“深度學(xué)習(xí)”視角下的教學(xué)案例研究
——以溫度計(jì)為載體實(shí)現(xiàn)負(fù)數(shù)雙向認(rèn)知

吳緒益（特級教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版四年級上冊第七單元生活中的負(fù)數(shù)之《溫度》。

【課前思考】

一、了解前世，啟迪今生

世界各國對負(fù)數(shù)的認(rèn)識和接受有一個(gè)過程。中國是世界上最早應(yīng)用正負(fù)數(shù)的國家，早在兩千多年前的《九章算術(shù)》中，就有正數(shù)和負(fù)數(shù)的記載，在古代人民生活中，以收入錢為正，以支出錢為負(fù)；在糧食生產(chǎn)中，以產(chǎn)量增加為正，以糧食減少為負(fù)。西方國家認(rèn)識正負(fù)數(shù)要比中國晚數(shù)百年。（存在的必要性）

1484年法國數(shù)學(xué)家曾得到方程的一個(gè)負(fù)數(shù)解，但是他不承認(rèn)，說負(fù)數(shù)是荒謬的數(shù)。1545年卡爾丹承認(rèn)方程的負(fù)數(shù)解，但認(rèn)為是“假數(shù)”，到1831年還有數(shù)學(xué)家認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的，并舉出一個(gè)特例：父親56 歲，兒子29 歲，問什么時(shí)候父親歲數(shù)是兒子的兩倍？用方程解出x=-2 他認(rèn)為這是一個(gè)荒唐的數(shù)。（接受的長期性）

負(fù)數(shù)是抽象的存在，比0 還小的數(shù)，有嗎？比沒有還少，這是多么難以理解。如何讓不可思議的假數(shù)變得觸手可及？如何實(shí)現(xiàn)數(shù)與形結(jié)合？利用溫度計(jì)將抽象變得直觀。（學(xué)生認(rèn)知困難性）

二、文獻(xiàn)研讀，把握本質(zhì)

1.課標(biāo)研讀。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對負(fù)數(shù)的要求：在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀：負(fù)數(shù)的引入是數(shù)的概念的進(jìn)一步擴(kuò)充，根據(jù)小學(xué)生的思維發(fā)展水平，只是在第二學(xué)段對負(fù)數(shù)提出簡單的要求。對于小學(xué)生來講，理解負(fù)數(shù)的意義是有一定難度的。第一，限定在了解的層次。第二在具體的情境中了解。如用溫度的變化來體會負(fù)數(shù)，零度以上用正數(shù)表示，零度以下用負(fù)數(shù)表示。（教學(xué)達(dá)成度）

2.教學(xué)法研讀。

《數(shù)學(xué)教學(xué)論》（曹一鳴主編）中說：數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)是具有高度的概括性和抽象性。數(shù)學(xué)概念包括五個(gè)方面：名稱、定義、符號、例子和屬性。數(shù)學(xué)概念具有一定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，數(shù)學(xué)概念是隨著數(shù)學(xué)知識的發(fā)展而不斷發(fā)展的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念也要在數(shù)學(xué)知識體系中不斷加深認(rèn)識。要瞻前顧后，實(shí)時(shí)強(qiáng)調(diào)該內(nèi)容與其他內(nèi)容的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生不斷從新的角度理解原來的知識，對認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和重新組織。從數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系來學(xué)習(xí)概念，可以深化對所學(xué)概念的認(rèn)識，有利于加深對有關(guān)概念的理解，也便于學(xué)生記憶。新概念的引入一般分為兩類：一類是從數(shù)學(xué)體系的發(fā)展過程中引入新概念，另一類從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)引入新概念。（概念學(xué)習(xí)的基本規(guī)律）

三、教材對比，提升認(rèn)知

1.蘇教版教材編寫意圖。

例1（溫度）：現(xiàn)實(shí)情境引入負(fù)數(shù)。

（1）氣溫是學(xué)生每天生活中能夠接觸到的信息，對此他們并不陌生。

（2）借助溫度計(jì)的數(shù)據(jù)顯示，可以直觀地認(rèn)識到零上溫度比零攝氏度高，零下溫度比零攝氏度低。這些為學(xué)生初步了解正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量提供了直觀形象的模型。

2.北師大版教材編寫意圖。

（1）在天氣預(yù)報(bào)中，學(xué)生經(jīng)歷并創(chuàng)造了用符號或圖形表示零上溫度和零下溫度，并溝通了多種表示方法之間的聯(lián)系，優(yōu)化用符號表示的方法，產(chǎn)生了用負(fù)數(shù)表示的現(xiàn)實(shí)需求。

（2）在從溫度計(jì)中認(rèn)、讀、找溫度的過程中，學(xué)生很直觀地感受負(fù)數(shù)的意義，比較零上溫度與零下溫度之間的高低，初步擴(kuò)充對數(shù)的認(rèn)識等。

（3）引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合溫度的生活經(jīng)驗(yàn)，對帶符號的溫度進(jìn)行比較。

由此看來，兩個(gè)版本的教材都采用了把溫度計(jì)作為認(rèn)識負(fù)數(shù)的直觀現(xiàn)實(shí)模型。在溫度計(jì)上體會負(fù)數(shù)的含義，并進(jìn)行負(fù)數(shù)大小的直觀比較。

四、學(xué)生現(xiàn)狀，教學(xué)起點(diǎn)

在《科學(xué)》（教科版）三年級下冊教材中《溫度與溫度計(jì)》一課中，學(xué)生應(yīng)該了解溫度計(jì)的用途、如何工作、如何識讀。而本課的要旨不在于溫度本身，而是把溫度作為研究的背景，初步體會相反意義的量?！犊茖W(xué)》在先，《數(shù)學(xué)》在后。在科學(xué)課上對于溫度表示的方法是告知的方式；而數(shù)學(xué)課應(yīng)該讓他們感受這種表示方法的必要性。

前測結(jié)果統(tǒng)計(jì)：

啟示：1.學(xué)生知道有比0 還小的數(shù)，但是不明白含義（附、復(fù)和副可以推知）。2.學(xué)生對負(fù)數(shù)出現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)背景是豐富的（電梯、天氣預(yù)報(bào)、計(jì)算器、考試得分）。3.對于把小數(shù)看成比0 小的數(shù)，確實(shí)令人擔(dān)憂。（說明對于小數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識不到位）4.很多學(xué)生對溫度計(jì)的認(rèn)識停留在體溫計(jì)的認(rèn)知層面上。

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入，引入負(fù)數(shù)

1．讀文字感受相反。

師：同學(xué)們請看下面兩段文字，誰能把它深情地朗讀一下？

李老板辛苦奮斗一年賺了100 萬塊錢。

王老板辛苦奮斗一年虧了100 萬塊錢。

（讀第二句學(xué)生大笑）

師：你的笑背后有含義嗎？

生：一個(gè)賺100 萬，一個(gè)是虧100 萬。

師：這兩個(gè)100 萬一樣嗎？為什么？

生：不一樣，100 萬的數(shù)量是一樣的，但是一個(gè)是虧了。

師：同樣是100 萬，如何把“虧”和“賺”區(qū)分開呢？接下來把時(shí)間交給你們，請你們創(chuàng)造一個(gè)表達(dá)的方法，讓別人一眼看出兩者的不同。

學(xué)生獨(dú)立創(chuàng)造，一位學(xué)生展示并解讀自己的創(chuàng)造：+100 萬，-100 萬。

師：這兩個(gè)100 萬有什么不同？

生：-100 萬在賬單中表示的是欠100 萬。

師：“-”這個(gè)符號以前見過嗎？

生：在溫度計(jì)中見過的。

師：（呈現(xiàn)三種不同的表達(dá)方式）你能看懂他們的表達(dá)方式嗎？

師：在這三種方式中你最喜歡哪一種表達(dá)方式？

生：第③種，因?yàn)榈冖鄯N簡潔。

2.生活經(jīng)驗(yàn)感知相反。

師：同學(xué)們，帶著對符號的美好感覺，讓我們一起來走近周末的霍山天氣。

（PPT 呈現(xiàn)霍山周末溫度）

學(xué)生齊讀溫度。（霍山：最高零上3 攝氏度，最低零下3 攝氏度）

師：這兩個(gè)3 攝氏度一樣嗎？哪里不一樣？

生：不一樣。第一個(gè)是零上，第二個(gè)是零下。

師：請將這兩個(gè)不同的溫度用數(shù)學(xué)符號區(qū)分開。

（學(xué)生板演：+3℃，-3℃）

教師引導(dǎo)觀察并總結(jié)：這樣就將兩者區(qū)分開，數(shù)學(xué)真的很好，用簡單的符號表達(dá)不同的數(shù)學(xué)含義。（同時(shí)介紹了攝氏度的書寫以及攝氏度的由來即為了紀(jì)念瑞典著名的天文學(xué)家攝爾修斯取第一個(gè)字母C）

二、深度探索，建構(gòu)模型

師：請同學(xué)們在溫度計(jì)上找出+3℃的位置。

師：（從學(xué)生中選出兩幅不同的作品）什么原因造成一個(gè)3 在上，一個(gè)3 在下。

生：中間沒有標(biāo)出0。

師：看來，0 的位置很重要。（教師順手在黑板上標(biāo)出0 攝氏度的位置）

（請一位學(xué)生在黑板上標(biāo)出+3℃的位置）

（全體學(xué)生一起數(shù)出+3℃的位置。讓更多的學(xué)生體會+3℃的位置的由來）

師：-3℃在什么地方？

（全班一起數(shù)出-3℃的位置，關(guān)注讀法、寫法、位置）

師：接下來讓我們一起來感受溫度的變化。氣象學(xué)家發(fā)現(xiàn)溫度從中午的12 點(diǎn)開始每2 個(gè)小時(shí)大概下降1 攝氏度。如果此時(shí)此刻是3℃，那么2 個(gè)小時(shí)之后是多少攝氏度？

生：2℃。

師：哪位同學(xué)能夠用算式表達(dá)這個(gè)降溫的過程？

生：3℃-1℃=2℃。

師：如果又過了2 個(gè)小時(shí)，此時(shí)的溫度是多少？

以此類推：2℃-1℃=1℃ 1℃-1℃=0℃

師：（當(dāng)學(xué)生寫出：0℃-1℃= 的時(shí)候）停！此時(shí)此刻減的結(jié)果是多少？

生：（指著溫度計(jì)齊說）-1℃。

生：-1℃-（-1℃）=-2℃。

師：這個(gè)算式是表達(dá)繼續(xù)降溫1 攝氏度嗎？

生：錯的，減1 攝氏度，不是減零下1 攝氏度。

生：-2℃-1℃=-3℃。

師：同學(xué)們帶著對溫度的美好感覺，請幫助吳老師選擇衣服以便我元旦進(jìn)行旅行。

出示：漠河、西安、臺北三地不同的氣溫。

師：同學(xué)們對溫度的感覺真好，下面把目光投向大屏幕，仔細(xì)觀察溫度計(jì)上這些數(shù)字如何變化的？（動態(tài)演示以0 為起點(diǎn)，零上溫度與零下溫度向兩邊不斷發(fā)展，形成數(shù)軸）

生：零上溫度逐漸上升。

生：零下溫度逐漸下降。

三、計(jì)算推理，打通關(guān)聯(lián)

再次把學(xué)生的目光引向算式，此時(shí)此刻教師把帶有攝氏度的符號擦去形成：

師：請仔細(xì)觀察第一排的算式有什么特點(diǎn)？

生：攝氏度沒有了。

師：這樣的算式你在什么地方見過？

生：一年級。

生：第一排算式是大數(shù)減去小數(shù)。

師：再仔細(xì)觀察第二排，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：0-1，0 減不了1 呀！

師：老師再次把攝氏度的符號寫上。

生：第二排算式是小數(shù)減去大數(shù)。

師：你們長本領(lǐng)了，不知不覺中用小數(shù)減去大數(shù)產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)就是這樣充滿著奧秘與神奇。其實(shí)在數(shù)的發(fā)展過程中，負(fù)數(shù)只是其中的一分子。從此以后（出示橫放的數(shù)軸），我們的數(shù)軸也由原來的射線變成一條直線。當(dāng)然這些都不是終點(diǎn)，隨著學(xué)習(xí)的深入，數(shù)的家庭還將增添新的成員，讓我們共同期待。

四、全課小結(jié)，自然延伸

1.進(jìn)行選詞填空：副數(shù) 附數(shù) 負(fù)數(shù)

2.到黑板上圈出給你留下印象最深的地方。

【課后反思】

一、充分發(fā)揮溫度計(jì)的數(shù)學(xué)作用

1.溫度計(jì)直觀模型沒有標(biāo)出0℃的位置，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中體悟分界點(diǎn)的重要作用。

2.以溫度計(jì)作為載體進(jìn)行減法計(jì)算，在去除攝氏度符號以后實(shí)現(xiàn)減法計(jì)算的封閉性，讓學(xué)生體悟到負(fù)數(shù)的產(chǎn)生順理成章。

二、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

1. 導(dǎo)入環(huán)節(jié)突出負(fù)數(shù)的核心本質(zhì)——數(shù)量相等，意義相反。人民幣的收支個(gè)人體驗(yàn)要好于溫度的體驗(yàn)，學(xué)生在對比研讀的時(shí)候感到有趣，同時(shí)體驗(yàn)負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性。

2.差異是深度學(xué)習(xí)的重要資源。教師首先應(yīng)尊重差異，努力構(gòu)建開放型的數(shù)學(xué)課堂。有的放矢地傾聽差異、引導(dǎo)差異、點(diǎn)撥差異、放大差異、糾偏差異，讓數(shù)學(xué)課堂飛得更高即站在兒童立場上進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。

3.教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)到多少，而且要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)的道路上走多遠(yuǎn)。教師要做到對教學(xué)內(nèi)容的高屋建瓴，對數(shù)學(xué)教育的理解高站位，基于對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的深度開掘，關(guān)注知識的前世今生，這樣教學(xué)內(nèi)容也將更加豐滿，為學(xué)生的思維提供一個(gè)廣闊的學(xué)習(xí)背景，激發(fā)他們深度的思考。突出知識的架構(gòu)，打通彼此的關(guān)聯(lián)。讓數(shù)學(xué)的味道更濃一些，以數(shù)學(xué)學(xué)科的力量助推學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

三、課后訪談，啟示未來

課后對學(xué)生進(jìn)行了深度訪談發(fā)現(xiàn)：1.對零下溫度大小的比較僅僅依賴于課中的三次滲透（選擇衣服、觀察溫度計(jì)上的數(shù)據(jù)規(guī)律、減法計(jì)算）可能不夠明晰。2.對正號的省略沒有說明，致使部分學(xué)生對省略以后的數(shù)不認(rèn)同是正數(shù)。

綜上所述，要想讓學(xué)生深度地學(xué)習(xí)，教師需要深度地教。抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用溫度計(jì)的直觀模型實(shí)現(xiàn)負(fù)數(shù)的雙向認(rèn)知即從現(xiàn)實(shí)背景和數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)部兩個(gè)角度來認(rèn)識負(fù)數(shù)。不可否認(rèn)學(xué)生對負(fù)數(shù)的認(rèn)識僅僅依賴一節(jié)課教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因?yàn)榻逃锹乃囆g(shù)，但是作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以為他們埋下負(fù)數(shù)認(rèn)知的種子。