含參不等式的恒成立問題

鄭蓉

縱觀近幾年全國各省市的高考題，含參不等式的恒成立問題頻頻出現(xiàn)，是歷年高考的一大熱點。這類問題以不等式的“恒成立”為載體，考察函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式等內(nèi)容，滲透劃歸，分類討論，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生能力要求高，一直備受高考命題者的青睞。本文介紹這類問題的常見解題策略，供大家參考。

1 分離參數(shù)法

分離參數(shù)法即通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩邊，從而使不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值問題。

若函數(shù) 在給定區(qū)間上存在最值，則：

（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ?若函數(shù) 在給定區(qū)間上不存在最值，則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的范圍問題.

例1.設(shè)函數(shù) ，若關(guān)于 的不等式 在

上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

點評：本題通過分離參數(shù)將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值問題，思路清晰，解法簡潔。

2 函數(shù)最值法

函數(shù)最值法即將不等式的恒成立問題直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，一般來說，由于函數(shù)中含有參數(shù)，在求最值時，往往涉及到分類討論。

若函數(shù) 在給定區(qū)間上存在最值，則：（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ?若函數(shù) 在給定區(qū)間上不存在最值，則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的范圍問題.

例2.已知函數(shù) ， ，對任意的 ， ?，不等式 ?恒成立，求正實數(shù) 的取值范圍.

點評：本題將不等式的恒成立問題直接轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最值問題。

常見類型：若函數(shù)在給定區(qū)間上存在最值，則：

若有函數(shù)在給定區(qū)間上不存在最值，則轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的范圍問題。

3 變換主元法

在解答含參不等式的恒成立問題時，有時需要我們轉(zhuǎn)化思維角度，將主元變量與參數(shù)變量進(jìn)行“換位”，反客為主，可使問題化難為易，迅速獲解。一般來說，將題中給出了取值范圍的量視為主元，待求的量視為參數(shù)。

例3.設(shè)函數(shù)

（1） 若函數(shù) 的圖象在 處與直線 相切

①求實數(shù) 的值;②求函數(shù) 在 的最大值.

（2）當(dāng) 時，若不等式 對所有的 ， 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

點評：本題是有關(guān)雙參數(shù)的恒成立問題，在解答時選擇以哪個變量為主元非常關(guān)鍵，當(dāng)然本題的實質(zhì)仍然是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

通過以上幾道例題的學(xué)習(xí)，我們歸納總結(jié)了含參不等式恒成立問題常見的求解策略。在解題過程中，還需要我們根據(jù)題設(shè)條件綜合分析，多思考，選擇合適的方法進(jìn)行求解。

（作者單位：湖北省荊州市江陵縣江陵中學(xué)）