例談分類討論數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

☉安徽省銅陵市第八中學(xué) 潘楷佳

當(dāng)前，如何通過(guò)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是各地教師學(xué)習(xí)與研究的首要任務(wù).羅增儒說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思想中的DNA”.也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，它們都具有持續(xù)性、可遷移性，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有導(dǎo)向性作用.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，專門用一個(gè)自然段表述了數(shù)學(xué)中的分類思想，強(qiáng)調(diào)對(duì)事物共同特性的抽象、分類思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)積累.各地對(duì)分類討論思想的研究一直沒(méi)有停止過(guò)，在分類意識(shí)、分類標(biāo)準(zhǔn)、分類原則方法、教學(xué)建議等方面都有理論上的思考，但缺少課堂案例研究的文獻(xiàn).本文從新知學(xué)習(xí)、習(xí)題教學(xué)、專題教學(xué)課堂實(shí)踐的幾個(gè)片段出發(fā)，談?wù)劮诸愑懻摂?shù)學(xué)思想方法的一些教學(xué)策略，供研討.

一、分類討論數(shù)學(xué)思想要在探究中滲透

分類思想體現(xiàn)在一個(gè)事物的幾個(gè)方面，分類后要求對(duì)有著共性的這幾個(gè)方面進(jìn)行討論.學(xué)生對(duì)分類思想要慢慢感悟才能領(lǐng)會(huì)，要靠教師在課堂教學(xué)中不斷滲透，才會(huì)有經(jīng)驗(yàn)積累，直至自覺(jué)運(yùn)用.這與人類認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是一致的.

案例1：人教版數(shù)學(xué)教材第27.2節(jié)第1課時(shí)“平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論”.

師：大家先分成4個(gè)大組，分別探究下列4個(gè)問(wèn)題，再合作交流.探究如下：

探究：如圖1，任意畫(huà)兩條直線a、b，再畫(huà)三條與a、b都相交的平行線l1、l2、l3.分別度量l1、l2、l3在直線a上截得的線段AB、BC的長(zhǎng)度和在直線b上截得的線段DE、EF的長(zhǎng)度，各組分別借助計(jì)算器求下列比值：.它們相等嗎？平移直線l3的位置，它們還相等嗎？

在學(xué)生分組驗(yàn)證合作交流后，知道直線a、b上被截下的4條線段，只要它們的位置是對(duì)應(yīng)的，就都成比例.但這還不足以突出這個(gè)基本事實(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又因該結(jié)論的證明較難，所以要再次驗(yàn)證，以抓住本質(zhì).

圖1

師：這4條對(duì)應(yīng)線段成比例的本質(zhì)條件是什么？如何探究？請(qǐng)看幾何畫(huà)板.

追問(wèn)1：如果改變這些平行線之間的距離，它們的比值還相等嗎？

追問(wèn)2：如果改變直線a、b的位置，它們的比值還相等嗎？

追 問(wèn)3：如果使l1、l2、l3不平行，它們的比值還相等嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)線段成比例，與直線a、b的位置無(wú)關(guān).

生2：我發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)線段成比例，與平行線l1、l2、l3之間的距離無(wú)關(guān).

生3：我發(fā)現(xiàn)，只要保持l1∥l2∥l3這一關(guān)系，對(duì)應(yīng)線段就都成比例.

師：很好！事實(shí)上，三條平行線之間的對(duì)應(yīng)線段成比例的本質(zhì)條件就是這組直線的平行關(guān)系.如何歸納這個(gè)事實(shí)呢？

生4：兩條直線被三條平行線所截，所得對(duì)應(yīng)線段成比例.

師：這個(gè)結(jié)論叫“平行線分線段成比例的基本事實(shí)”.這里用幾何畫(huà)板驗(yàn)證時(shí)以改變不同直線位置關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行了分類探究，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的分類思想.

反思：本案例用幾何畫(huà)板的功能觀察對(duì)應(yīng)線段比值大小與直線的位置、平行線之間的距離、直線的平行關(guān)系中哪些有本質(zhì)聯(lián)系，這就是分類討論；學(xué)生分組探究不同對(duì)應(yīng)線段的比值關(guān)系也是分類討論，都滲透著分類思想.事實(shí)上，人教版初中數(shù)學(xué)教材中比較典型的分類問(wèn)題有100多個(gè)，如一個(gè)數(shù)的平方根、特殊到一般地獲得拋物線的性質(zhì)、圓周角定理的證明等.同時(shí)，學(xué)生的課堂活動(dòng)也充滿了分類.學(xué)生在做數(shù)學(xué)時(shí)具有偶然性、特殊性，分別代表了不同的類，需要教師幫助學(xué)生歸類和分類，獲得數(shù)學(xué)知識(shí).因此，教師借助多媒體工具，引導(dǎo)學(xué)生在探究新知的過(guò)程中進(jìn)行滲透與顯化是數(shù)學(xué)思想教學(xué)的一種有效策略，能促進(jìn)學(xué)生感悟分類等數(shù)學(xué)思想.精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生合理分類討論，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，可以促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知形成，積累分類等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

二、分類討論數(shù)學(xué)思想要在比較中感悟

在遇到分類的問(wèn)題時(shí)，要把一個(gè)問(wèn)題分為幾類，并進(jìn)行比較和反思，再分門別類地一一討論.所以比較是分類討論的前提，有比較才有鑒別.

案例2：比較a與的大小.

師：很好！在大小比較的問(wèn)題中，先判斷相等的條件是關(guān)鍵.當(dāng)a≠±1時(shí)，a與就不相等了，此時(shí)按照a的值的大小應(yīng)當(dāng)分為幾類呢？

生2：可以借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn)，分為4類：a＜-1，-1＜a＜0，0＜a＜1，a＞1.

生3：不對(duì)，漏了a=±1這類了，應(yīng)分為5類.

生4：我分別根據(jù)a的大小范圍取值驗(yàn)算過(guò)，分為4類：①當(dāng)a=0時(shí)，不存在；②當(dāng)a=±1時(shí)，相等；③當(dāng)-1＜a＜0和a＞1時(shí)，；④當(dāng)a＜-1和0＜a＜1時(shí)，

師：這名同學(xué)考慮到不同的結(jié)果，把a(bǔ)的取值分為4類，其中a=0這類要不要？

生5：要，因?yàn)閱?wèn)題中沒(méi)有說(shuō)明a≠0.

師：對(duì).在沒(méi)有任何說(shuō)明的情況下，字母a的取值要有連續(xù)性，保證分類不重、不漏，所以分出a=0這類是分類的需要，而當(dāng)a=0時(shí)不能比大小是分類后討論的結(jié)果.

說(shuō)明：這個(gè)案例是筆者進(jìn)行“分類討論數(shù)學(xué)思想方法掌握情況的質(zhì)量跟蹤調(diào)查”之后，反饋到課堂上的問(wèn)題之一，是數(shù)與代數(shù)知識(shí)的一類調(diào)查，蘊(yùn)含分類思想、字母表示數(shù)的思想和特殊與一般的辨證關(guān)系，是數(shù)學(xué)中最抽象的問(wèn)題之一.從調(diào)查的結(jié)果看，初一學(xué)生的正確率是29%，初二學(xué)生的正確率是42%，初三學(xué)生的正確率是81%.初三學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)明顯好于低年級(jí)學(xué)生.

反思：從本例調(diào)查和課堂討論中可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)分類討論數(shù)學(xué)思想的感悟與其數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知基礎(chǔ)、思維能力正相關(guān)，與教師的滲透、點(diǎn)撥、有意識(shí)引導(dǎo)密切相關(guān).教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生制定合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，比較分類過(guò)程中的連續(xù)性，排除分類過(guò)程中的等價(jià)類和無(wú)效類.如本題中a=0就是無(wú)效類；拋物線的頂點(diǎn)不在自變量取值范圍內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就不是最值，要排除；螞蟻從正方體一個(gè)頂點(diǎn)沿著表面爬行到其對(duì)角頂點(diǎn)去，雖有6條路徑，但屬于等價(jià)類，最短路徑只有一種.所以分類時(shí)的比較是很有必要的，通過(guò)比較，可促進(jìn)學(xué)生形成反思意識(shí)，提升學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)思維的縝密性和批評(píng)性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

三、分類討論數(shù)學(xué)思想要在點(diǎn)撥中領(lǐng)會(huì)

分類思想的上位思想是集合與對(duì)應(yīng)思想（不重、不漏）、辨證思想、轉(zhuǎn)換與化歸思想.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，分類思想又往往與其他思想方法共存，且分類后的討論是問(wèn)題求解的過(guò)程，與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)度大.因此需要分類討論的問(wèn)題一般有一定的綜合性，需要教師在課堂交流中點(diǎn)撥.在一次專題復(fù)習(xí)課上，筆者選用了一道中考題進(jìn)行分類思想的教學(xué)，課堂上引發(fā)了許多積極的思考和爭(zhēng)論.

案例3：（2018年安徽）如圖2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長(zhǎng)為_(kāi)__________.

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)審題與思考，題目說(shuō)點(diǎn)P在矩形內(nèi)，圖形中點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，能否確定點(diǎn)P的位置？

師：很好！如果這一步不寫(xiě)，那么后面的推理就不符合邏輯了.根據(jù)已知長(zhǎng)度，可以求出哪些線段的長(zhǎng)度？又怎么求PE的長(zhǎng)度？

生2：可得出BD=10.再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)知道，要先求出BP或PD的長(zhǎng)度才行.

師：接下來(lái)，要用“△APD是等腰三角形”這個(gè)條件了，可哪兩邊是相等的腰呢？

生3：因?yàn)檫@個(gè)等腰三角形的腰和底邊不明確，所以要分類，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可分為兩類：①AD=DP；②AP=DP.再分別求解.

師：分類時(shí)要考慮到各種情況，不重、不漏地分類.AP=AD也是一類，為什么沒(méi)有呢？

生3：AP不可能等于AD.

師：為什么？怎么解釋？

生4：根據(jù)垂線段最短得知：斜線段越來(lái)越長(zhǎng)，所以AP＜AD.

生5：在Rt△ABD中，BD是斜邊，最大，所以AP＜AD.（師單獨(dú)畫(huà)出Rt△ABD和AP）

生6：我覺(jué)得他們的解釋不對(duì).如圖3，作AO⊥BD于點(diǎn)O，點(diǎn)P在OD上，根據(jù)勾股定理得.又OP＜OD，所以AP＜AD.

師：很好！能夠想到勾股定理進(jìn)行計(jì)算分析，大家聽(tīng)明白了嗎？

生7：如果點(diǎn)P在OB上，怎么知道OP＜OD的？

至此，學(xué)生陷入了一片茫然，都不知道怎么解釋AP＜AD，需要點(diǎn)撥.

師：既然點(diǎn)P可能在OD上，也可能在OB上，也就是說(shuō)，點(diǎn)P的位置不確定，請(qǐng)大家思考，當(dāng)我們遇到不確定的問(wèn)題時(shí)，要怎么辦？

生8：分類.

師：對(duì).分類后怎么討論OP和OD的大小呢？

師：同學(xué)們可在課外進(jìn)一步思考“如何說(shuō)明AP與AD的大小”.這里要注意的是，根據(jù)分類不重、不漏的原則，AP=AD也是一類，要寫(xiě)出來(lái).因?yàn)檫@種情況不成立，所以只需要說(shuō)明一下再否定它，不必證明.接下來(lái)請(qǐng)大家分別求出PE的長(zhǎng)度.

生10：老師，當(dāng)AP=PD時(shí)，AP是不是等于5?。?/p>

師：這個(gè)問(wèn)題還是交給大家討論吧！

生11：矩形中，只有對(duì)角線互相平分才有AP=PD，所以AP=5.

生12：不對(duì).可以作PF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，PF是△ABD的中位線，所以點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，AP=5，進(jìn)一步可得

生13：還可以換一種解釋：當(dāng)AP=PD時(shí)，∠PAD=∠PDA，根據(jù)互余關(guān)系，可得∠PAB=∠PBA，再根據(jù)等角對(duì)等邊得AP=BP=PD=5，所以PE=3或PE=1.2.

師：同學(xué)們能夠大膽說(shuō)出自己的不同思考，難能可貴！今后如果遇到不確定的問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)分類討論，這是這個(gè)題目帶給我們的經(jīng)驗(yàn).

反思：沒(méi)想到這個(gè)中考題的教學(xué)牽涉出這么多知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，調(diào)動(dòng)了全班學(xué)生數(shù)學(xué)探究的積極性，關(guān)注到分類誘因、分類方法的理解.雖然耗時(shí)較長(zhǎng)，但促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).其中說(shuō)明點(diǎn)P在BD上是前提，學(xué)生容易忽略這步推理，分類時(shí)不寫(xiě)AP=AD是易錯(cuò)點(diǎn)，思考AP＜AD是難點(diǎn)，課堂交流與點(diǎn)撥是突破難點(diǎn)的一種策略.事實(shí)上，點(diǎn)P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB=6，AD=8，又因?yàn)辄c(diǎn)P在矩形內(nèi)，所以點(diǎn)P在以A為圓心、AB為半徑和AD為半徑的圓環(huán)之間，一定有AB＜AP＜AD.

大多數(shù)學(xué)生容易形式化地審題，如有學(xué)生說(shuō)點(diǎn)P在OD上，遇到分類問(wèn)題時(shí)嫌麻煩，而且分類后綜合解決問(wèn)題的能力也不足.因此在課堂交流中適當(dāng)點(diǎn)撥和及時(shí)鼓勵(lì)，可提升學(xué)生解答分類討論題的興趣，有效關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

四、教學(xué)感悟

從這幾個(gè)案例中，可以看到分類思想的教學(xué)策略取決于教學(xué)材料，不能千篇一律，內(nèi)容決定形式，且分類時(shí)要注意不重、不漏的原則.由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟有一個(gè)螺旋上升的過(guò)程，所以分類思想的教學(xué)也要遵循教學(xué)規(guī)律，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考是目標(biāo).其中：

1.分類問(wèn)題大多有分類誘因

案例1中直線位置與比值大小關(guān)系具有隱蔽性.案例2中字母a的值到底要分為幾類具有抽象性.因此課堂教學(xué)中要借助多媒體工具，用探究、比較和點(diǎn)撥等策略，幫助學(xué)生逐步感悟和領(lǐng)會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.其中針對(duì)學(xué)生情況設(shè)置有效的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是引導(dǎo)的關(guān)鍵，要防止思維定式.還要積極引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別、歸納常見(jiàn)分類問(wèn)題等.

2.分類討論的過(guò)程要有一定的綜合性

如案例3中AP與AD的大小比較、AP=PD時(shí)的值都是分類中必須考慮的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題.教師要注意積極評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，既提升興趣，又解決問(wèn)題，有利于學(xué)生對(duì)思想的領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.分類討論問(wèn)題的教學(xué)要有定期專題

一般一個(gè)學(xué)期安排兩節(jié)復(fù)習(xí)課.專題復(fù)習(xí)課的材料可選中考題、教材題，也可選開(kāi)放題、改編題，還可選學(xué)生的錯(cuò)例和生活趣題等.例題教學(xué)要循序漸進(jìn)，難題會(huì)讓學(xué)生望而生畏的.還要有梯度的課后訓(xùn)練，讓學(xué)生用相同或相近的方法做事，是深刻理解數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑.必須注意專題教學(xué)在于專，要專于分類，專于討論.