數(shù)學(xué)題目中的隱含條件

賈炳麟 傅海倫 王悅

摘? ?要? 通過挖掘隱含條件解題是一種極具創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，運(yùn)用自己的聯(lián)想能力和充足的知識(shí)儲(chǔ)備，拓寬問題解決的思路，沖破數(shù)學(xué)的邊界，打通學(xué)生的解題道路，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、處理、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想與想象能力，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美妙。

關(guān)鍵詞隱含條件? 數(shù)學(xué)解題? 挖掘

所謂隱含條件，是指在數(shù)學(xué)問題中，除了直接給出的已知條件外，還沒直接給出需要人們?nèi)ネ诰虻臈l件。這種條件一般隱含在定義、定理、公式、法則、圖形之中，含而不露，容易被忽視，因而造成解題錯(cuò)誤[1]。也就是說，隱含條件在解題時(shí)并未在數(shù)學(xué)題目本身直接表示，但是通過利用已知條件、有關(guān)條件或者已有的知識(shí)儲(chǔ)備可以得出的解題條件。隱含條件的內(nèi)容十分豐富，沒有特別一成不變的模式可循，它是以抽象廣泛的普遍性與實(shí)際問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取的相應(yīng)的解決辦法[2]。在解題過程中，如果按照習(xí)慣的思維定勢(shì)探求解題途徑比較困難的話，可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想，找到最佳的解題途徑，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和提高解題能力有很大的幫助。

一、數(shù)學(xué)題目中隱含條件的基本類型

1.制約型

制約型的隱含條件是指其僅僅對(duì)于數(shù)學(xué)解題中的結(jié)果或者結(jié)論有一定的限制作用，而對(duì)于解題過程而言并沒有過多影響。這種制約型的隱含條件多數(shù)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)題目所涉及的數(shù)學(xué)公式或者概念中，是由于這些公式、概念本身的性質(zhì)而產(chǎn)生了這種制約條件。

例1? 解方程log2x+log2（x+2）=3

在本題中，隱含條件就是x>0，x+2>0，這是由于log2x的性質(zhì)決定的，這個(gè)隱含條件對(duì)于解題的最終結(jié)果有限制作用，而并不會(huì)影響到解題步驟和過程，這就是限制型隱含條件。

2.補(bǔ)充型

補(bǔ)充型的隱含條件就是指在某些數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于某些存在著特殊性質(zhì)的概念或定義，它對(duì)于整個(gè)題目的解決有隱藏的補(bǔ)充作用。補(bǔ)充型的限制條件對(duì)于數(shù)學(xué)解題具有重要的價(jià)值和意義，如果我們遇到一道題目卻無從下手，那么就要再重新閱讀觀察題目，嘗試挖掘出其中隱藏的隱含條件，或許隱含條件中有許多的補(bǔ)充關(guān)系。補(bǔ)充型隱含條件總是在解題的全過程中對(duì)我們實(shí)施一定的干擾，讓我們始終以為忽略了某些條件。因此，要密切觀察每一道數(shù)學(xué)題目中的隱藏關(guān)系，以免做題時(shí)存在過多不必要的麻煩和困擾。

例2? 計(jì)算■+■+■+…+■

在本題中，一般項(xiàng)■（k=1，2…2000）就是補(bǔ)充性隱含條件，如果我們沒能將這個(gè)一般項(xiàng)找到，并且加以變形簡(jiǎn)化處理，這道題將無從著手。

3.導(dǎo)向型

導(dǎo)向型的隱含條件和制約型的隱含條件恰好相反，導(dǎo)向型并不會(huì)影響最終的解題結(jié)果，卻會(huì)對(duì)解題方式產(chǎn)生一定的作用。如果不能深刻剖析出數(shù)學(xué)題目中隱藏的導(dǎo)向型隱含條件，那么就會(huì)影響學(xué)習(xí)者的解題方式，阻礙其解題過程。而導(dǎo)向型的隱含條件往往存在于題目結(jié)構(gòu)或是題目涉及到的定義、概念中。

例3? 已知k>a>b>c>0，求證：K2-（a+b+c）k+ab+bc+ca>0

這道題目如果直接觀察題意會(huì)感到非常的迷茫，不知道該如何下手，但是結(jié)合條件和結(jié)論，再進(jìn)行大膽的猜想和假設(shè)，得出0<（k-a）（k-b）（k-c）就抓住了本題的關(guān)鍵。因此，解題時(shí)不僅應(yīng)該仔細(xì)審題并且要觀察題目結(jié)構(gòu)，從各種渠道尋找解題的最佳方案。

4.綜合型

數(shù)學(xué)本身就是一門邏輯學(xué)科，其是以邏輯為鏈條的形式化符號(hào)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)的形式化決定了數(shù)學(xué)能夠?qū)兇獾牧窟M(jìn)行獨(dú)立地、理想化地、系統(tǒng)地、深入地研究，從而推動(dòng)其自身的發(fā)展。數(shù)學(xué)概念、定義、定理之間并不是孤立存在的，而是一個(gè)相互聯(lián)系的邏輯系統(tǒng)，因此，在數(shù)學(xué)題目中，許多數(shù)字和條件也是息息相關(guān)的，綜合型隱含條件就是同時(shí)具有限制性、補(bǔ)充性、導(dǎo)向性的隱含條件。

例4? 如果{x|2ax2+（2-ab）x-b>0}{x<-2或x>3}，求實(shí)數(shù)a，b的范圍。

本題中由題設(shè)可知：設(shè)f（x）=2ax2+（2-ab）x-b，且f（x）>0，因此隱含條件是一元二次方程f（x）=0的兩根必在數(shù)軸上以-2，3為端點(diǎn)的線段內(nèi)。從這個(gè)隱含條件出發(fā)，既對(duì)a的大小有所限制，也對(duì)題意有所補(bǔ)充，使得題意中條件更加豐富充實(shí)，為數(shù)學(xué)解題提供了便利。

針對(duì)隱含條件的意義總結(jié)出以下幾點(diǎn)：第一，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和思維嚴(yán)謹(jǐn)性。通過挖掘隱含條件的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)更多的解題方式，使學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中更加便利，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)思維和方法來解決問題，進(jìn)而提高學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)水平。第二，幫助學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣。通過不斷挖掘隱含條件的鍛煉，讓學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣，學(xué)會(huì)如何正確解題，提升自己的綜合水平和素質(zhì)。第三，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和水平。探究學(xué)習(xí)中，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究挖掘隱含條件的方式，培養(yǎng)其創(chuàng)造性的解決問題的能力，從而發(fā)展其創(chuàng)造水平和能力。

二、數(shù)學(xué)題目中挖掘隱含條件的途徑

2.利用數(shù)形結(jié)合挖掘隱含條件

數(shù)形結(jié)合就是指將數(shù)字和圖形二者相結(jié)合，通過二者間的相互輔助，來解決數(shù)學(xué)問題，開拓解題思路。在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)生活中，教師應(yīng)該對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想具有高度的敏感性，積極引導(dǎo)學(xué)生將抽象的代數(shù)和具體的幾何圖形相結(jié)合，從而找到與“數(shù)”相對(duì)應(yīng)的“形”，找到幾何圖形中所隱含的代數(shù)關(guān)系，從而達(dá)到化難為易、化零為整的目的，使學(xué)生可以從新的角度來解決數(shù)學(xué)問題。

例6? 已知BC⊥CD，點(diǎn)A為BD中點(diǎn)，Q在BC上，并且AC=CQ。R在BQ上，并且BR=2RQ。S在CQ上，并且QS=RQ。求證：∠ASB=2∠DRC。

我們仔細(xì)研究這道題目可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)題目都是通過將幾何直觀（見圖1）和代數(shù)抽象直接聯(lián)系，將這道代數(shù)題目轉(zhuǎn)化為幾何問題，挖掘出題目中的隱含條件，使這道題的解決更加簡(jiǎn)便快捷，這種方法在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)?？梢杂玫?。

3.利用概念、定義挖掘隱含條件

在數(shù)學(xué)解題過程中，總是離不開概念、定義的綜合運(yùn)用，在這一過程中教師應(yīng)該讓學(xué)生深入了解概念以及定義的根本屬性，使其具有充分的知識(shí)儲(chǔ)備，可以深刻地挖掘出隱含條件的存在，以防出現(xiàn)思維的固定化，開辟新的解題方式，為今后的學(xué)習(xí)和問題解決提供全新的思路。只要善于歸納總結(jié)并且靈活運(yùn)用。我們就可以輕易挖掘出隱含條件，掌握解題技巧。

例7? m取什么值時(shí)，方程2x2-（3m+2）x+12=0與4x2-（9m-2）x+36=0有同一個(gè)根？

這道題目如果用分別解兩個(gè)方程的方法再加以比較，那真的是耗時(shí)耗力了，其實(shí)這道題的本質(zhì)就是解方程組：

2x2-（3m+2）x+12=04x2-（9m-2）x+36=0

在這道題中，方程的根的概念就是隱含條件，如果學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)到方程的根就是讓等式成立的數(shù)字，就很容易想到用聯(lián)立方程組來解決這道題目。

4.運(yùn)用條件和結(jié)論的因果關(guān)系挖掘隱含條件

數(shù)學(xué)題目的類型千變?nèi)f化，解題方式也各有不同，但在許多情況下需要通過從結(jié)論和已知條件兩個(gè)首尾端點(diǎn)向中間靠攏的方式，來尋找其中所隱藏的條件。因此，我們可以從不同的方面來思考數(shù)學(xué)問題，利用概念與定義、條件與結(jié)論之間的關(guān)系，來挖掘隱含條件，這樣才能避免不必要的麻煩，給自己省下更多的時(shí)間和精力。

然后去題中尋找已知條件，在這一步驟中，我們就用到了隱含條件：韋達(dá)定理。借助韋達(dá)定理求出：a+b和ab的值，再代入整理過的式子中，從而解題完成。

此題通過分析題目結(jié)構(gòu)，從條件和結(jié)論兩個(gè)方面出發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，運(yùn)用結(jié)論與已知條件的因果關(guān)系發(fā)現(xiàn)題中隱藏題意，通過結(jié)論和條件分別從兩端向中靠近，從而實(shí)現(xiàn)解題條件的簡(jiǎn)單化、便捷化。因此如果當(dāng)解題陷入困境時(shí)，也可以嘗試尋找條件和結(jié)論的關(guān)系來尋找思路，或許會(huì)有些許啟發(fā)，使得整個(gè)解題過程豁然開朗。

三、隱含條件在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

1.優(yōu)化解題的途徑

有些數(shù)學(xué)問題雖然不用挖掘隱含條件也可以解決，但求解的過程繁瑣，如果可以合理運(yùn)用其中的隱含條件，往往可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的討論和運(yùn)算，避免大量不必要的運(yùn)算，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到快速而準(zhǔn)確的解答。如例6，若想通過直接求出角的代數(shù)值來證明，不僅過程繁瑣，更重要的是條件不足。通過挖掘隱含條件，找到題目中的隱藏條件，將角的問題輕松轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而運(yùn)用輔助函數(shù)c2=a2+b2將題中所涉及線段用基本量表示出來，解題過程清晰簡(jiǎn)便，思路完整有效，使得如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題迎刃而解。

2.清晰溝通條件和結(jié)論的關(guān)系

許多數(shù)學(xué)問題利用題中既定的已知條件很難直接計(jì)算出結(jié)果，還要沿著一定的方向去尋找新的思路，以該思路模型為橋梁，溝通條件和結(jié)論之間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，才能推導(dǎo)出問題的正確結(jié)論。如例5，僅運(yùn)用已知條件很難直接得出結(jié)果，但如果可以適當(dāng)?shù)膶?duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化拓展，由已學(xué)的三元均值不等式類比推論出具有某些獨(dú)特性質(zhì)的二元不等式，這樣解題過程中就可以有效運(yùn)用這些特有性質(zhì)，從而更加便捷地解決問題。

3.豐富原有知識(shí)儲(chǔ)備

在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的問題，這些問題中包含著各種各樣的知識(shí)點(diǎn)，也并不排除某些知識(shí)點(diǎn)存在著有效相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，通過解決這些問題可以推動(dòng)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化、滲透和吸收。如例6可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，這就實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，達(dá)到融會(huì)貫通的效果，因此，挖掘隱含條件可以促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐和運(yùn)用，增強(qiáng)知識(shí)的吸收和滲透。

總之，隱含條件有的內(nèi)含于定義中，有的內(nèi)含于圖形之中。有效而合理的挖掘隱含條件，可以變隱晦為直觀、變復(fù)雜為簡(jiǎn)明、變生疏為熟悉、變抽象為具體，往往使問題得到巧妙解決。挖掘隱含條件解題是一種極具有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，運(yùn)用自己的聯(lián)想能力和充足的知識(shí)儲(chǔ)備，拓寬問題解決的思路，沖破數(shù)學(xué)的邊界，打通學(xué)生的問題解題道路，可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、處理、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想與想象，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美妙[3]。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄒錦程.數(shù)學(xué)解題應(yīng)重視隱含條件的挖掘[J].天府?dāng)?shù)學(xué)，1998（05）.

[2] 趙志明.談數(shù)學(xué)題目隱含條件的挖掘[J].課程教材教學(xué)研究：教育研究版，2009（02）.

[3] 孫偉奇.如何挖掘數(shù)學(xué)題中的[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2007（04）.

【責(zé)任編輯? 郭振玲】