

（對于（1），教師重點、詳細(xì)講解，并多媒體演示過程，對于（2），則由學(xué)生練習(xí)，獨立完成.

教師個別指導(dǎo)，學(xué)生列表，描點，師點評，并及時糾正學(xué)生作圖過程中存在的問題.

師：（進一步提出思考，引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度探究圖象間的關(guān)系）你能否從函數(shù)圖象變換的角度出發(fā)，利用的圖象，得到的圖象？同樣的，如何利用的圖象，得到的圖象？

設(shè)計意圖：教師多媒體演示，學(xué)生觀察圖象間的關(guān)系.在課堂教學(xué)中，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，注重學(xué)生與教師相互交流、共同參與，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、探究，讓學(xué)生感受和體驗數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.

（三）總結(jié)提升：

師：對照學(xué)習(xí)目標(biāo)，自查效果達成情況.

結(jié)束語：轉(zhuǎn)化思想可以實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，是我們探求未知世界的常用方法.而關(guān)于數(shù)形結(jié)合，華羅庚老先生有一段感觸，其中最為精辟的是：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.大家只有掌握好數(shù)學(xué)思想方法，才會融會貫通，處理起問題來也就更加的得心應(yīng)手、游刃有余.相信大家會越來越好，越飛越高，成為最好的自己.

三、課后反思：

比較成功的地方：

（一）本節(jié)課充分利用信息技術(shù)和多媒體融合，將抽象的數(shù)學(xué)知識及物理實驗通過動態(tài)的展示，分解難點，更易于學(xué)生接收.從上合峰會燈光秀導(dǎo)入，既充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，增強愛國熱情和民族自豪感，又說明形象的直觀的影像最具表現(xiàn)力，最打動人心，最令人難忘，從而引出我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)函數(shù)從圖象入手，以及研究函數(shù)圖象的必要性，令人耳目一新.

（二）通過學(xué)生列舉生活中各種波的例子以及物理上簡諧振動的實驗，給出正余弦曲線的直觀體現(xiàn)，充分說明數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活 ，體現(xiàn)學(xué)有用的數(shù)學(xué)的理念.

（三）教學(xué)中圖象的展現(xiàn)過程，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，每一步都有據(jù)可查，有理可循，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式.

（四）教學(xué)中能充分發(fā)揮學(xué)生主體地位，讓學(xué)生大膽說，大膽做，暴露學(xué)生思維，并通過問題驅(qū)動啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，使得思維更嚴(yán)密，思路更清晰。通過問題串的鋪設(shè)，層層遞進，在不知不覺中解決了問題，分散了難點.

（五）教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)思想方法與類比學(xué)習(xí)方法，教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法的遷移，有利于提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)，為學(xué)生持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

（六）本堂課緊扣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師充分發(fā)揮了引導(dǎo)者的作用，讓鮮活的數(shù)學(xué)思想在課堂中自然流淌，而不是生硬地把學(xué)生拽到預(yù)設(shè)的軌道上來.所謂“道法自然、教法泰然.”

（七）本節(jié)課利用幾何畫板展示了知識的形成過程，把數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的淋漓盡致.遵照“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證”的學(xué)習(xí)方式，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的理解，提高學(xué)習(xí)的主動性和積極性，最終提高了教與學(xué)的雙重效率.

（八）整堂課處處滲透德育教育，讓學(xué)生為自己是中國人、是青島人而感到自豪。最后，用著名數(shù)學(xué)家華羅庚的一段話，激勵學(xué)生們越來越好、越飛越高，成為最好的自己。

（作者單位：青島實驗高中）