多終端約束條件的任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律

黃 磊，易文俊，管 軍，袁丹丹

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210094)

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)形式的演變，對(duì)制導(dǎo)律提出了更高的要求?，F(xiàn)代制導(dǎo)武器在末端實(shí)施精確打擊的同時(shí)，還要求以特定的落角來(lái)打擊目標(biāo)的薄弱部位，以提高毀傷效果。基于此，多終端約束條件的制導(dǎo)律已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)，這些制導(dǎo)律在滿足脫靶量為零的同時(shí)，還要求滿足特定的性能指標(biāo)，例如大落角、飛行時(shí)間最短、控制能量最小等。近年來(lái)，多種控制理論在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用，其中基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能得到解析的、狀態(tài)反饋形式的制導(dǎo)指令，所以得到了廣泛的應(yīng)用。

文獻(xiàn)[1]中利用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出了滿足單片機(jī)工作要求的限制落點(diǎn)與落角的最優(yōu)制導(dǎo)律，制導(dǎo)律形式包含彈目視線角、彈目視線角速率、終點(diǎn)彈道高及終點(diǎn)導(dǎo)彈速度項(xiàng)，最終結(jié)果不具有一般性。文獻(xiàn)[2]中利用線性二次型最優(yōu)控制理論研究了帶落角的最優(yōu)制導(dǎo)律，這種方法雖然精度高，但計(jì)算復(fù)雜，推導(dǎo)公式過(guò)程比較繁瑣。文獻(xiàn)[3]中在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上研究了二次型最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[4]中依據(jù)一階駕駛儀動(dòng)力學(xué)特性研究了帶角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。為此，文獻(xiàn)[5]中根據(jù)衛(wèi)星制導(dǎo)炸彈的彈道特點(diǎn)通過(guò)求解黎卡提微分方程研究了次優(yōu)制導(dǎo)律，一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，降低了推導(dǎo)難度。文獻(xiàn)[6]中研究了針對(duì)侵徹制導(dǎo)武器的多終端約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]利用Schwarz不等式研究了帶落角約束的任意加權(quán)函數(shù)最優(yōu)制導(dǎo)律，但對(duì)加權(quán)函數(shù)有一定的限制。文獻(xiàn)[8]中研究了帶落角約束的間接Gauss偽譜最優(yōu)制導(dǎo)律，簡(jiǎn)化了對(duì)復(fù)雜加權(quán)函數(shù)的求解難度。文獻(xiàn)[9]中利用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了帶落角約束的制導(dǎo)律。

本研究利用極小值原理和求解線性二次型最優(yōu)控制方程，對(duì)任意加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解，擴(kuò)展了加權(quán)函數(shù)的選取范圍，可根據(jù)制導(dǎo)目的不同，任意選取加權(quán)函數(shù)。本研究選取兩種在最優(yōu)控制領(lǐng)域最經(jīng)典的加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解，均推導(dǎo)出了解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)律，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。采用蒙特卡洛打靶發(fā)研究了風(fēng)和測(cè)量誤差對(duì)制導(dǎo)精度的影響。

1 系統(tǒng)模型的建立

圖1為導(dǎo)彈末制導(dǎo)段彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)二維關(guān)系圖，圖中：M為導(dǎo)彈，T為目標(biāo)，θm為導(dǎo)彈速度傾角，q為彈目視線角，θf(wàn)為期望落角，vm為導(dǎo)彈速度，a為垂直于導(dǎo)彈速度方向的加速度,R為彈目相對(duì)距離。

圖1 末制導(dǎo)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)二維關(guān)系

由圖1，可得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)引關(guān)系方程為:

(1)

式中：v為y軸方向上的速度。u(t)為制導(dǎo)指令。假設(shè)導(dǎo)彈的速度vm為常值，θm為坐標(biāo)系下的小角度，則式(1)可線性化為：

(2)

運(yùn)動(dòng)方程式(2)的狀態(tài)方程為

(3)

式中：

(4)

(5)

由圖1可知，要滿足零脫靶量和終端落角要求，即滿足

(6)

寫成矩陣形式為

Cx(t)=D

(7)

式中

(8)

在滿足上述約束條件時(shí)，尋找u(t)使得以一般函數(shù)R(t)為加權(quán)函數(shù)的控制能量最小：

(9)

由文獻(xiàn)[10]中可知上述最優(yōu)控制問(wèn)題的解為：

u*(t)=R-1BTFH-1(FTx(t)-D)

(10)

式中：

(11)

(12)

(13)

2 最優(yōu)制導(dǎo)率的求解

2.1 R-1(t)=1的情況

2.1.1考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

由式(12)可得到

(14)

(15)

(16)

(17)

對(duì)式(14)～式(17)式分別在區(qū)間[tf,t]積分，得到

(18)

(19)

h21=h12

(20)

h22=Te-2tgo/T/2-2Te-tgo/T-tgo+3/2T

(21)

將式(18)～式(21)及式(2)、式(6)及q(t)=-y(t)/R代入式(10)得到

(K1tgo+K2)vmθm+(K1f31+K2f32)a(t)-K2vmθf(wàn)]

(22)

式中，

K1=f31h22-f32h21

K2=f32h11-f31h12

(23)

2.1.2不考慮控制系統(tǒng)慣性時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

當(dāng)時(shí)間常數(shù)相對(duì)于飛行時(shí)間較小或者系統(tǒng)反應(yīng)滯后較小時(shí)，可以忽略動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的影響。即T→0，則

(24)

(25)

h21=h12

(26)

h22=-tgo

(27)

(28)

(29)

此時(shí)，式(22)變?yōu)?/p>

(30)

式(30)的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中的帶落角約束的最優(yōu)控制制導(dǎo)律是一致的。

2.2 R-1(t)=eNtgo的情況

2.2.1考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

此時(shí)，由式(12)可得：

(31)

Te-2tgo/T+Ntgo+tgoeNtgo-TeNtgo

(32)

(33)

對(duì)式(31)～式(33)式分別在區(qū)間[tf,t]積分，得到

(34)

(35)

(36)

將式(34)～式(36)式代入式(10)得到控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

(K1tgo+K2)vmθm+(K1f31+

K2f32)a(t)-K2vmθf(wàn)]

(37)

式中

K1=f31h22-f32h21

K2=f32h11-f31h12

(38)

2.2.2不考慮控制系統(tǒng)慣性時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

當(dāng)時(shí)間常數(shù)相對(duì)于飛行時(shí)間較小或者系統(tǒng)反應(yīng)滯后較小時(shí)，可以忽略動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的影響。即T→0，則

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

將式(39)～式(41)代入式(10)得到不考慮控制系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)時(shí)的最優(yōu)制導(dǎo)律

(K3+h11/tgo)θm-K4θf(wàn)/tgo]

(44)

式中

K3=tgoh22-h21

K4=h11-tgoh12

(45)

3 仿真分析

在本小節(jié)中對(duì)推導(dǎo)出來(lái)的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗(yàn)證，采用控制變量法從不同終端落角、不同初始射角、不同初始彈道高等三方面進(jìn)行了驗(yàn)證，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)對(duì)制導(dǎo)過(guò)程中的相關(guān)特性進(jìn)行了全面分析。分析結(jié)果表明，本文推導(dǎo)的制導(dǎo)律滿足脫靶量、大落角等性能要求。

以R-1=1為加權(quán)函數(shù)，以控制能量函數(shù)為性能函數(shù)，現(xiàn)有大量文獻(xiàn)已做了較為全面的分析[13-16]?；诖?，本研究只對(duì)指數(shù)加權(quán)函數(shù)下的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真分析，并分別考慮控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)和無(wú)慣性環(huán)節(jié)兩種情況。以下將最優(yōu)導(dǎo)引律式(44)、式(37)分別簡(jiǎn)稱為OGL1和OGL2。仿真初始參數(shù)如表1所示，導(dǎo)航系數(shù)N=0.6，時(shí)間常數(shù)T=0.3。脫靶量和落角誤差如表2所示。彈道傾角圖和彈道軌跡圖如圖2所示。

從表2、圖2可以看出在OGL1和OGL2制導(dǎo)律的作用下導(dǎo)彈都能以期望的落角去要求。從圖2(b)可以看出，彈道傾角向期望落角收斂的速率較快。從圖2(c)可以看出，最大制導(dǎo)指令出現(xiàn)在制導(dǎo)初始段，隨著彈道傾角向期望落角趨近時(shí)，制導(dǎo)指令也會(huì)隨之減小，當(dāng)彈道傾角達(dá)到期望落角時(shí)，制導(dǎo)指令會(huì)隨之趨近于0。

圖3的仿真初始條件為：彈道高ym=2 800、2 600、2 400 m，落角為75°，其他參數(shù)不變。從圖3(a)可以看出，不同初始彈道高在OGL1和OGL2情況下都能以預(yù)期的落角、落角擊中目標(biāo)，且誤差滿足要求。如圖3(b)所示，制導(dǎo)初始段法向過(guò)載較大，在制導(dǎo)末段制導(dǎo)指令會(huì)趨近零，彈道傾角會(huì)以較快速度向期望落角收斂。

表1 仿真初始參數(shù)

表2 制導(dǎo)結(jié)果

圖4的仿真初始條件為：初始彈道傾角θm0=-10°、-20°、-30°，期望落角為75°，其他仿真初始參數(shù)不變。從圖4中可以看出，在OGL1和OGL2作用下均能以預(yù)期落角、落點(diǎn)擊中目標(biāo)，且誤差滿足要求。

圖2 不同終端落角下的仿真結(jié)果

圖3 不同彈道高情況下的仿真結(jié)果

圖4 不同初始彈道傾角情況下的仿真結(jié)果

由于在制導(dǎo)末端風(fēng)的干擾是客觀存在的，這會(huì)對(duì)制導(dǎo)結(jié)果產(chǎn)生不利的影響，因此，研究所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的抗風(fēng)干擾能力是必要的。本文以期望落角為90°為例，給導(dǎo)彈速度全程加上±10%的偏差，采用蒙特卡洛方法研究落點(diǎn)和落角誤差，仿真計(jì)算200次，落點(diǎn)和落角仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 考慮風(fēng)的仿真結(jié)果

由圖5可知，OGL-1制導(dǎo)律在給導(dǎo)彈速度全程加±10%的偏差的情況下落點(diǎn)誤差在0.24 m以內(nèi)，落角誤差在0.009°以內(nèi)；OGL-2制導(dǎo)律落點(diǎn)誤差在0.22 m以內(nèi)，落角誤差在0.007 4°以內(nèi)。落點(diǎn)和落角誤差都在允許范圍之內(nèi)。

測(cè)量誤差在末制導(dǎo)階段也是客觀存在的，也會(huì)對(duì)制導(dǎo)精度產(chǎn)生不利影響。對(duì)于本文兩種制導(dǎo)律來(lái)說(shuō)，主要是剩余飛行時(shí)間的估算誤差會(huì)對(duì)制導(dǎo)精度產(chǎn)生影響。仿真時(shí)，考慮5%的測(cè)量誤差，采用蒙特卡洛方法計(jì)算200次，落點(diǎn)和落角仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 考慮測(cè)量誤差的仿真結(jié)果

由圖6可知，在考慮5%的測(cè)量誤差的情況下，OGL-0的落點(diǎn)誤差在0.260 m以內(nèi)，落角誤差在0.020°以內(nèi)；OGL-1最優(yōu)制導(dǎo)律的落點(diǎn)誤差在0.25 m以內(nèi)，落角誤差在0.1°以內(nèi)。

4 結(jié)論

研究了多終端約束條件的任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律。對(duì)給定的加權(quán)函數(shù)通過(guò)本文的研究方法都能得到解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)率?？筛鶕?jù)制導(dǎo)目的的不同，選取不同的加權(quán)函數(shù)進(jìn)行求解，拓展了加權(quán)函數(shù)的選擇范圍。

通過(guò)本文方法推導(dǎo)出來(lái)的最優(yōu)制導(dǎo)律形式簡(jiǎn)單，僅包含彈目視線角、落角、彈道傾角、法向加速度項(xiàng)，這些數(shù)據(jù)的獲取在工程上都較容易獲取，所以本文的最優(yōu)制導(dǎo)率可為工程實(shí)踐提供一定的理論指導(dǎo)。

拓展了指數(shù)加權(quán)函數(shù)情況下的仿真內(nèi)容，采用控制變量法分別驗(yàn)證了制導(dǎo)律在不同期望落角、不同彈道高、不同彈道傾角下的準(zhǔn)確性，分析了相關(guān)彈道特性。

在制導(dǎo)末端風(fēng)對(duì)落點(diǎn)和落角的影響時(shí)，兩種最優(yōu)制導(dǎo)律在制導(dǎo)末端抗風(fēng)能力較強(qiáng)。本文推導(dǎo)的兩種帶落點(diǎn)和落角的最優(yōu)制導(dǎo)律穩(wěn)定性較好，可靠性較高，對(duì)工程實(shí)踐有一定的指導(dǎo)意義。