一種改進(jìn)重采樣的粒子濾波盲分離算法

林曉夢(mèng)，高 勇

(四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，成都 610065)

0 引 言

近年來，隨著通信與電子技術(shù)的發(fā)展，盲信號(hào)處理技術(shù)[1]在軍事抗干擾、移動(dòng)通信、無(wú)線電測(cè)向定位、生物醫(yī)療、目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。通信混合信號(hào)的盲分離[2]是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來的一種面向非高斯信號(hào)處理的新興數(shù)據(jù)處理方法。它的基本思想是在缺乏信道和信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性等先驗(yàn)知識(shí)的情況下，僅通過觀測(cè)到的信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)。

粒子濾波和逐幸存路徑處理[3]是目前盲分離的2大主流算法，諸多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。20世紀(jì)50年代，Hammersley等[4]提出的序貫重要性采樣思想是粒子濾波算法的由來。隨后，Doucet和Godsill從理論上證明了粒子濾波算法出現(xiàn)粒子退化的必然性。1993年，Gordon等[5]提出在遞推過程中重新抽樣，可有效避免粒子退化，奠定了粒子濾波算法的基礎(chǔ)。2006年，Liu和Li等[6]建立了混合信號(hào)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，正式將粒子濾波算法應(yīng)用到同頻混合信號(hào)的單通道盲分離中。2016年，劉沛和邵懷宗[7]提出粒子篩選改進(jìn)算法，降低了算法計(jì)算量，但該算法需將估計(jì)出的信道參數(shù)作為已知變量來展開符號(hào)估計(jì)。為提高盲分離的抗干擾能力，2014年，王嬌等[8]提出小波分解結(jié)合獨(dú)立分量分析的單通道盲分離抗干擾方法，降低了噪聲對(duì)系統(tǒng)性能的影響并有效減少了計(jì)算量。2015年，朱行濤等[9]提出基于跳頻信號(hào)短時(shí)平穩(wěn)的二階特征窗盲分離抗干擾方法，但該方法包括分離和提取兩部分，計(jì)算較復(fù)雜。針對(duì)粒子退化問題，學(xué)者們提出了隨機(jī)重采樣、殘差重采樣、系統(tǒng)重采樣和分層重采樣等幾種經(jīng)典重采樣算法。2011年，代芳等[10]對(duì)上述幾種重采樣的粒子濾波算法進(jìn)行了仿真分析。2012年，李科和徐克虎[11]提出了聚類核函數(shù)平滑采樣的粒子濾波，基本解決了粒子退化問題且可在一定程度上保持粒子的多樣性，但是聚類的個(gè)數(shù)及門限需要根據(jù)實(shí)際信噪比情況進(jìn)行設(shè)置和調(diào)整。2015年，苗少帥和周峰[12]提出通過迭代無(wú)跡Kalman濾波融入最新觀測(cè)信息，生成粒子濾波的重要性密度分布，從而提高采樣質(zhì)量，但實(shí)時(shí)性不高。

分析幾種經(jīng)典重采樣算法可知，隨機(jī)重采樣算法最簡(jiǎn)單直接，且基本解決了粒子退化問題，其基本思想是每一步都從[0,1]按均勻分布產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)值與累加權(quán)比對(duì)，由此，找出權(quán)重較大的粒子復(fù)制到新粒子集中。但是該方法每次找出的僅是局部權(quán)重較大而不一定是全局權(quán)重最大的粒子。針對(duì)這一問題，本文提出一種新的改進(jìn)的重采樣算法。假設(shè)粒子濾波算法中粒子個(gè)數(shù)為N個(gè)，迭代一定次數(shù)后粒子退化，進(jìn)行重采樣。首先找出權(quán)重最大的粒子，將該粒子復(fù)制到新的粒子集中(復(fù)制次數(shù)由該粒子權(quán)重占總權(quán)重的比例決定)，接著按照殘差重采樣思想將該粒子的權(quán)重更新為“剩余權(quán)重”，以上步驟重復(fù)次數(shù)根據(jù)粒子退化程度確定，然后將N個(gè)粒子權(quán)重歸一化，再用傳統(tǒng)的隨機(jī)重采樣算法復(fù)制少量粒子，補(bǔ)齊N個(gè)，完成重采樣。文章第3節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)論證了在運(yùn)用粒子濾波算法進(jìn)行盲分離時(shí)，所提改進(jìn)重采樣算法在近似計(jì)算復(fù)雜度下誤碼性能優(yōu)于隨機(jī)重采樣算法約1 dB。

1 粒子濾波算法的基本原理

1.1 粒子濾波原理

粒子濾波(particle filter, PF)方法又稱序列蒙特卡羅(sequential Monte Carlo, SMC)方法，它提供了一種在非高斯、非線性模型下計(jì)算未知變量的后驗(yàn)概率分布的有效途徑?；舅枷胧菍?duì)未知變量的后驗(yàn)概率分布進(jìn)行蒙特卡羅采樣，調(diào)整每個(gè)采樣點(diǎn)的權(quán)重，逼近最終的概率分布函數(shù)[4]。每個(gè)采樣點(diǎn)稱為一個(gè)粒子，當(dāng)粒子數(shù)足夠多時(shí)能逼近任意復(fù)雜的概率分布函數(shù)，粒子濾波的估計(jì)就達(dá)到了最優(yōu)貝葉斯估計(jì)的效果，但是粒子數(shù)的增多也帶來了對(duì)應(yīng)著計(jì)算量的大幅增加，因此，在實(shí)際計(jì)算中粒子數(shù)的選取需根據(jù)具體情況綜合考慮。

將待要估計(jì)的未知變量(又稱狀態(tài))記為xk，初始分布為p(x0)，觀測(cè)數(shù)據(jù)為yk，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為p(xk|xk-1),k≥1，邊緣概率為p(yk|xk),k≥1，用x0:k={x0,…,xk}表示從時(shí)刻0到時(shí)刻k的狀態(tài)，y1:k={y1,…,yk}表示從時(shí)刻1到時(shí)刻k的觀測(cè)數(shù)據(jù)。那么，粒子濾波算法的目標(biāo)就是實(shí)時(shí)遞歸地估計(jì)未知變量xk的后驗(yàn)概率分布p(x0:k|y1:k)、相關(guān)統(tǒng)計(jì)特性以及未知變量函數(shù)fk(x0:k)的期望I(fk)。

1.2 粒子濾波算法

根據(jù)要待估計(jì)的未知變量xk(又稱狀態(tài))和觀測(cè)數(shù)據(jù)yk建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程為

(1)

(1)式中，vk和nk分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移噪聲和觀測(cè)噪聲。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率p(xk|xk-1)和邊緣概率p(yk|xk)可分別通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程得到。

若已知狀態(tài)的初始概率密度函數(shù)為p(x0|y0)=p(x0)，則目標(biāo)的后驗(yàn)概率密度p(xk|y1:k)可通過2步遞推得到

(2)

(3)

(2)式為預(yù)測(cè)公式；(3)式為更新公式。

(4)

(4)式中，q()是重要性函數(shù)，特別地，當(dāng)重要性函數(shù)為先驗(yàn)分布時(shí)，有

(5)

(6)

那么，k時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度可表示為

(7)

(7)式中，δ()為狄拉克函數(shù)。

2 粒子退化重采樣

重采樣算法是降低粒子多樣性匱乏的一種有效方法，其基本思想是對(duì)由粒子和相應(yīng)權(quán)重表示的概率密度函數(shù)進(jìn)行重新采樣，增加權(quán)重較大的粒子數(shù)，同時(shí)減小權(quán)重較小的粒子數(shù)。

為衡量粒子匱乏程度，定義“有效粒子數(shù)”Neff為

(8)

(9)

2.1 隨機(jī)重采樣

隨機(jī)重采樣是目前最常用的重采樣算法之一，因其最簡(jiǎn)單直接，且基本解決了粒子退化問題。隨機(jī)重采樣的步驟如下[8]。

首先定義累加權(quán)λi為

(10)

2.2 改進(jìn)的重采樣

(11)

(12)

2.3 基于改進(jìn)重采樣的粒子濾波盲分離

粒子濾波盲分離的基本思想是將待估計(jì)的2路同頻混合信號(hào)的符號(hào)序列和時(shí)延、頻率、幅度、相位等調(diào)制參數(shù)作為狀態(tài)變量進(jìn)行建模，用粒子濾波算法估計(jì)出這些變量的后驗(yàn)概率分布，則符號(hào)序列后驗(yàn)概率分布的期望就是最終的分離結(jié)果。

考慮對(duì)同符號(hào)速率且同調(diào)制方式的2路信號(hào)構(gòu)成的混合信號(hào)進(jìn)行分離，首先將待估計(jì)信號(hào)的符號(hào)序列和調(diào)制參數(shù)作為狀態(tài)變量建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，狀態(tài)方程為

(13)

(13)式中，

(14)

(14)式為L(zhǎng)×L移位矩陣，L=L1+L2為信道串?dāng)_有效階數(shù)，L1，L2分別為2路信號(hào)的串?dāng)_長(zhǎng)度，Φk=[fk-L1+1,…,fk+L2]為符號(hào)對(duì)向量，φk=(a1,k,a2,k)為k時(shí)刻符號(hào)對(duì)，dk=[0,…,0,fk+L2]為包含最新到達(dá)符號(hào)對(duì)φk+L2的更新向量，Θk={h1,k,h2,k,τ1,k,τ2,k,Δω1,k,Δω2,k,θ1,θ2}為信號(hào)參數(shù)集，uk為參數(shù)擾動(dòng)，Θk=f(Θk-1,uk)為當(dāng)前時(shí)刻參數(shù)。

(15)

(15)式中，Φ和Θ相互獨(dú)立，可推導(dǎo)出粒子權(quán)重更新公式為

(16)

(17)

(18)

(17)式為參數(shù)Θ的最小均方誤差估計(jì)值，(18)式為符號(hào)序列Φk-D的最大后驗(yàn)概率估計(jì)值。

綜合上述，基于改進(jìn)重采樣的粒子濾波盲分離算法步驟可歸納如下。

步驟4符號(hào)估計(jì)：根據(jù) (18) 式進(jìn)行符號(hào)估計(jì)，若符號(hào)序列未估計(jì)完，令k=k+1，回到步驟1繼續(xù)迭代，直至估計(jì)出全部符號(hào)序列。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

考慮2路相同符號(hào)速率下的二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying，BPSK)調(diào)制信號(hào)的混合信號(hào)，實(shí)驗(yàn)對(duì)基于改進(jìn)重采樣和隨機(jī)重采樣的粒子濾波盲分離分別進(jìn)行了仿真，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。仿真參數(shù)設(shè)置如下(以下所有參數(shù)下標(biāo)1，2分別表示2路信號(hào))：采用根升余弦成形濾波器，滾降系數(shù)0.35，噪聲為高斯噪聲，信號(hào)幅度h1,k=h2,k=1，頻偏Δw1=Δw2=0，相偏θ1=π/4，θ2=π/16，固定時(shí)延τ1,k=0.55T(T為符號(hào)周期)，τ2,k=0.1T，2倍采樣。分離時(shí)取L1=L2=2，故L=L1+L2=4，(L是等效濾波器的總響應(yīng)持續(xù)時(shí)間)，粒子濾波平滑長(zhǎng)度D=2，粒子數(shù)N=200，有效粒子數(shù)閾值Nth=0.75N(取ε=0.75)，符號(hào)數(shù)M=3 000。

混合信號(hào)信噪比為8 dB時(shí)，分別采用改進(jìn)重采樣和隨機(jī)重采樣粒子濾波算法進(jìn)行盲分離仿真，各調(diào)制參數(shù)(幅度、相位、時(shí)延)的收斂曲線依次由圖1—圖3所示。

圖1 不同重采樣算法下的幅度估計(jì)曲線Fig.1 Amplitude estimation curves of different resampling algorithms

圖1分別給出了采用隨機(jī)重采樣和本文提出的改進(jìn)重采樣算法進(jìn)行粒子濾波盲分離時(shí)2路信號(hào)的幅度估計(jì)曲線，可以看出，2種算法均成功將2路信號(hào)分離，且均在經(jīng)過大約200個(gè)符號(hào)后收斂，對(duì)比圖1a和圖1b可見，改進(jìn)重采樣算法下的幅度估計(jì)曲線略微更接近于仿真預(yù)設(shè)幅度h1,k=h2,k=1 。

圖2 不同重采樣算法下的相位估計(jì)曲線Fig.2 Phase estimation curves of different resampling algorithms

圖3 不同重采樣算法下的時(shí)延估計(jì)曲線Fig.3 Delay estimation curves of different resampling algorithms

圖2分別給出了采用隨機(jī)重采樣和本文所提的改進(jìn)重采樣算法進(jìn)行粒子濾波盲分離時(shí)2路信號(hào)的相位估計(jì)曲線，可以看出，2種算法均成功將2路信號(hào)分離，對(duì)比圖2a和圖2b不難看出，隨機(jī)重采樣算法下估計(jì)曲線經(jīng)過大約400個(gè)符號(hào)后收斂，改進(jìn)重采樣算法下估計(jì)曲線在大約150個(gè)符號(hào)后收斂，且改進(jìn)重采樣算法下的相位估計(jì)曲線明顯更接近于仿真預(yù)設(shè)相位θ1=π/4，θ2=π/16。

圖3分別給出了采用隨機(jī)重采樣和本文提出的改進(jìn)重采樣算法進(jìn)行粒子濾波盲分離時(shí)2路信號(hào)的時(shí)延估計(jì)曲線，可以看出，2種算法均成功將2路信號(hào)分離，且均在經(jīng)過大約100個(gè)符號(hào)后收斂，對(duì)比圖3a和圖3b可以看出，2種重采樣算法下的時(shí)延估計(jì)曲線相差無(wú)幾。

根據(jù)圖1—圖3，對(duì)比2種不同重采樣算法粒子濾波盲分離中對(duì)同一參數(shù)的收斂曲線，2路信號(hào)的幅度、相位、時(shí)延均表現(xiàn)出一定的差異，說明2路信號(hào)已被成功分離，且各參數(shù)都在經(jīng)過一定符號(hào)后收斂到穩(wěn)定值。由此得出，隨機(jī)重采樣粒子濾波算法和本文提出的改進(jìn)重采樣粒子濾波算法都能有效實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的單通道盲分離，且改進(jìn)重采樣的粒子濾波算法相較隨機(jī)重采樣粒子濾波算法而言，參數(shù)估計(jì)的收斂速度略快，準(zhǔn)確性也更優(yōu)。對(duì)參數(shù)估計(jì)的收斂速度和準(zhǔn)確性均略優(yōu)于隨機(jī)重采樣粒子濾波算法。

沿用上述仿真參數(shù)，將平均誤符號(hào)率作為盲分離性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，混合信號(hào)的信噪比設(shè)置為變量，對(duì)不同信噪比條件下的混合信號(hào)分別采用改進(jìn)重采樣和隨機(jī)重采樣粒子濾波算法進(jìn)行盲分離，經(jīng)過大量仿真實(shí)驗(yàn)得到平均誤符號(hào)率性能對(duì)比曲線如圖4所示。

圖4 不同重采樣算法的粒子濾波盲分離性能對(duì)比圖Fig.4 Particle filter blind separation performance comparison chart of different resampling algorithms

由圖4可知，采用改進(jìn)后的重采樣粒子濾波算法進(jìn)行盲分離時(shí)，在計(jì)算量相差無(wú)幾的情況下較傳統(tǒng)的隨機(jī)重采樣粒子濾波盲分離誤碼性能略優(yōu)約1 dB，由此可得出，本文提出的改進(jìn)重采樣的粒子濾波盲分離算法是有效的。

為了驗(yàn)證本文所提算法的普遍性，將粒子數(shù)選取為N=300，其余參數(shù)沿用不變的條件下，重新進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到改進(jìn)重采樣和隨機(jī)重采樣粒子濾波盲分離的平均誤符號(hào)率性能對(duì)比圖如圖5。

圖5 不同重采樣算法的粒子濾波盲分離性能對(duì)比圖(N=300)Fig.5 Particle filter blind separation performance comparison chart of different resampling algorithms(N=300)

圖5是增加粒子數(shù)時(shí)得到的盲分離性能對(duì)比圖，比較圖4和圖5可知，當(dāng)粒子數(shù)增大時(shí)，2種算法的誤碼性能都有略微提升，但這是以計(jì)算量的增加為代價(jià)的，工程應(yīng)用中需根據(jù)實(shí)際情況折中考慮粒子數(shù)的選取。并且由圖5可知當(dāng)粒子數(shù)改變時(shí)，本文所提算法相比隨機(jī)重采樣算法仍有約1 dB的性能提升。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，在盲分離應(yīng)用中，本文提出的改進(jìn)重采樣粒子濾波算法較隨機(jī)重采樣粒子濾波算法性能提升了約1 dB，且該算法具有一定普遍性。

4 結(jié) 論

在單通道混合信號(hào)盲分離中，針對(duì)粒子濾波算法的粒子退化問題，本文簡(jiǎn)要介紹了粒子濾波算法的原理，提出一種改進(jìn)重采樣的粒子濾波算法。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)重采樣粒子濾波算法用于同調(diào)制混合信號(hào)盲分離時(shí)的誤碼性能相較隨機(jī)重采樣算法提高了約1 dB，且所提算法對(duì)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的收斂速度更快、準(zhǔn)確性更高。但對(duì)于粒子濾波算法的另一難題“復(fù)雜度”，本文提出的改進(jìn)重采樣粒子濾波算法計(jì)算量與隨機(jī)重采樣粒子濾波算法相當(dāng)，也就是說計(jì)算復(fù)雜度沒有大幅明顯降低，這也是今后仍需進(jìn)一步深入研究的問題。