瓶子還是原來(lái)的瓶子，水也是原來(lái)的水
——“妙用轉(zhuǎn)化思想，巧解體積問(wèn)題”的三個(gè)典型案例

甘肅省隴西縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王治民

【案例一】沙子還是原來(lái)的沙子，水還是原來(lái)的水

一個(gè)裝了酒精的瓶子，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖所示。它的容積為200.96 立方厘米，當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)酒精的液面高度為6 厘米，而瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2 厘米，請(qǐng)問(wèn)瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米？

【分析與解答】

解答本題的關(guān)鍵在于使學(xué)生理解瓶?jī)?nèi)酒精形狀前后變化的內(nèi)涵，可通過(guò)以下幾步來(lái)完成：

（一）明確題意，確定思路

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察：在瓶子方位的前后變化過(guò)程中，有哪些相同的地方？學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)：瓶子的容積沒(méi)變，水的體積也沒(méi)變。還有不變的地方嗎？有一位同學(xué)回答：我覺(jué)得瓶?jī)?nèi)空白部分的體積也應(yīng)不變。這正是本題的難點(diǎn)所在，而解決問(wèn)題的突破口就在瓶子倒放這一變化。

（二）類比遷移，突破難點(diǎn)

為了便于學(xué)生理解，我們可運(yùn)用裝了沙子的透明長(zhǎng)方體塑料盒進(jìn)行演示，讓學(xué)生仔細(xì)觀察并理解：在長(zhǎng)方體盒子的不同變化中，盒子的體積沒(méi)有變化，里面沙子的形狀只是隨著盒子的位置變化而改變了形狀，但沙子還是原來(lái)的沙子，它的體積沒(méi)有變化；盒內(nèi)空白部分的體積也是隨著盒子的位置變化改變形狀，體積也完全相等。瓶子裝水的道理也是一樣：瓶子還是那個(gè)瓶子，水還是原來(lái)的水，只是瓶子在兩種狀態(tài)下空間的形狀變了，體積卻完全相等。由此可見(jiàn)，不管什么形狀的容器，所裝的東西體積不變，空間的體積也不變。問(wèn)題中瓶子的不同變化，其實(shí)是相同體積的形狀變化，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，只不過(guò)長(zhǎng)方體塑料盒裝沙子是規(guī)則體積的變化，大家容易理解，而瓶子裝水是不規(guī)則形狀的轉(zhuǎn)化，大家缺乏生活基礎(chǔ)，所以不好理解。

通過(guò)以上兩種具有不同形狀、相同內(nèi)涵的問(wèn)題比較，學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上明白了體積的轉(zhuǎn)化規(guī)律，解答本題的難點(diǎn)也就完全突破。

（三）完成轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題

根據(jù)已知條件，瓶?jī)?nèi)水的形狀為圓柱體，只知道它的高，無(wú)法直接計(jì)算，所以要求水的體積，只能用瓶子的容積減去空白部分的體積。

通過(guò)前面的探索結(jié)果，瓶子倒過(guò)后，上面空出的圓柱體部分就是之前的空白部分，這一過(guò)程的本質(zhì)是巧妙地將不規(guī)則的形狀轉(zhuǎn)化成了規(guī)則的圓柱體，由無(wú)法測(cè)量轉(zhuǎn)化為可以測(cè)量和計(jì)算的規(guī)則圖形，真是妙不可言。“瓶?jī)?nèi)水的液面高度為6 厘米，而瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2 厘米”，說(shuō)明瓶?jī)?nèi)不規(guī)則的空間經(jīng)過(guò)倒放，轉(zhuǎn)化成了高為2厘米的圓柱體，也就是說(shuō)整個(gè)瓶子的容積是一個(gè)高為（6+2）厘米的圓柱體。由此可知，瓶子的底面積=200.96÷8=25.12（平方厘米），水的體積=25.12×6=150.72（平方厘米），問(wèn)題圓滿解決。

有了上面的基礎(chǔ)，下面一題雖然形式有所變化，但本質(zhì)仍然相同，同學(xué)們一定能觸類旁通，解決起來(lái)也是得心應(yīng)手。

【案例二】

如下圖，一個(gè)酒瓶呈圓柱形，深30 厘米，底面內(nèi)直徑10 厘米，瓶?jī)?nèi)酒深15 厘米。把酒瓶塞緊后使其瓶口朝下倒立，這時(shí)酒深25厘米。問(wèn)：酒瓶容積是多少？

【分析與解答】

根據(jù)案例一的經(jīng)驗(yàn)，酒瓶倒立后，原來(lái)不規(guī)則的空間轉(zhuǎn)化成了30-25=5 厘米的圓柱體，也就是酒瓶的容積等于和它底面積相等，高為15+5=20 厘米的圓柱體體積。

解答：30-25=5（厘米），3.14×（10÷2）2×（15+5）=3.14×25×20=1570（立方厘米）。

【案例三】

一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃容器，從里面量長(zhǎng)5 分米,寬3 分米,高4 分米。向容器中倒入36 升水，再把一段足夠長(zhǎng)的底面積是3 平方分米的長(zhǎng)方體鋼材垂直插入水中，長(zhǎng)方體鋼材的底面與容器底面完全接觸，這時(shí)容器內(nèi)水深多少分米？

【分析與解答】

此題如果按照阿基米德測(cè)量皇冠體積的方法來(lái)做，具有較大的難度，因?yàn)槲矬w完全沒(méi)入水中時(shí)，上升部分的水的體積就是該物體的體積。而當(dāng)物體只有一部分沒(méi)入水中時(shí)，插入原來(lái)水面深度的部分會(huì)導(dǎo)致水面上升，而上升部分體積的一部分又被長(zhǎng)方體所占，而這部分體積又會(huì)導(dǎo)致水面上升。所以，我們可做如下思考：

根據(jù)容器中水的體積36 升和長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬可知：水面的高為36÷5÷3=2.4（分米），所以假設(shè)長(zhǎng)方體插入水中的部分導(dǎo)致水面上升了x分米，則插入后水面的高度為（2.4+x）分米，體積為5×3×（2.4+x）立方分米，而這個(gè)體積等于插入水中的長(zhǎng)方體的體積和原來(lái)水的體積之和，即36+3×（2.4+x）立方分米，由此可得方程：5×3×（2.4+x）=36+3×（2.4+x），解得：x=0.6。但這一思路因?qū)W生空間想象能力的限制而很難理解。如果我們繼續(xù)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，問(wèn)題就變得相當(dāng)簡(jiǎn)單：將底面積是3 平方分米的足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)方體鋼材插入水中，長(zhǎng)方體鋼材的底面與容器底面完全接觸，在本題來(lái)說(shuō)，就是把底面積3 平方分米，高4 分米的部分削掉，不能再裝水，也就相當(dāng)于將原來(lái)容器的底面積減去了3平方分米，用底面積5×3-3=12（平方分米）的容器裝了36 升水，已知體積和底面積，則水面的高度為36÷12=3（分米），減去原來(lái)的水面高度2.4 分米，水面上升了0.6分米。

類比方法和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，極大地降低了問(wèn)題的難度，也發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，拓展了思維，讓學(xué)生充分感受到了數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)了學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展也會(huì)產(chǎn)生積極的作用，所以我們?cè)诮虒W(xué)中靈活應(yīng)用，一定會(huì)起到事半功倍的作用。