在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

☉江蘇省蘇州市吳中區(qū)碧波中學(xué) 朱方政

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的精髓.初中數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含很多數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、類比思想、方程思想、整體思想、估算思想等.教材中雖然沒有明確提出這些數(shù)學(xué)思想，但通過每章小結(jié)等形式向?qū)W生滲透這些數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)知識(shí)，它來源于數(shù)學(xué)知識(shí)而又高于數(shù)學(xué)知識(shí)，常常滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，是指導(dǎo)我們解決數(shù)學(xué)問題的根本策略.在教學(xué)時(shí)，要注意有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想.那么，應(yīng)該怎樣向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想呢？下面結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面說明.

一、在課堂引入時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)中的每個(gè)章節(jié)都滲透有數(shù)學(xué)思想.不過有的章節(jié)滲透的數(shù)學(xué)思想比較明顯，有的則比較隱含.對(duì)于那些明顯滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)內(nèi)容，可以在引入時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想.比如，在教學(xué)分式的基本性質(zhì)時(shí)，在引入時(shí)可以先設(shè)計(jì)下面的問題：

題1：把下面的分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：

題2：填空：

題3：判斷下面的算式是否正確：

題4：把和化成分母是10而大小不變的分?jǐn)?shù)，則

題5：對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù)，當(dāng)c≠0時(shí)，可以猜想（填“=”或“≠”）.

題6：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（ ），分?jǐn)?shù)的大?。?）.類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以猜想分式的基本性質(zhì)為：___________，用式子可以表示為___________.

通過這樣的引入，很自然地向?qū)W生滲透了一種數(shù)學(xué)思想：類比思想.將分式與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比，從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)自然過渡到分式的基本性質(zhì)，過渡非常自然，學(xué)生易于接受分式的基本性質(zhì)，同時(shí)便于學(xué)生切實(shí)感悟類比思想.

二、在復(fù)習(xí)小結(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想

在章節(jié)小結(jié)、復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)容量較大，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想也較多，在教學(xué)時(shí)要盡可能把那些比較典型的數(shù)學(xué)思想有意識(shí)地向?qū)W生滲透，幫助學(xué)生掌握章節(jié)知識(shí)，厘清知識(shí)之間的關(guān)系.

例如，在復(fù)習(xí)“平行四邊形”一章時(shí)，四邊形之間的關(guān)系如圖1所示：

圖1

可以向?qū)W生提出這些問題：

問題1：如何判定一個(gè)四邊形是平行四邊形？（①兩組對(duì)邊分別平行；②兩組對(duì)邊分別相等；③一組對(duì)邊平行且相等；④兩組對(duì)角分別相等，滿足①②③④中的任意一個(gè)選項(xiàng)，這樣的四邊形就是平行四邊形，向?qū)W生滲透從一般到特殊的思想）

問題2：特殊平行四邊形包括哪些四邊形？（矩形、菱形和正方形，向?qū)W生滲透分類思想）

問題3：證明一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，可以先證這個(gè)四邊形是平行四邊形，然后證明這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直或?qū)蔷€平分一組對(duì)角；證明一個(gè)四邊形是矩形時(shí)，可以先證這個(gè)四邊形是平行四邊形，然后證明這個(gè)四邊形有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想.

問題4：正方形既是矩形又是菱形，兼具矩形和菱形的性質(zhì)，在證明一個(gè)四邊形是正方形時(shí)，可以先證明這個(gè)四邊形是矩形，然后證明這個(gè)矩形有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直或?qū)蔷€平分一組對(duì)角，也就是證明這個(gè)矩形是菱形；也可以先證明這個(gè)四邊形是菱形，然后證明這個(gè)菱形有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等，也就是證明這個(gè)菱形是矩形，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想.

通過提出這些問題，向?qū)W生滲透分類思想、轉(zhuǎn)化思想、從一般到特殊的思想等，同時(shí)有利于厘清平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系.

三、在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，一個(gè)最重要的目的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，能夠利用這些數(shù)學(xué)思想幫助他們分析和解決問題，畢竟數(shù)學(xué)思想有“指路明燈”的作用.為此，在解題教學(xué)中，我們應(yīng)該有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些與滲透的思想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”“活學(xué)活用”.

初中階段我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，而函數(shù)圖像是數(shù)形結(jié)合的重要工具，利用函數(shù)圖像解決問題是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的知識(shí)后，我們知道二元一次方程組的解可以看作二元一次方程組中的兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)的坐標(biāo)，教材中涉及一次函數(shù)的內(nèi)容有對(duì)應(yīng)的例題，在講完該例題后，為了進(jìn)一步向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，我“趁熱打鐵”，給學(xué)生布置了如下一道練習(xí)題：

如圖2，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是線段AB靠近點(diǎn)A的一個(gè)四等分點(diǎn)，AB=4，BC=8，連接DE，交對(duì)角線AC于點(diǎn)M.求△AEM的面積.

圖2

圖3

要求△AEM的面積，根據(jù)已知條件，只需求出AE邊上的高就行了，如果學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)，求AE邊上的高就是“小菜一碟”，但相似三角形屬于九年級(jí)的知識(shí)，因此該題對(duì)于還未學(xué)習(xí)相似知識(shí)的八年級(jí)學(xué)生來說，肯定具有一定的挑戰(zhàn)性，當(dāng)然這也正是我設(shè)計(jì)此題的動(dòng)機(jī)所在——向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生利用函數(shù)知識(shí)解答此題.經(jīng)過思考，還真有不少學(xué)生解出了該題.他們以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立了如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.這樣可以立即得到A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式y(tǒng)=2x，直線DE的解析式y(tǒng)=-8x+8.聯(lián)立兩直線的解析式，便可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，也就可以得到△AEM的邊AE上的高，也就可以求出△AEM的面積.這些學(xué)生能夠想到利用函數(shù)圖像解答，說明他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有一定的感悟和理解，同時(shí)達(dá)到了向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的目的.

再如，轉(zhuǎn)化思想是解決三元一次方程組問題的主要思想（化三元為二元，化二元為一元）.學(xué)習(xí)了三元一次方程組的知識(shí)后，為了向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想，我有意布置了如下一個(gè)實(shí)際問題：某水上公園有大、中、小三種型號(hào)的游船.5艘大型游船、3艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客152人；7艘大型游船、4艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客207人.你能算出1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客多少人嗎？

解答此題首先應(yīng)設(shè)1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客的人數(shù)分別為x、y、z，根據(jù)題意列方程組，得接下來就是要求出x+y+z的值.由于只有兩個(gè)方程卻有三個(gè)未知數(shù)，顯然無法求出每個(gè)未知數(shù)的具體值，一些學(xué)生分析至此思維會(huì)受阻.由于我在講解三元一次方程組知識(shí)時(shí)經(jīng)常向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想，因而有不少學(xué)生想到將原方程組轉(zhuǎn)化為三元一次方程組，如視z（x或y）為常數(shù)，原方程組可以轉(zhuǎn)化為這樣x、y都用含z的字母表示，可以順利求出x+y+z的值.

作為數(shù)學(xué)教師，向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)固然重要，在教學(xué)過程中適時(shí)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想也是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想是引導(dǎo).在今后的教學(xué)中，我將更加注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).