以基本圖形為載體，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象

福建省廈門市金雞亭中學(xué) 郭小霞

核心素養(yǎng)指的是人適應(yīng)未來社會(huì)生存和發(fā)展所需要的必備品格、關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是在數(shù)學(xué)學(xué)科中的必備品格與關(guān)鍵能力，這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)至關(guān)重要。高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含六個(gè)部分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。直觀想象在初中教學(xué)階段主要體現(xiàn)在空間觀念和幾何直觀的培養(yǎng)。本文筆者以基本圖形為載體，淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的直觀想象。

一、課標(biāo)中有關(guān)空間觀念和幾何直觀的闡述和要求

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）中指出：空間觀念是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

幾何直觀主要指的是利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

發(fā)展直觀想象，落實(shí)為空間觀念與幾何直觀的測(cè)量目標(biāo)有：（1）能根據(jù)條件畫簡(jiǎn)單平面圖形；（2）理解幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；（3）能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素之間的關(guān)系；（4）運(yùn)用簡(jiǎn)單圖形的性質(zhì)揭示復(fù)雜圖形的性質(zhì)。

二、借助基本圖形，發(fā)展學(xué)生直觀想象

1.基本圖形的認(rèn)識(shí)和教學(xué)

（1）什么是基本圖形

在幾何分析中，組成一個(gè)幾何問題的圖形的最簡(jiǎn)單、最基本但又具有特定性質(zhì)，能明確地闡明其應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的圖形，稱為基本圖形?；緢D形蘊(yùn)含在重要幾何定理中，每個(gè)幾何定理都有三種語言，包括文字語言、圖形語言和符號(hào)語言。我們還可以將常見幾何圖形的疊加約定為基本圖形，如一線三等角等。

（2）如何教學(xué)基本圖形

我們可以圍繞某個(gè)知識(shí)點(diǎn)形成系列基本圖組，對(duì)于每個(gè)基本圖形，我們可以按照以下脈絡(luò)進(jìn)行研究：基本圖形→圖形性質(zhì)→位置特征→應(yīng)用條件→應(yīng)用方法。

2.以基本圖形為載體，滲透分析法解決問題

怎樣在一道幾何綜合題中找到基本圖形的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法，即什么情況下會(huì)想到用哪個(gè)基本圖形，怎么用這個(gè)基本圖形？這是技能到能力轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，也就是思維內(nèi)化。我們有兩種解決問題的方式：由因?qū)ЧC合法和執(zhí)果索因分析法。我們要用“你是怎么想？”“為什么這么想？”“怎么會(huì)想到？”等問題進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提高解決問題的思維品質(zhì)，達(dá)到思維內(nèi)化。

3.利用基本圖形尋找添加輔助線的方法

用基本圖形解決輔助線添加問題，我們的著眼點(diǎn)不再聚焦在作為圖形的局部的“線”上，而是著眼到一個(gè)完整的“圖形”上。添加輔助線不僅僅是一個(gè)添線問題，更是一個(gè)補(bǔ)形的問題，添加輔助線的實(shí)質(zhì)是基本圖形完整化的結(jié)果。

三、提高學(xué)生直觀想象的有效措施

提高學(xué)生直觀想象，就要提高學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，教學(xué)中應(yīng)注重以下三方面：

1.教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)重要定理進(jìn)行總結(jié)

在探究歸納完定理時(shí)，要注重對(duì)定理本身進(jìn)行深入的分析和總結(jié)：

延續(xù)性護(hù)理能滿足健康照護(hù)需求，有利于病情恢復(fù)[2]，提升了患者的滿意度，也提升了患者對(duì)醫(yī)護(hù)人員的信任度，增加了醫(yī)患之間的互動(dòng)，對(duì)于患者病情的恢復(fù)起到一定的作用，對(duì)于患者疾病的后續(xù)護(hù)理有莫大的幫助[3]。延續(xù)性護(hù)理作為臨床醫(yī)療護(hù)理工作的重要延伸，體現(xiàn)了醫(yī)護(hù)人員對(duì)患者的人性化服務(wù)[4]。

（1）注重幾何定理的三種語言（文字、符號(hào)和圖形）之間的相互轉(zhuǎn)化，將定理的條件標(biāo)在圖形中，將知識(shí)進(jìn)行圖示化和可視化，同時(shí)也要將這些定理及圖形進(jìn)行模型化和形象化，如同位角“F”型，內(nèi)錯(cuò)角“Z”型，同旁內(nèi)角“U”型，角平分線“雞爪”型，三角形的外角“小旗幟”型，等腰三角形三線合一“屋頂”型，線段的垂直平分線性質(zhì)“小雨傘”型，角平分線的性質(zhì)“紙飛機(jī)”型等，可以讓學(xué)生來抽象命名，加深印象，又增加了課堂趣味。

（2）注重引導(dǎo)學(xué)生分析定理的條件和結(jié)論，分析定理的源與流，了解定理的使用范圍、注意事項(xiàng)和用途，什么時(shí)候可以使用這個(gè)定理，使用這個(gè)定理可以解決什么問題等等。如三角形的中位線定理，從定理的結(jié)論我們可以知道，這個(gè)定理的用途是證明線段平行或線段二倍（或一半）關(guān)系。從定理的題設(shè)我們可以知道，“三角形”和“中位線”這兩個(gè)條件是缺一不可的，因此在碰到要求證線段平行或線段二倍（或一半）關(guān)系的幾何題時(shí)，我們常見的輔助線做法有：①題目中有涉及中點(diǎn)連線但沒有三角形的情況，這時(shí)要連接三角形的邊，構(gòu)造三角形。②題目中有涉及三角形、中點(diǎn)，但沒有中位線,這時(shí)我們要作中點(diǎn)的連線，構(gòu)造中位線。

2.教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)重要例（習(xí)）題進(jìn)行歸納

在講完例題或是做完習(xí)題后，應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一題或一組題從以下4 個(gè)方面進(jìn)行歸納：

（1）注重基本模型的提煉

在教學(xué)中，注重讓學(xué)生總結(jié)例題和練習(xí)中的基本模型，如“一線三等角”的基本模型，能更好地解決全等三角形乃至后續(xù)要學(xué)習(xí)的相似三角形的證明和計(jì)算問題。直角三角形及斜邊的高所分的兩個(gè)直角三角形所構(gòu)成的子母型相似的基本圖形等，都是初中幾何證明和計(jì)算常考的內(nèi)容，通過題組的形式，讓學(xué)生對(duì)基本圖形進(jìn)行提煉和歸納，有利于學(xué)生更敏銳地找到解題方向。

（2）注重基本思路的引導(dǎo)

在解決四邊形問題時(shí)候，我們經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生將四邊形的問題通過連接對(duì)角線等轉(zhuǎn)化為三角形問題，這個(gè)轉(zhuǎn)化學(xué)生較為熟悉，也掌握得較好，而有時(shí)候我們也會(huì)將三角形問題轉(zhuǎn)化為四邊形來解決，而這類輔助線做法學(xué)生較為陌生，因此，要及時(shí)歸納這類問題的基本思路，有利于學(xué)生更好地理解和靈活應(yīng)用。

在《平行四邊形》這章中，證明三角形中位線定理時(shí)，我們是通過構(gòu)造平行四邊形，將三角形的問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題，利用平行四邊形的性質(zhì)得到三角形中位線定理；證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，我們是將直角三角形的問題轉(zhuǎn)化為矩形問題，利用矩形性質(zhì)進(jìn)行證明。教師應(yīng)結(jié)合這兩個(gè)定理的證明，注重引導(dǎo)學(xué)生去歸納做這類輔助線的思路。讓學(xué)生觀察這兩題的證明方法，體會(huì)輔助線做法，并以問題加以引導(dǎo)：“倍長(zhǎng)中位線和倍長(zhǎng)中線的共同特征是什么？”（倍長(zhǎng)和中點(diǎn)）“做這類輔助線有什么好處？”（可得到全等三角形和平行四邊形）“什么時(shí)候要考慮做這種輔助線？”讓學(xué)生去總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，化未知為已知，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（3）注重基本結(jié)論的聯(lián)想

在講評(píng)例題和練習(xí)時(shí)，應(yīng)注重結(jié)論的發(fā)散聯(lián)想，了解可得到這個(gè)結(jié)論的多種途徑，再挑選適當(dāng)?shù)穆窂角蠼饣蜃C明。如《平行四邊形》這一章涉及線段二倍（或一半）關(guān)系的定理有3 條，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納（如圖1）。又如要證明矩形，常常要用證明90°，要注重90°的聯(lián)想，如圖2。

（4）注重基本載體的挖掘

初中幾何中某些特殊的圖形具有獨(dú)特的性質(zhì)，往往利用這些性質(zhì)可以便于證明和求解，因此要注重對(duì)基本載體的挖掘。如正方形是最特殊的平行四邊形，它具有一切平行四邊形所具有的性質(zhì)，常以正方形為載體證明三角形全等問題，可以以題組的形式引導(dǎo)學(xué)生去挖掘正方形這個(gè)載體為全等三角形的證明提供了哪些線段相等，哪些角相等。

3.教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)很多中等或中下的孩子能從較為復(fù)雜的圖形中分離出幾個(gè)基本圖形，但是還不會(huì)找到它們之間的關(guān)系，只是從局部看這些基本模型，把題目隔開間斷碎片化。筆者嘗試讓學(xué)生根據(jù)題意重新作圖，在慢慢畫圖的過程中找出基本圖形及基本圖形之間的聯(lián)系，逐步將這些基本模型重組和串聯(lián)起來。因此，在初中幾何教學(xué)過程中，還應(yīng)注重學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)，在講例題或習(xí)題時(shí)，有意識(shí)地將圖形去掉，讓學(xué)生根據(jù)題意畫圖，既能加深學(xué)生對(duì)題意的理解，又能更好地分離出基本圖形，通過基本圖形把題目串聯(lián)起來，發(fā)現(xiàn)基本圖形之間的聯(lián)系，從全局看問題，更完整、更全面地理解題目。在平時(shí)教學(xué)中，提倡讓孩子把新學(xué)的基本圖形納入之前的基本圖形題庫中，進(jìn)行組合編題，提高學(xué)生的興趣和直觀想象能力。

新課程標(biāo)準(zhǔn)在“圖形與幾何”方面提出應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，提高學(xué)生的直觀想象，從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，以基本圖形為載體抓住本質(zhì)和重點(diǎn)，正確提取和重組，從而提高學(xué)生的識(shí)圖和畫圖能力，進(jìn)而提高直觀想象能力。