一類帶積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程多個正解的存在性

孫 芮, 周文學(xué)

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

分?jǐn)?shù)階微分方程起初是在1695年由Hospital和Leibniz提出的,近年來分?jǐn)?shù)階微積分受到了很多學(xué)者的廣泛應(yīng)用[1-6]。文獻(xiàn)[5]在Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的定義下利用Guo-Krasnosellskill不動點定理研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

正解及其多個正解的存在性。其中f:[0,1]×R→R是一個非負(fù)連續(xù)函數(shù)。函數(shù)g:[0,1]→[0,),g∈L[0,1],存在W>0,W≠1使得g(s)sδ-1ds>W。且u(δ)(t)為一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),其定義由下文給出。

1 預(yù)備知識

記C([0,1],R)為定義在[0,1]→R上的連續(xù)實值函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)為‖u‖=sup{|u(t)‖t∈[0,1]}。設(shè)Ck([0,1],R)為[0,1]→R上k次可微實值函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)為‖u‖Ck=max{‖u‖,…,‖u(k)‖}。本文中Cδ([0,1],R)為定義在[0,1]→R上直到分?jǐn)?shù)δ次連續(xù)可微實值函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,δ∈(2,3]，其范數(shù)為‖u‖Cδ=max{‖u‖,…,‖u(δ)‖}。設(shè)LP([0，1],R)為定義在[0,1]→R上滿足可測函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)

定義1[3]設(shè)δ∈(n,n+1]且f:[0,]→R。f的一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可定義為

(1.1)

常用f(δ)表示,其中[δ]表示大于等于δ的最小整數(shù)。

定義2[3]設(shè)δ∈(n,n+1]且f:[0,]→R。f的一致分?jǐn)?shù)δ次積分可定義為

(1.2)

特別地,在本文中δ∈(2,3],則

(1.3)

引理1[3]對任意的f∈C([0,1],R)。帶積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1.4)

有唯一解

(1.5)

其中

(1.6)

引理2由(1.6)式定義的Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)

(1)對任意t,s∈(0,1),G(t,s)≥0;

證明:(1)顯然成立;下面證明(2),

因為δ∈(2,3],0st1,顯然G(t,s)≥0即g1(t,s)>0,g2(t,s)>0。

所以G(t,s)關(guān)于t是單調(diào)遞增的。

注意到

下面我們證明:

(i)當(dāng)0

顯然,

引理3[7]若函數(shù)f∈C([0,1]×[0,),[0,)),則(1.4)式的唯一解u滿足

證明:由(1.4)-(1.6)式知u可表示為

(1.7)

從而,我們有

結(jié)合引理1有

為方便起見,我們引入以下記號

則P是X上的錐。定義算子T:P→P:

由引理1,邊值問題(1.4)-(1.6)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是算子方程u=Tu的解。

(1)‖Tx‖‖x‖,x∈P∩?Ω1，并且‖Tx‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω2;

(2)‖Tx‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω1，并且‖Tx‖‖x‖,x∈P∩?Ω2。

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)函數(shù)f:[0,1]×[0,)→[0,)連續(xù),存在正常數(shù)a,b,a≠b,使得:

(H2)f(t,u)當(dāng)(t,u)∈[0,1]×[0,b]時。

則邊值問題至少存在一個正解u′使得min{a,b}‖u′‖max{a,b}。

證明:首先證明T:P→P全連續(xù)。

事實上,如果u∈P,根據(jù)G(t,s)與f(t,u)的非負(fù)性,當(dāng)u∈P時,則有

(Tu)(t)≥0,0t1。

另一方面

根據(jù)引理1知:

因此,T:P→P。

又根據(jù)G(t,s)與f(t,u)的連續(xù)性,由Arzela-Ascoli定理,可知T是全連續(xù)的。設(shè)

Ω1={u∈X|‖u‖

則Ω1,Ω2是X上的有界開集。

當(dāng)u∈P∩?Ω1時,由P的定義知

由(H1)我們得到,

因而u∈P∩?Ω1時‖Tu‖≥‖u‖。

當(dāng)u∈P∩?Ω2時,由(H2)我們得到:

因而‖Tu‖‖u‖時,u∈P∩?Ω2。

min{a,b}‖u′‖max{a,b}。

定理2假設(shè)函數(shù)f:[0,1]×[0,)→[0,)連續(xù),滿足下列之一:

f(t,u)

f(t,u)

則邊值問題(1.4)-(1.6)至少有兩個解。

f(t,u)

其中N>0,令Ωr={u∈C[0,1]|‖u‖

(Tu)|G(t,s)f(s,u(s))ds|

=l=‖u‖。

因此,對任意的u∈P∩Ωr,‖Tu‖<‖u‖。

令Ωq={u∈C[0,1]|(t,u)∈[0,1]×[0,l]},對u∈p∩?Ωq,我們有

因此,對任意的u∈P∩?Ωq,‖Tu‖≥‖u‖。

0‖u1‖

又由引理3知,

因此u∈P∩?Ωr時有‖Tu‖‖u‖。

l‖u2‖。

0‖u1‖l‖u2‖。

且滿足,

所以問題(1.4)-(1.6)至少有兩個正解。

3 舉 例

例1考慮分?jǐn)?shù)階微分邊值問題

(3.1)

(3.2)

其中0

又由于

f(t,u)

因此定理2結(jié)論成立。即邊值問題(3.1)-(3.2)至少有兩個正解u1,u2。

4 小 結(jié)

文章在閱讀大量相關(guān)書籍和文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,探究一類具有積分邊值問題的分?jǐn)?shù)階微分方程多個正解的存在性,獲得了正解存在性定理和多個正解存在的判斷依據(jù),最后通過具體的例子驗證了結(jié)論的適用性。