淺談實變函數(shù)論中關于集合論的教學

黃穗

摘 要：集合論作為現(xiàn)代數(shù)學的基石，在幾乎所有數(shù)學領域都有其身影。實變函數(shù)論在本科數(shù)學專業(yè)中對集合論的研究最為詳細，尤其是對集合基數(shù)的討論是其他專業(yè)課程沒有涉及的。正是在此問題中，我們看到了集合最本質(zhì)但是又與我們直覺最相悖的性質(zhì)結果，從而凸顯出數(shù)學學科的抽象性與邏輯性。

關鍵詞：實變函數(shù);集合;基數(shù)

中圖分類號：G642.3;O174 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-04-02 文章編號：1674-120X（2019）20-0107-02

集合論作為現(xiàn)代數(shù)學的基石，已經(jīng)滲透到數(shù)學的所有領域。集合論主要研究的是集合的結構、運算及性質(zhì)。從Cantor在19 世紀七八十年代首先創(chuàng)立集合論后，經(jīng)過一百年的發(fā)展，其理論越來越完善，越來越嚴密。

一、集合論的表示

實變函數(shù)作為分析數(shù)學的一個分支，仍然研究的是函數(shù)的三大分析性質(zhì)，包括函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。在學習集合的表示中，我們會發(fā)現(xiàn)這并不是一個基本而簡單的問題。通過集合可以刻畫函數(shù)的有界性、極限的存在性、連續(xù)性。

在實變函數(shù)中，將集合的運算從有限個集合推廣到無限個集合、任意個集合，其結果發(fā)生了質(zhì)的改變。

單調(diào)遞增的閉區(qū)間列的并集變成了一個開區(qū)間，而單調(diào)遞減的開區(qū)間列的交集變成了一個開區(qū)間。類似于數(shù)列的上、下極限，集合論中引入了集合列的上、下極限，進一步定義了集合列的極限，并且得到了與單調(diào)有界數(shù)列有極限類似的結果：單調(diào)集合列有極限。

例3 ： 如果是一列單調(diào)遞增的集合列，則。而可以看作是的“上確界”，也就是包含每個集合An的最小集合。

如果是一列單調(diào)遞增的集合列，則。而可以看作是的“下確界”，也就是包含在每個集合的最大集合。

這個結論是集合測度論的重要基礎之一。

二、集合基數(shù)

在對集合性質(zhì)的研究過程中，我們必須回答其中最為根本的問題：集合元素的個數(shù)。從有限集元素的個數(shù)到無限集的基數(shù)的比較，使學生對數(shù)的認識既是一個顛覆又是一個飛躍。在關于無限集基數(shù)的討論中，會發(fā)現(xiàn)存在著與其基數(shù)相等的真子集。這種情況在有限集的情形下絕不可能發(fā)生，而這正是有限集與無限集最本質(zhì)的區(qū)別。自然數(shù)集與偶數(shù)集、奇數(shù)集的基數(shù)相同，那么意味著在偶數(shù)集中加入無限多個奇數(shù)后并沒有改變集合中元素的個數(shù)。這對學生的理解來說是一種沖擊，同時也意味著將有限數(shù)的加法推廣到無窮大的加法中，完全可能出現(xiàn)兩個相同的無窮大相加得到的仍是同一個無窮大。另外還有一個典型的例子：任何一個半圓周上的點與其直徑上的點個數(shù)一樣。而幾何知識告訴我們：兩點距離直線段最短。上例中半圓周的長度顯然大于直徑。那么綜上兩個結果，我們可以得到一個結論：曲線的長度與其上點的個數(shù)沒有必然的關系。這與我們的直覺相悖。我們的直觀感知會告訴我們：曲線的點越多，長度越長，反之亦然。

例4： 孤立點集的勒貝格測度為零。

由這個結論可知，自然數(shù)集、整數(shù)集合、有理數(shù)點集這些經(jīng)典的可數(shù)集的測度為零，那么利用勒貝格測度的可加性可得，無理數(shù)集的測度跟整個實數(shù)集的測度相同。

例5： Cantor三分集的勒貝格測度為零。

Cantor三分集是一個完備集（無孤立點的閉集），是一個不可數(shù)集。通過其經(jīng)典構造，我們可以證明這是一個不可數(shù)集，但是其測度仍然為零。

例6：? 區(qū)間[a，b]的勒貝格測度為b-a。

區(qū)間[a，b]是一個不可數(shù)集，其勒貝格測度與區(qū)間的長度相同。

由以上兩個例題，我們會發(fā)現(xiàn)集合的基數(shù)與集合的長度是兩個不同的問題，其間沒有必然的聯(lián)系。

三、集合論發(fā)展歷史

關于有限集基數(shù)，其性質(zhì)是顯而易見的，包括其子集的有限性。但是如何確定無限集的基數(shù)，用何種方式確定，這是一個問題。對無限集而言，其基數(shù)都是無窮大。對無窮大的研究討論直到20世紀四五十年代都充滿了爭議。在微積分建立并發(fā)展的兩百多年里，涉及無窮大的運算時，數(shù)學家們都慎之又慎。關于無限集的研究，必然無法回避一個問題：兩個無限集的基數(shù)如何比較？這實際上是一個非常復雜的問題，與數(shù)的結構有關。Cantor在建立樸素集合論時，就著眼于對無窮大的研究。他證明了實數(shù)的基數(shù)嚴格大于有理數(shù)的基數(shù)，這意味著實數(shù)中的無理數(shù)遠遠多于有理數(shù)，同樣的超越數(shù)也遠遠多于代數(shù)數(shù)。而在當時，人們只能寫出兩個代數(shù)數(shù)和。

雖然Cantor在研究過程中取得了眾多成果，但是在1900年左右，由數(shù)理邏輯學家羅素提出了著名的“理發(fā)師悖論”：如果在一個村子里，我們規(guī)定理發(fā)師只能給不會理發(fā)的人理發(fā)，那么請問誰來給理發(fā)師理發(fā)？我們來分析這個問題。如果把所有的人分為兩類：會理發(fā)的人即理發(fā)師、不會理發(fā)的人。按照問題的題設，理發(fā)師顯然不能給理發(fā)師理發(fā)，剩下的不會理發(fā)的人也不能給理發(fā)師理發(fā)。如果用集合的語言，我們將此問題刻畫為：

例7：設，請問：中哪種關系成立？

分析：如果設S∈S，按照S的定義，，矛盾。如果設，按照S的定義，S∈S，也矛盾。因此以上問題無解。

這個悖論揭示了集合論中關于集合的描述和元素與集合的屬于關系的刻畫存在著問題（自屬集與非自屬集）。這個漏洞使嚴密的數(shù)學陷入了自相矛盾之中，數(shù)學迎來了第三次危機。眾多數(shù)學家投入解決此問題的研究中。策梅羅（Zermelo）在1908年提出了公理化集合論。弗蘭克爾（Fraenkel）在策梅羅的基礎上，對公理化集合論加以完善和補充，嚴格化了Cantor建立的樸素集合論，改進成我們現(xiàn)在使用的集合論——ZF公理系統(tǒng)（此系統(tǒng)實際上受到結構主義邏輯學家的反對）。ZF公理系統(tǒng)包含了包括著名的選擇公理在內(nèi)的9個公理，首先對集合的表示進行了嚴格要求，不能使用悖論中的集合表示。

Cantor以自然數(shù)集為參照系（究其原因是我們在計數(shù)的過程中，自然而然將自然數(shù)集與計數(shù)的事物作了一個一對一的映射），定義了可數(shù)集，得到一個基本結論：無限集中可數(shù)集的基數(shù)最小，進一步討論了可數(shù)集的各種運算性質(zhì)。如果設可數(shù)集的基數(shù)為a，則我們證明了na=a，an=a等結果，這與有限數(shù)的運算截然不同。在可數(shù)集的基礎上定義了不可數(shù)集，實數(shù)集、區(qū)間等均是不可數(shù)集。如果從集合基數(shù)的角度出發(fā)，我們看到無窮大是不一樣大的。相比之前在數(shù)學分析、復分析中規(guī)定的關于無窮大的運算，這使得利用集合的基數(shù)來刻畫的關于無窮的計算更具有直觀性，其邏輯推理也更嚴密。其中最為典型的例子是可數(shù)集的基數(shù)絕對小于不可數(shù)集的基數(shù)。這說明無窮大的大小比較與有限數(shù)的比較一樣，也就是說有且僅有大于、等于、小于中的一種關系。那么如何比較兩個無限集的基數(shù)大小呢？為解決這類問題，我們定義了集合的對等關系，建立集合與集合之間的一一對應關系。直觀的解釋就是“一個蘿卜一個坑”，那么我們即使不知道“蘿卜”與“坑”的個數(shù)，也能推導出兩者的個數(shù)相同。從兩個集合對等的關系出發(fā)，如果對等，則基數(shù)相等;如不對等，則基數(shù)不等。然而要證明兩個集合對等，按照對等的定義需要作兩個集合之間的一個一一映射，這顯然不是一件容易的事，技巧性非常高。

例8： 證明長度為1的區(qū)間與整條直線的基數(shù)是相同的。

另一個經(jīng)典的例題是通過投影將球面去掉一點后，剩下的點所成的集合與整個平面對等。以上兩個例題中關于映射的構造相對簡單，僅用基本初等函數(shù)就能得到。這兩個例題實際上是有悖于我們的直覺的。直線上的一小段直線段所包含的點竟然與整條直線上的點是一樣多的。但是在公理系統(tǒng)的假設之下，通過嚴格的邏輯推導，其結果正如我們看到的，集合基數(shù)的大小與集合的大小也沒有必然的大小關系。

關于不可數(shù)集還有一個重要結論：沒有基數(shù)最大的集合。也就是說我們總是可以根據(jù)任何一個集合M，構造出其冪集，其基數(shù)嚴格大于，這也說明沒有最大的無窮大，只有更大的無窮大。

四、集合論

實變函數(shù)關于集合論的研究中，除了從元素個數(shù)討論了集合的基本性質(zhì)，還從集合中點與點的關系、點與集合的關系討論了集合的結構。首先我們將歐氏距離抽象成一般的度量， 從而在集合上添加度量結構，使其成為一般的度量空間。集合上有了度量以后，我們就可以類比歐式空間，由度量誘導出點的鄰域、點列的收斂、集合的有界性等概念。在這些概念的基礎上，按照點與點、點與集合的關系，將集合中的點進行分類，再根據(jù)集合中點的類型將開區(qū)間、閉區(qū)間的定義推廣成開集、閉集，討論它們的運算性質(zhì)，并得到了直線上開、閉集的結構。

五、結語

綜上所述，在集合論的教學中，會涉及在數(shù)學分析中已經(jīng)學習過的關于點集的基本性質(zhì)及極限的理論及其思想方法，因此我們既要注重與已有的知識相結合，又需要在討論過程中進行嚴密的推導。讓學生既感受到數(shù)學邏輯與抽象的美，又能夠接受新的知識、新的方法以及新的技巧，從中看到數(shù)學學科的發(fā)展進程。

參考文獻：

[1]周民強.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學出版社，2008.

[2]夏道行.實變函數(shù)論與泛函分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.