☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱月鳳
最近一次學(xué)校中考??季毩?xí)時(shí),選用了一道新定義考題,從2019年5月北京市海淀區(qū)一模卷改編而來,前兩問學(xué)生答得還可以,但最后一問普遍適應(yīng)性不好.為了做好講評(píng)工作,我們備課組先認(rèn)真對(duì)該題進(jìn)行了解法研究,并設(shè)計(jì)出系列鋪墊式問題,取得了較好的解題教學(xué)效果.本文整理該題的一些解法探究,再給出解題教學(xué)微設(shè)計(jì),供研討.
??碱}:(北京市海淀區(qū)2019年中考一模卷,改編)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的直線l和圖形M,給出如下定義:P1、P2、…、Pn-1、Pn是圖形M上n(n≥3)個(gè)不同的點(diǎn),記這些點(diǎn)到直線l的距離分別為d1、d2、…、dn-1、dn,若這n個(gè)點(diǎn)滿足d1+d2+…+dn-1=dn,則稱這n個(gè)點(diǎn)為圖形M關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列,其中dn為該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離.
(1)略.(限于篇幅,這一小問比較簡單,只是讓學(xué)生初步感知“新定義”,故略去)
①若T為原點(diǎn),求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值;
②若n的最大值等于6,直接寫出圓心T的縱坐標(biāo)t的取值范圍.
思路探究:(2)①由P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列,得d1+d2+…+dn-1=dn.則dn的最大值為⊙T上的點(diǎn)到直線l的最大距離.
當(dāng)T為原點(diǎn)時(shí),如圖1,過點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H,延長HO交⊙O于點(diǎn)F,則FH的長度為dn的最大值.
圖1
圖2
圖3
②這一小問比較晦澀、難懂,讓我們分析一條直線與圓的不同位置關(guān)系,如圖2、圖3.在圖2中,直線與圓相交,此時(shí)圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)是垂線段FE(經(jīng)過圓心T),容易發(fā)現(xiàn),EF<2,且圓上能找到“很多點(diǎn)”(遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出6個(gè))到該直線的距離趨于0,這樣就能找出“很多點(diǎn)”符合新定義,則n也就“遠(yuǎn)大于6”,這與題意不符.于是我們可以確定線段與圓應(yīng)該是沒有公共點(diǎn)的.再利用圖3進(jìn)行分析,此時(shí)圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)是垂線段FE(經(jīng)過圓心T),設(shè)GE=x,則FE=2+x,要使得“n的最大值等于6”,則對(duì)照定義,應(yīng)該有5x<2+x≤6x.這個(gè)不等式不太好理解,設(shè)6個(gè)點(diǎn)都無限接近圖3中的點(diǎn)G,則2+x≤6x;另一方面,有5個(gè)點(diǎn)無限接近點(diǎn)G,它們的和不會(huì)超過5x,則5x<2+x.綜上,可確定GE(即x)的范圍為,相應(yīng)的TE(即x+1)的取值范圍為
圖4
解后反思:從上面的解題過程來看,從圖2到圖3,并分析出GE(即x)的范圍為,這是本題重要進(jìn)展、關(guān)鍵步驟,非常抽象、難懂,且涉及多個(gè)點(diǎn)趨向一個(gè)極端位置,對(duì)極限意識(shí)和想象能力有很高的要求.
出示上文“??碱}”的“題干”部分,讓學(xué)生先熟悉新定義,并給出簡單的舉例,然后給出一組基礎(chǔ)熱身題.
問題1:在平面直角坐標(biāo)系中,直線l是x軸,圖形M上有三點(diǎn)A(-1,1)、B(1,-1)、C(0,2).
(1)判斷A、B、C是否為圖形M關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.如果是,求出它的基準(zhǔn)距離;如果不是,請說明理由.
(2)請舉出一個(gè)圖形M,使得該圖形M上有四個(gè)點(diǎn)為圖形M關(guān)于直線l:y=-1的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.
教學(xué)組織:第(1)問讓學(xué)生先獨(dú)立思考,再請學(xué)生上臺(tái)講解他是如何思考的;第(2)問學(xué)生設(shè)計(jì)出問題之后先在小組內(nèi)由組長組織討論、分析是否正確,然后選擇符合要求的正確解答在全班交流展示,大家參與評(píng)析各小組所設(shè)計(jì)的問題是否符合新定義的要求.
問題2:已知直線l是函數(shù)的圖像,圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T,P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.
(1)若T為原點(diǎn),求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值;
(2)當(dāng)點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為1時(shí),求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值;
(3)當(dāng)點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為7時(shí),求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值.
教學(xué)組織:第(1)問對(duì)應(yīng)著原“??碱}”,跟進(jìn)的第(2)、(3)問可以有效訓(xùn)練學(xué)生對(duì)新定義的理解,并且感受到隨著圓心位置的變化,該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值也在發(fā)生變化,為挑戰(zhàn)下一問較難題提供初步感知.
問題2:已知直線l是函數(shù)的圖像,圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T,P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.
(1)舉例分析n的最大值能否到5;
(3)若n的最大值等于6,直接寫出圓心T的縱坐標(biāo)t的取值范圍.
教學(xué)組織:安排兩個(gè)鋪墊式問題讓學(xué)生先想清如上文中提及的圖2、圖3這樣的圖形結(jié)構(gòu)和性質(zhì),再有序挑戰(zhàn)最難的第(3)問.講評(píng)過程中,要注意讓優(yōu)秀學(xué)生能結(jié)合圖形分析講解,這樣可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地分析這類問題,也讓更多學(xué)生體會(huì)“以形助數(shù)”的分析策略.
根據(jù)我們的解題研究所見,當(dāng)前新定義考題熱度不減,成為很多地區(qū)模考卷、中考卷的把關(guān)題型,而且新定義考題的風(fēng)格各異,呈現(xiàn)豐富多樣的地區(qū)特點(diǎn),比如,北京地區(qū)以新定義為背景,關(guān)聯(lián)函數(shù)圖像、直線和圓的位置關(guān)系,分析參數(shù)的取值范圍,引領(lǐng)著北京各區(qū)的??季硪布娂娔7旅瞥龃罅康男露x考題,這些考題又被全國各個(gè)地區(qū)引用.可以發(fā)現(xiàn),這類新定義考題的解題策略中都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的分析策略,也體現(xiàn)了“少算多思”的解題特點(diǎn),教師解題時(shí),要充分借助圖形分析臨界狀態(tài),并善于分解、分離圖形來分析參數(shù)的取值范圍.
在新定義考題解題教學(xué)時(shí)切忌就題講題,或者簡單的核對(duì)答案式的講解,或者以多數(shù)學(xué)生都會(huì)放棄最后一問為由,簡單應(yīng)付一下講評(píng)過程.事實(shí)上,如果我們將最難的一問進(jìn)行充分展開,不但能讓較多的學(xué)生理解、學(xué)會(huì)這道習(xí)題的解法,而且在這個(gè)過程中,還能讓學(xué)生復(fù)習(xí)很多基本圖形及其性質(zhì)、經(jīng)典結(jié)論及其變式,所以還是值得花時(shí)間開展解題教學(xué)的.當(dāng)然,對(duì)于“最難小問”的解題教學(xué),要像上文解題教學(xué)微設(shè)計(jì)一樣,進(jìn)行充分預(yù)設(shè),通過系列鋪墊式問題,鋪平墊穩(wěn),讓學(xué)生拾級(jí)而上,促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解法,貫通思路,不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)解這道習(xí)題,而且要在解題教學(xué)過程中讓學(xué)生能學(xué)會(huì)這類新定義習(xí)題的解法,并且在這個(gè)過程中收獲解題信心.
近兩年《中學(xué)數(shù)學(xué)(下)》刊發(fā)了不少新定義考題的教學(xué)研究文章,有效引領(lǐng)了一線教師的解題研究,本文就是受到類似文獻(xiàn)[1]~[3]的影響而整理出來的.這樣做,事實(shí)上也端正和加深了我們對(duì)解題研究的理解,比如,解題研究不能只是關(guān)注解法或一題多解,甚至是一些個(gè)性化的解法或者技巧性解法,而要從解法研究出發(fā),基于學(xué)情預(yù)設(shè)解題教學(xué)微設(shè)計(jì),以便促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握解法,達(dá)到做一題、通一類、會(huì)一片的解題效果.