高中函數(shù)解題思路多元化能力培養(yǎng)的基本途徑

江蘇省江陰市第一中學(xué) 孫曉芳

高中函數(shù)解題思路多元化是多數(shù)教師在實(shí)際教學(xué)中十分重視的一個(gè)方面。通常來說，一題多解是培養(yǎng)學(xué)生解題思路多元化能力的良好途徑之一，具體來說，又可細(xì)分為通過一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維、通過一題多解培養(yǎng)創(chuàng)新思維，以下擬結(jié)合典型例題對此進(jìn)行具體探討，期冀對相關(guān)教學(xué)工作者有所啟示。

一、一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維

發(fā)散思維是一種從不同角度分析問題的思維方式，具體到實(shí)際解題中，即找到不同的切入點(diǎn)，采取不同的思路解題。發(fā)散思維可以說是解題思路多元化的基礎(chǔ)，而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的基本途徑之一即為一題多解。學(xué)生在一題多解的過程中，自然而然地會(huì)從多個(gè)角度、不同的出發(fā)點(diǎn)思考問題如何解決，可以說每一次一題多解訓(xùn)練都是一次鍛煉發(fā)散思維的良好機(jī)會(huì)，在具體教學(xué)中，教師都要注重選取一些較有代表性的函數(shù)例題，將之作為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的載體。在長期的一題多解訓(xùn)練中，學(xué)生的發(fā)散思維水平亦必將在潛移默化中獲得顯著提升。我們來看一道具體例題：求函數(shù)f（x）=x+（x＞0）的值域。

該題比較簡單，但具有多種解題思路，屬于較為典型的一題多解函數(shù)題目。其解法共有判別式法、單調(diào)性法、配方法、基本不等式法四種，分別如下：

（1）判別式法：設(shè)y=x+，則有x2-yx+1=0，由Δ=y2-4 ≥0可得出y≥2，當(dāng)y=2 時(shí)，由x2-2x+1=0，得出x=1。故當(dāng)x=1 時(shí)，f（x）=x+（x＞0）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

（2）單調(diào)性法：首先判斷函數(shù)f（x）=x+（x＞0）的單調(diào)性。 取0＜x1＜x2， 則 有。 當(dāng)0＜x1＜x2≤2 時(shí)，有f（x1）＞f（x2），故在區(qū)間（0，1]上，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)2＜x1＜x2時(shí)，有f（x1）＜f（x2），則f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)。這時(shí)即可由f（x）的單調(diào)性知道當(dāng)x=1 時(shí)，f（x）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

綜合評判上述各解法，判別式法主要用于二次函數(shù)，具有一定的局限性；單調(diào)性法注意分類討論；配方法和基本不等式法是相對簡便的方法，但技巧性較高，相對不易想到。在講解和剖析題目的過程中，教師要能夠引導(dǎo)學(xué)生明了各種思路的分析切入點(diǎn)以及主要特點(diǎn)，幫助學(xué)生在深度思考中切實(shí)掌握各種思路，同時(shí)鍛煉發(fā)散性思維。

二、一題多解培養(yǎng)創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個(gè)重要方面，與發(fā)散思維有著密不可分的關(guān)系，大體上二者可視為相輔相成的關(guān)系。高中函數(shù)題類型多變，創(chuàng)新空間很大，因而學(xué)生也需要具備相應(yīng)的創(chuàng)新思維水平，在一題多解的過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生采取創(chuàng)新的思路來解答，并在多種思路的講解和比較中突出創(chuàng)新性的思路，長此以往，如同發(fā)散性思維的培養(yǎng)一樣，學(xué)生的創(chuàng)新思維水平亦必將在潛移默化中獲得顯著提升?，F(xiàn)在來看一道具體例題：已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，其值域?yàn)椋?，6），求其定義域。

該題乍看很簡單，但實(shí)際上帶有一定的難度，有些學(xué)生竟感到無從著手，因?yàn)榻忸}時(shí)需要先將已知條件轉(zhuǎn)化成不等式問題，即從2＜|2x-1|＜6，許多學(xué)生想不到。轉(zhuǎn)化成不等式問題后，問題就較為簡單了，可以將2＜|2x-1|＜6 拆分為2x-1|＜6 和|2x-1|＞2 兩個(gè)不等式，分別求解，進(jìn)而將兩式的解集綜合，最終得出x的取值范圍。

但上述思路僅屬于一般性的思路，我們還可以采取一種創(chuàng)新性的思路來求解該題。分析題設(shè)可以發(fā)現(xiàn)，該題的難點(diǎn)主要是絕對值的存在，如果能夠首先去掉絕對值，從而簡化不等式，問題也就迎刃而解了。根據(jù)絕對值的定義，2＜|2x-1|＜6 去掉絕對值后變成兩個(gè)式子，即2＜2x-1＜6 和-2＜2x-1＜-6，這時(shí)再采用常規(guī)性的解題思路就很容易解答該題了。在講解和剖析該題的過程中，教師注重強(qiáng)調(diào)這種具有一定創(chuàng)新性的思路，啟迪學(xué)生思維，促進(jìn)其創(chuàng)新性思維的發(fā)展。

本文結(jié)合具體題例簡要探討了高中函數(shù)解題思路多元化培養(yǎng)的兩條基本途徑，即一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維、一題多解培養(yǎng)創(chuàng)新思維。事實(shí)上，高中函數(shù)解題思路多元化能力的培養(yǎng)無疑是一個(gè)兼具深度和廣度的話題，需要一線教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷積極探索和深入總結(jié)，從這個(gè)意義上講，本文僅為拋磚引玉，尚盼有識(shí)者指教。