不同磁場構(gòu)型下Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性的數(shù)值研究及動態(tài)模態(tài)分解*

董國丹 郭則慶 秦建華 張煥好? 姜孝海 陳志華 沙莎

1)(南京理工大學(xué),瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

2)(City College of New York,The City University of New York,New York 10031,USA)

3)(北京電子工程總體研究所,北京 100854)

1 引 言

激波經(jīng)過流體分界面,誘導(dǎo)界面微弱擾動從線性發(fā)展為非線性的現(xiàn)象被稱為Richmyer-Meshkov(R-M)不穩(wěn)定性[1,2].界面兩側(cè)在R-M不穩(wěn)定性的作用下產(chǎn)生剪切速度差,誘導(dǎo)Kelvin-Helmholtz(K-H)不穩(wěn)定性出現(xiàn).在超燃沖壓發(fā)動、慣性約束核聚變、天體物理、航空航天等領(lǐng)域,R-M和K-H不穩(wěn)定性作用于流體分界面,誘導(dǎo)界面卷起失穩(wěn)并最終湍流轉(zhuǎn)捩.其中,在超燃沖壓發(fā)動機(jī)中,R-M不穩(wěn)定性能促進(jìn)燃料充分燃燒; 而在慣性約束核聚變中,外殼燃料形成的等離子體會受到R-M和K-H不穩(wěn)定性的作用,進(jìn)而阻礙聚變反應(yīng)的產(chǎn)生[3].且這些領(lǐng)域中流體會被電離,受到磁場的影響.基于此,本文對磁流體動力學(xué)(magnetohydrodynamic,MHD)中R-M不穩(wěn)定性的發(fā)展進(jìn)行研究.

人們已經(jīng)對無磁場情況下界面R-M不穩(wěn)定性進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究、理論分析和數(shù)值模擬.Haas和Sturtevant[4]用塑料薄膜形成氣泡,采用陰影攝像技術(shù)對氣泡變形進(jìn)行過程捕捉,發(fā)現(xiàn)入射激波經(jīng)過輕質(zhì)(重質(zhì))氣泡后發(fā)散(聚焦).但因?qū)嶒?yàn)技術(shù)的限制,他們的實(shí)驗(yàn)不能得到較好的定量分析結(jié)果,且塑料薄膜形成的氣泡會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有影響.Layes等[5,6]采用多重曝光陰影技術(shù),對不同激波強(qiáng)度下不同介質(zhì)(He,N2,Kr)球形氣柱變形過程進(jìn)行了研究,并定量分析了界面運(yùn)動,結(jié)果表明氣柱界面運(yùn)動速度在發(fā)展后期基本保持不變.同樣因?qū)嶒?yàn)技術(shù)所限,他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不能清晰地反映復(fù)雜波系演化過程.Picone和Boris[7]利用數(shù)值算法對激波沖擊氣柱導(dǎo)致其變形的過程進(jìn)行了更加完整細(xì)致的研究.近年來,Zhai等[8]和Luo等[9]采用肥皂泡膜技術(shù)直接形成氣泡,排除了塑料薄膜對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.結(jié)合高速攝像技術(shù),他們對激波與各種形狀(三角形、四邊形、菱形)氣柱相互作用的復(fù)雜過程進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究,分析了波系演化過程及相界面失穩(wěn)機(jī)理,并對界面運(yùn)動和波系發(fā)展進(jìn)行了定量分析.沙莎等[10,11]對R22氣柱和三維SF6氣泡進(jìn)行的數(shù)值研究表明,復(fù)雜波系在氣柱內(nèi)部聚焦并誘導(dǎo)射流.Ding等[12]成功設(shè)計(jì)了二維氣柱界面不穩(wěn)定性研究實(shí)驗(yàn),對二維輕質(zhì)氣柱界面失穩(wěn)機(jī)理、波系演化過程進(jìn)行了定性和定量研究,發(fā)現(xiàn)二維和三維界面不穩(wěn)定發(fā)展的區(qū)別較大.

此外,R-M不穩(wěn)定性多存在于高能物理和天體物理中.流體在這些領(lǐng)域中多以等離子體狀態(tài)存在,易受磁場的影響.通過數(shù)值算法求解理想MHD方程組,Samtaney[13]和Wheatley等[14]研究了斜平面連續(xù)間斷面(oblique planar contact discontinuity)R-M不穩(wěn)定性.在他們的研究中,平面激波自輕質(zhì)流體進(jìn)入重質(zhì)流體,磁場方向垂直于波陣面,即縱向磁場構(gòu)型.研究表明,通過干擾激波在接觸間斷面(contact discontinuity)上的折射過程,在磁場的作用下,折射激波出現(xiàn)分支,產(chǎn)生慢磁聲波和中強(qiáng)度磁聲波(slow and intermedia magnetosonic shocks),因此渦量沿著 Afvén波分布,而不再沉積于界面,最終磁場抑制了界面不穩(wěn)定性的發(fā)展.同時(shí),Wheatley等[15]基于理想不可壓MHD,對縱向磁場構(gòu)型下,正弦擾動界面增長進(jìn)行了理論推導(dǎo).他們發(fā)現(xiàn)在線性發(fā)展階段,界面擾動不受磁場影響,但是在界面擾動發(fā)展后期,磁場抑制界面不穩(wěn)定性發(fā)展.同樣通過理論推導(dǎo),Cao等[16]的研究表明,剪切效應(yīng)加速界面失穩(wěn),磁效應(yīng)抑制R-M 不穩(wěn)定性的發(fā)展,其中洛倫茲力是磁效應(yīng)抑制R-M不穩(wěn)定的主要機(jī)理.但Wheatley等[15]和Cao等[16]的單模擾動界面形狀過于簡單,在工程和實(shí)際研究中氣柱界面更復(fù)雜,且多形成封閉氣柱.董國丹等[17]對縱向磁場作用下封閉三角形氣柱R-M不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)在縱向磁場作用下,界面不穩(wěn)定小渦序列消失,不穩(wěn)定性得到抑制.此研究雖然考慮了封閉氣柱,但三角形氣柱界面與入射激波作用過程中入射激波角不變,波系演化過程相對簡單.而入射激波沖擊封閉圓形氣柱的過程中入射激波角不斷變化,流場信息更加復(fù)雜且更具代表性.再者,為優(yōu)化磁控效果,不同磁場構(gòu)型下氣柱界面不穩(wěn)定性的機(jī)理研究十分必要.Sano等[18,19]發(fā)現(xiàn)R-M不穩(wěn)定性會放大磁場,且放大后的磁場能抑制R-M不穩(wěn)定性的發(fā)展.

動態(tài)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)技術(shù)能從復(fù)雜的流體現(xiàn)象分解出具有代表性的時(shí)空特征擬序結(jié)構(gòu)(coherent structure),因而在對復(fù)雜流體現(xiàn)象分析、預(yù)測、控制等方面具有十分重要的作用[20].Schmid等[21,22]詳細(xì)介紹了DMD算法,證明其在多維數(shù)據(jù)處理方面有巨大的應(yīng)用前景,并首次將DMD用于方腔流和射流的研究.此外,DMD還可用于分析非線性系統(tǒng)[23].Rowley等[24]證明了DMD與Koopman算子關(guān)系密切,并基于DMD對三維非線性復(fù)雜射流現(xiàn)象進(jìn)行了研究.近年來DMD技術(shù)不斷發(fā)展,并被用于對復(fù)雜流體現(xiàn)象的分析.本文將DMD用于界面不穩(wěn)定性的研究.

實(shí)驗(yàn)中要生成穩(wěn)定的輕質(zhì)氣柱相對困難,且國內(nèi)外關(guān)于磁場作用下R-M不穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)研究仍未成功,因此,通過數(shù)值模擬研究磁場對界面不穩(wěn)定性的作用具有重要的意義.此外,數(shù)值模擬求解MHD方程組時(shí),分裂格式算法不能保證每一步計(jì)算中磁場的散度都為零,因此需要更高階的通量重構(gòu)算法和非分裂多維積分算子[17].本文采用分段拋物線法(piecewise parabolic method)對守恒量進(jìn)行三階重構(gòu),以得到具有二階精度的Godunov通量[25].另外,為了保證磁場散度為零,采用CTU+CT(corner transport upwind + constrain transport)算子進(jìn)行多維積分[26-28].本文基于理想MHD,結(jié)合DMD技術(shù)對無磁場、橫向和縱向磁場構(gòu)型下,激波沖擊封閉輕質(zhì)圓形氣柱(97%N2+3% SF6)的過程進(jìn)行研究,分析討論磁場構(gòu)型對界面不穩(wěn)定性的作用,為實(shí)驗(yàn)研究和實(shí)際應(yīng)用提供參考.

2 數(shù)值計(jì)算方法和模型

不考慮歐姆耗散、熱傳導(dǎo)、霍爾效應(yīng)及雙極擴(kuò)散效應(yīng),即基于理想MHD方程組,本文對磁場作用下輕質(zhì)圓形氣柱的界面不穩(wěn)定性發(fā)展進(jìn)行研究.守恒形式的理想MHD方程組如下:

其中ρ為密度,v為速度,B為磁感應(yīng)強(qiáng)度,P為壓強(qiáng),E為總能,γ為比熱比,μ0為磁導(dǎo)率.

計(jì)算模型如圖1所示,計(jì)算域?yàn)?00 mm×80 mm,上下及右邊界均為固壁.初始時(shí)刻,平面入射激波IS自左邊界向右運(yùn)動,撞擊輕質(zhì)氣柱(97%N2+3% SF6).磁場強(qiáng)度均為0.01 T,B1為縱向磁場構(gòu)型,即磁場方向沿著x軸;B2為橫向磁場構(gòu)型,即沿著y軸.氣柱直徑初始D0=35 mm,其中心距左邊界30 mm,外流場充滿SF6氣體,來流馬赫數(shù)Ma=1.29,氣柱內(nèi)外溫度T0=293.15 K,氣柱內(nèi)外壓強(qiáng)P=1 atm(1 atm=101325 Pa),在求解理想MHD方程組時(shí),各氣體的磁導(dǎo)率均取真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7N·A-2.其他氣體參數(shù)如表1所示.

圖1 計(jì)算模型圖Fig.1.Computational model.

表1 氣體參數(shù)表Table 1. Gas parameters.

3 結(jié)果與討論

3.1 網(wǎng)格無關(guān)性和算例驗(yàn)證

圖2(a)—(c)為不同網(wǎng)格數(shù)下密度紋影圖,圖2(d)為不同網(wǎng)格數(shù)下沿圖中藍(lán)色虛線的密度比.由圖2可知,隨著網(wǎng)格數(shù)的增加,本文數(shù)值結(jié)果能清晰地反映復(fù)雜波系和界面次級渦,且計(jì)算結(jié)果逐漸收斂.因此本文選取 2000×800的網(wǎng)格數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

圖3為激波與輕質(zhì)氣柱相互作用過程中實(shí)驗(yàn)[12](上)與本文數(shù)值(下)結(jié)果的對比.由圖3可見,本文算法能準(zhǔn)確地反映波系的演化過程、界面和不穩(wěn)定渦序列的發(fā)展.且界面發(fā)展后期,馬赫桿處的滑移線SL(同圖4(e))仍清晰可見.

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證(a)500×200;(b)1000×400;(c)2000×800;(d)密度界面網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證.ρ/ρ1為沿氣柱對稱軸密度比,其中ρ是流體密度,ρ1是SF6氣體密度; CRS: 弧形反射激波; LI: 氣柱左邊界; TS1: 透射激波; RI: 氣柱右邊界Fig.2.Grid convergence validation:(a)500×200;(b)1000×400;(c)2000×800;(d)convergence of density profile.ρ/ρ1 is the ratio of fluid density to SF6 density.CRS: curved reflected shock; LI: cylinder's left interface; TS1: transmitted shock; RI: cylinder's right interface.

3.2 無磁場時(shí)激波與氣柱的相互作用

圖3 激波與N2氣柱相互作用過程實(shí)驗(yàn)[12](上)與本文數(shù)值(下)密度紋影圖的對比(IS: 入射激波; TS1: 透射激波; TS3: 三次透射激波)(a1)t=120 μs;(a2)t=120 μs;(b1)t=280 μs;(b2)t=280 μs;(c1)t=580 μs;(c2)t=580 μs;(d1)t=1100 μs;(d2)t=1100 μsFig.3.The comparison of experimental and numerical density schlieren images during the interaction between the incident shock wave and the N2 cylinder(IS: incident shock; TS1: transmitted shock; TS3: third transmitted shock):(a1)t=120 μs;(a2)t=120 μs;(b1)t=280 μs;(b2)t=280 μs;(c1)t=580 μs;(c2)t=580 μs;(d1)t=1100 μs;(d2)t=1100 μs.

圖4 無磁場時(shí)激波與N2氣柱作用過程中的密度紋影圖(IS: 入射激波; TS1: 透射激波; CRS: 弧形反射激波; RRW: 反射稀疏波;FPS: 自由前導(dǎo)激波; TS2: 二次透射激波; RS1:反射激波; MS: 馬赫桿; TP: 三波點(diǎn); FP: 聚焦點(diǎn); S1: 激波1; RAS: 折射激波; TS3:三次透射激波; RS2: 二次反射激波; TS4: 四次透射激波; URS:上壁面反射激波; LRS:下壁面反射激波; BRS: 尾壁反射激波; SL:滑移線)(a)t=160 μs;(b)t=180 μs;(c)t=210 μs;(d)t=240 μs;(e)t=290 μs;(f)t=330 μs;(g)t=430 μs;(h)t=700 μs;(i)t=1200 μs;(j)t=1650 μsFig.4.The density schlieren image sequences during the interaction between the incident shock and N2 cylinder in the absence of magnetic fields(IS: incident shock; TS1: transmitted shock; CRS: curved reflected shock; RRW: reflected rarefaction shock; FPS: free precursor shock; TS2: second transmitted shock; RS1: reflected shock; MS: Mach stem; TP: triple point; FP: focus point; S1: shock 1;RAS: refracted shock; TS3: third transmitted shock; RS2: second reflected shock; TS4: fourth transmitted shock; URS: upper wall reflected shock; LRS: lower wall reflected shock; BRS: back wall reflected shock; SL: slip line):(a)t=160 μs;(b)t=180 μs;(c)t=210 μs;(d)t=240 μs;(e)t=290 μs;(f)t=330 μs;(g)t=430 μs;(h)t=700 μs;(i)t=1200 μs;(j)t=1650 μs.

圖4是無磁場時(shí),激波與輕質(zhì)氣柱(97%N2+3% SF6)相互作用過程的密度紋影圖.入射激波IS經(jīng)過輕質(zhì)界面,在氣柱內(nèi)產(chǎn)生向下游傳播的透射激波TS1,在氣柱外產(chǎn)生向上游傳播的膨脹波RRW和弧形反射激波CRS,形成第一個(gè)透射-反射激波結(jié)構(gòu)(TS1-CRS); 同時(shí)由于輕質(zhì)氣柱聲阻抗小,TS1向氣柱外折射出自由前導(dǎo)激波FPS,如圖4(a)所示.緊接著IS與FPS發(fā)生馬赫反射,形成馬赫桿MS和三波點(diǎn)TP,且發(fā)展后期馬赫桿處的滑移線SL(圖4(e))仍可見.當(dāng)TS1運(yùn)動到下游界面時(shí),其向氣柱內(nèi)外分別傳播出二次透射激波TS2和反射激波RS1,形成第二個(gè)透射-反射激波結(jié)構(gòu)(TS2-RS1),此時(shí) TS2與 FPS合并(圖4(b)).隨著RS1向上游傳播,其于t=210 μs在 FP點(diǎn)聚焦(圖4(c)),聚焦點(diǎn)壓力隨后迅速向外膨脹,產(chǎn)生激波S1,S1向下游界面折射出激波RAS,此時(shí)界面在復(fù)雜波系的作用下開始出現(xiàn)微弱擾動.當(dāng)S1運(yùn)動到上游界面(圖4(e))時(shí),第三個(gè)透射-反射激波結(jié)構(gòu)(TS3-RS2)形成,SF6射流(SF6Jet)開始出現(xiàn),界面擾動增加.

t=330 μs時(shí)(圖4(f)),RS2穿過下游界面產(chǎn)生4次透射激波TS4,同時(shí)來自上下壁面的反射激波URS、LRS向氣柱中心運(yùn)動,界面擾動劇烈并逐漸開始卷起失穩(wěn),如圖4(f)所示.URS和LRS于t=430 μs再次沖擊氣柱,加速界面失穩(wěn),SF6射流兩側(cè)開始卷起.隨后氣柱界面不斷卷起形成一系列小渦不穩(wěn)定序列,SF6射流兩側(cè)形成兩對主渦,如圖4(i)所示.t=1200 μs時(shí),SF6射流穿過下游界面,其兩側(cè)的兩對主渦不斷發(fā)展加速氣柱內(nèi)外氣體混合,氣柱發(fā)展成為雙耳形.在來自尾壁的反射激波BRS沖擊氣柱,大量不穩(wěn)定渦串出現(xiàn),氣柱湍流混合劇烈,如圖4(j)所示.

3.3 磁場作用下激波與氣柱的相互作用

圖5為縱向(上)和橫向磁場(下)構(gòu)型下,激波與氣柱相互作用過程中的密度紋影圖.由圖5可知,激波與界面相互作用時(shí)復(fù)雜波系的演化過程與無磁場時(shí)(圖4)一樣,即多次透射-反射結(jié)構(gòu)、馬赫反射、壁面反射等復(fù)雜波系結(jié)構(gòu)仍出現(xiàn),且出現(xiàn)時(shí)間一致.這表明磁場對R-M不穩(wěn)定性發(fā)展過程中復(fù)雜波系的演化沒有太大的影響.此外在兩種磁場作用下,界面不穩(wěn)定小渦序列均明顯減少,SF6射流上下兩側(cè)的渦對消失,氣柱界面變得光滑.但在縱向磁場構(gòu)型下,下游界面中心處從290 μs開始出現(xiàn)少許擾動(圖4(a1)),該擾動不斷增長并在430 μs形成明顯的擾動序列(圖4(a4)).且后期氣柱內(nèi)部因SF6射流仍能穿過下游界面而出現(xiàn)少許擾動,發(fā)展后期界面仍呈雙耳形.橫向磁場構(gòu)型下,SF6射流不能穿過下游界面,界面十分光滑,小渦序列完全消失,后期氣柱不再呈雙耳形.由以上分析可知,兩種磁場構(gòu)型均能抑制界面不穩(wěn)定性的發(fā)展,且橫向磁場抑制效果更好.

3.4 磁場對界面渦量及特征尺寸的作用

流場在激波擾動下產(chǎn)生速度,圖6(a1)、(a2)中紅色實(shí)線表示流線,藍(lán)色實(shí)線表示磁力線.沿同一水平線段A,洛倫茲力x和y方向分量Fx和Fy的具體數(shù)值如圖6(d1)、(d2)所示.縱向磁場構(gòu)型下(圖6第一行),磁力線與流線夾角小; 而橫向磁場構(gòu)型下(圖6第二行),磁感線與流線幾乎垂直.在R-M不穩(wěn)定性的作用下,兩種磁場構(gòu)型的磁力線在氣柱界面均發(fā)生扭曲,且上游界面處磁場線扭曲程度更大(圖6(a1)、(a2)).磁力線扭曲程度較大的上游界面能產(chǎn)生更強(qiáng)的洛倫茲力.此外,縱向磁場作用下,下游界面內(nèi)(外)Fx和Fy反對稱分布,即界面內(nèi)(外)Fx為負(fù)(正),Fy為正(負(fù)); 而橫向磁場作用下,下游界面內(nèi)(外)Fx和Fy對稱分布,即界面內(nèi)(外)為Fx為負(fù)(正),Fy也為負(fù)(正).其中,下游界面處,橫向磁場產(chǎn)生的洛倫茲力各個(gè)分量均大于縱向磁場.

圖5 縱向B1(上)和橫向B2(下)磁場構(gòu)型下,激波與N2氣柱相互作用過程的密度紋影圖(a1)t=290 μs;(b1)t=290 μs;(a2)t=330 μs;(b2)t=330 μs;(a3)t=430 μs;(b3)t=430 μs;(a4)t=700 μs;(b4)t=700 μs;(a5)t=1200 μs;(b5)t=1200 μsFig.5.The density schlieren image sequences during the interaction between the incident shock and N2 cylinder in the presence of the longitudinal B1(upper)and transverse B2(lower)magnetic fields:(a1)t=290 μs;(b1)t=290 μs;(a2)t=330 μs;(b2)t=330μs;(a3)t=430 μs;(b3)t=430 μs;(a4)t=700 μs;(b4)t=700 μs;(a5)t=1200 μs;(b5)t=1200 μs.

圖6 t=200 μs時(shí),縱向和橫向磁場構(gòu)型的結(jié)果(a1)縱向磁場的磁力線(藍(lán)色)與流線(紅色)圖,其中背景為密度紋影圖;(b1)橫向磁場的磁力線(藍(lán)色)與流線(紅色)圖,其中背景為密度紋影圖;(a2)縱向磁場x方向的洛倫茲力Fx分布云圖;(b2)橫向磁場x方向的洛倫茲力Fx分布云圖;(a3)縱向磁場y方向洛倫茲力Fy分布云圖;(b3)橫向磁場y方向洛倫茲力Fy分布云圖;(a4)縱向磁場沿線段A(圖(a2)中黑色線段所示)x和y方向洛倫茲力定量圖;(b4)橫向磁場沿線段A(圖(a2)中黑色線段所示)x和y方向洛倫茲力定量圖.其中線段A兩端點(diǎn)分別為(0,0.01),(0.025,0.01)Fig.6.Results from longitudinal and transverse magnetic fields at t=200 μs:(a1)longitudinal magnetic field lines(blue)and streamlines(red),the background are density schlieren images;(b1)transverse magnetic field lines(blue)and streamlines(red),the background are density schlieren images;(a2)Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field in x direction,Fx;(b2)Lorentz forces distribution of transverse magnetic field in x direction,Fx;(a3)Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field in y direction,Fy;(b3)Lorentz forces distribution of transverse magnetic field in y direction,Fy;(a4)the specific Lorentz forces distribution of longitudinal magnetic field along a horizontal line A,indicated by the black solid line in Fig.6(a2),and the two end points are(0,0.01),(0.025,0.01);(b4)the specific Lorentz forces distribution of transverse magnetic field along a horizontal line A,indicated by the black solid line in Fig.6(a2),and the two end points are(0,0.01),(0.025,0.01).

結(jié)合流場渦量分布云圖(圖7)可知,兩種磁場構(gòu)型下,上游界面磁力線因R-M不穩(wěn)性的作用而發(fā)生嚴(yán)重扭曲,從而產(chǎn)生較強(qiáng)的洛倫茲力,在該洛倫茲力作用下,渦量沿界面兩側(cè)分布,且渦層相距甚遠(yuǎn),渦旋方向與無磁場時(shí)一致.下游界面處,磁力線扭曲程度小,其中縱向磁場因洛倫茲力更小,渦層距離較近,渦層之間會相互干擾,使得下游界面在磁場作用下仍存在擾動; 但橫向磁場構(gòu)型下,初始磁場方向與流線垂直,相對于縱向磁場,能產(chǎn)生較大的洛倫茲力,渦量分層較縱向磁場更為明顯,因此橫向磁場對下游界面不穩(wěn)定性的控制效果更好.

圖8為無量綱后氣柱特征尺度隨時(shí)間的變化圖.以氣柱受擾動前的直徑D0=35 mm無量綱化氣柱長度和高度,分別用L/D和H/D表示,其中L為氣柱界面特征長度,H為氣柱界面高度; 無量綱時(shí)間τ=tWS/D0,其中WS是入射激波的速度;B0=0 T、B1=0.01 T和B2=0.01 T分別為無磁場、縱向磁場以及橫向磁場構(gòu)型.如圖8(a)所示,無論有無磁場,在激波沖擊下,L迅速減小,后期隨著界面非線性擾動不斷發(fā)展,L增加,且三種情況下L到達(dá)最小值的時(shí)間一樣,因此磁場對波系演化的干擾比較小.此外,兩種磁場構(gòu)型均能控制L的增長,且橫向磁場構(gòu)型控制效果更好; 圖8(b)表明:H波動增加,縱向磁場能在一定程度上控制H的增長,但橫向磁場反而加速了H的增長,這與橫向磁場能產(chǎn)生較大的洛倫茲力相關(guān).

圖7 t=600 μs時(shí)界面渦量分布圖(a)無磁場,B=0 T;(b)縱向磁場,B1=0.01 T;(c)橫向磁場,B2=0.01 TFig.7.The vorticity distribution in the vicinity of the density interface at t=600 μs:(a)in the absence of magnetic fields,B=0 T;(b)in the presence of longitudinal magnetic fields,B1=0.01 T;(c)in the presence of transverse magnetic fields,B2=0.01 T.

圖8 界面特征尺寸隨時(shí)間變化圖(a)長度(L);(b)高度(H).D0=35 mm; Ws: 入射激波速度; t: 時(shí)間Fig.8.The evolution of characteristic scales of the bubble:(a)L,length;(b)H,height.D0=35 mm; Ws,the velocity of the incident shock wave; t,time.

3.5 DMD

DMD能從復(fù)雜的流體現(xiàn)象中提取出具有代表性的時(shí)空擬序結(jié)構(gòu)(coherent structures).290 μs后復(fù)雜波系基本耗散,我們?nèi)?90—340 μs之間的50個(gè)渦量圖進(jìn)行DMD,擬對后期流場不穩(wěn)定性進(jìn)行分析,具體的DMD算法如下:

圖9 對X SVD后的特征值圖Fig.9.The SVD of X.

由圖9可知,X的前21個(gè)特征值對應(yīng)的特征模態(tài)能反映90%以上的流場信息,因此,本文取r=21進(jìn)行SVD分解,在保證流場信息完整性的同時(shí)大大減少第四步的計(jì)算量.

其中*代表共軛轉(zhuǎn)置.此時(shí),

第三步,假設(shè)矩陣A是連接X和X′的最適矩陣(X′=AX ),即A能將上一時(shí)刻的流場數(shù)據(jù)信息X推進(jìn)至下一時(shí)刻X′,可得

第四步,將A(n階方陣)投影到X的正交基U上得到(r階方陣).可見對X進(jìn)行r階SVD 分解能大大減少計(jì)算量.

W的列向量由特征向量組成; Λ 是對角陣,其對角元是相應(yīng)的特征值λk.

第六步,重構(gòu)矩陣A.其中A的特征值由 Λ 給出,特征向量為[30]:

第七步,得到A的特征值和特征向量后,可重構(gòu)渦量圖.令ωk=ln(λk)/Δt,Ω=diag(ω)可得

b為初始時(shí)刻各個(gè)模態(tài)對應(yīng)的振幅.記初始時(shí)刻為X1,可得 X1=Φ?b,則 b=Φ?X1

由A的特征值λk和模態(tài),對有無磁場作用下界面不穩(wěn)定性展開進(jìn)一步研究.設(shè)Y0為某一時(shí)刻流場信息,則后續(xù)時(shí)刻流場信息 Y1、Y2,…,YN為:

由(13)式可知,后期流場信息與 Λ 的對角元λk=a+ib密切相關(guān),其中a反映流場穩(wěn)定性,b反映擾動變化頻率.a＞ 1則該特征值對應(yīng)模態(tài)不穩(wěn)定,a< 1則該特征值對應(yīng)模態(tài)穩(wěn)定; 且b越大,擾動頻率越大.以實(shí)數(shù)為x軸,虛數(shù)為y軸,三種情況下流場特征值λk的如圖10所示,因a是實(shí)數(shù),其特征值會沿實(shí)軸對稱分布[20,21].其中B0_Eigenvalues、B1_Eigenvalues、B2_Eigenvalues分別對應(yīng)無磁場、縱向磁場、橫向磁場構(gòu)型.單位圓(綠色實(shí)線)外的特征值反映不穩(wěn)定模態(tài),且特征值離圓心越近,則相應(yīng)的模態(tài)越穩(wěn)定.本文三種情況下的DMD特征值均在單位圓內(nèi),表明發(fā)展期流場均趨于穩(wěn)定.且無磁場、縱向及橫向磁場三種情況下,基于DMD算法重構(gòu)的渦量圖與原始渦量圖一致(圖11),可見本文DMD算法在有無磁場情況下能準(zhǔn)確地還原流場信息.因此可將DMD技術(shù)用于界面不穩(wěn)定性研究.

圖10 DMD的特征值Fig.10.The eigenvalues of DMD.

圖11 t=290 μs時(shí)原始渦量和DMD重構(gòu)渦量圖(a1)無磁場 B0=0 T,原始渦量圖;(a2)縱向磁場 B1=0.01 T,原始渦量圖;(a3)橫向磁場 B2=0.01 T,原始渦量圖;(b1)無磁場 B0=0.0 T,DMD重構(gòu)渦量圖;(b2)縱向磁場 B1=0.01 T,DMD重構(gòu)渦量圖;(b3)橫向磁場 B2=0.01 T,DMD重構(gòu)渦量圖Fig.11.The distribution of original vorticities and DMD reconstructed vorticities at t=290 μs:(a1)Original vorticities,B0=0 T,hydro cases;(a2)original vorticities,B1=0.01 T,longitudinal magnetic fields;(a3)original vorticities,B2=0.01 T,transverse magnetic fields;(b1)DMD reconstructed vorticities,B0=0 T,hydro cases;(b2)DMD reconstructed vorticities,B1=0.01 T,longitudinal magnetic fields;(b3)DMD reconstructed vorticities,B2=0.01 T,transverse magnetic fields.

圖12 無磁場、縱向和橫向磁場下DMD的四個(gè)不同特征值對應(yīng)的模態(tài)圖(a1)無磁場,λ1=(0.9764,0.0000);(a2)無磁場,λ2=(0.9061,0.2856);(a3)無磁場,λ3=(0.8236,0.5226);(a4)無磁場,λ4=(0.3514,0.8943);(b1)縱向磁場,λ1=(0.9816,0.0000);(b2)縱向磁場,λ2=(0.9423,0.1925);(b3)縱向磁場,λ3=(0.8212,0.5150);(b4)縱向磁場,λ4=(0.3929,0.8828);(c1)橫向磁場,λ1=(0.9648,0.0000);(c2)橫向磁場,λ2=(0.9601,0.1703);(c3)橫向磁場,λ3=(0.8314,0.4774);(c4)橫向磁場,λ4=(0.3718,0.8279)Fig.12.DMD modes with respect to four different eigenvalues in hydro,longitudinal and transverse magnetic fields:(a1)In hydro field,λ1=(0.9764,0.0000);(a2)in hydro field,λ2=(0.9061,0.2856);(a3)in hydro field,λ3=(0.8236,0.5226);(a4)in hydro field λ4=(0.3514,0.8943);(b1)in longitudinal magnetic field,λ1=(0.9816,0.0000);(b2)in longitudinal magnetic field,λ2=(0.9423,0.1925);(b3)in longitudinal magnetic field,λ3=(0.8212,0.5150);(b4)in longitudinal magnetic field,λ4=(0.3929,0.8828);(c1)in transverse magnetic field,λ1=(0.9648,0.0000);(c2)in transverse magnetic field,λ2=(0.9601,0.1703);(c3)in transverse magnetic field,λ3=(0.8314,0.4774);(c4)in transverse magnetic field,λ4=(0.3718,0.8279).

三種情況下,DMD的不同特征值對應(yīng)的模態(tài)如圖12所示.特征值λ1對應(yīng)的模態(tài)反映了流場中穩(wěn)定渦結(jié)構(gòu),其包含了主要流場信息;λ2—λ4反映了流場中高頻小渦序列,且小渦擾動頻率依次增加.可知,無磁場、縱向和橫向磁場構(gòu)型下,DMD均能清晰的將兩種不同尺度擾動提取出來; 雖然磁場作用下界面渦量分層,但分層的渦量中間仍有小渦擾動,其縱向磁場下擾動更多; 無磁場時(shí)氣柱上下游均存在小渦擾動,而縱向磁場作用下小渦擾動集中在下游,橫向磁場下的小渦擾動集中在上游.此外,流場發(fā)展后期,三種情況下流場均較穩(wěn)定,第一模態(tài)的大渦低頻擾動能反映流場主要信息,第二至第四模態(tài)的小渦高頻擾動在大渦外圍不斷卷起,且渦擾動頻率依次增加,渦強(qiáng)度不斷減小.相比于同一模態(tài)的無磁場情況,磁場作用下小渦擾動的頻率不斷減小,橫向磁場下擾動頻率最小.因此,磁場能抑制小渦擾動,且橫向磁場控制效果更好.

4 結(jié) 論

基于理想MHD,本文對無磁場、橫向和縱向磁場構(gòu)型下激波與輕質(zhì)(97%N2+3% SF6)圓形氣柱界面相互作用過程進(jìn)行了數(shù)值研究,得到以下結(jié)論:

縱向和橫向磁場對復(fù)雜波系的演化過程影響甚微,特征波系演化時(shí)間與無磁場時(shí)一致,但磁場能抑制界面不穩(wěn)定性發(fā)展,且相同強(qiáng)度下,橫向磁場抑制效果更佳.其中,三種情況下入射激波上下段均在氣柱外發(fā)生非規(guī)則反射,中間段穿過氣柱形成透射激波,隨后該激波在氣柱內(nèi)來回振蕩,并多次于氣柱界面形成透射-反射激波結(jié)構(gòu).無磁場時(shí),界面卷起不穩(wěn)定渦序列,SF6射流穿過下游界面.兩種磁場下,界面相比于無磁場時(shí)光滑,但縱向磁場下界面仍有少許擾動,而橫向磁場下,界面十分更光滑,SF6射流不再穿過界面.定量分析還表明,兩種磁場均能抑制界面變形.

此外,因R-M不穩(wěn)定性的作用,上游界面處,磁力線發(fā)生嚴(yán)重扭曲,產(chǎn)生較大的洛倫茲力,使渦量沿界面兩側(cè)分層,渦層相距較遠(yuǎn); 而下游界面處,磁力線扭曲程度較小,洛倫茲力小,渦層距離較近.由于橫向磁場的初始磁場方向基本與流場速度垂直,其產(chǎn)生的洛倫茲力較縱向磁場大,下游界面處渦量分層相對清晰.

最后,本文采用DMD對界面不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,結(jié)果顯示: DMD能將不同擾動渦分別提取出來,其中第一模態(tài)的大渦反映了流場的基本信息,其余模態(tài)的小渦反映了高頻擾動序列.無磁場時(shí),氣柱上下游均存在小渦擾動,而縱向和橫向磁場作用下小渦擾動分別集中在上游和下游.磁場作用渦層中仍存在小渦擾動,縱向磁場下擾動更多;三種情況下,小渦擾動頻率依次減小,這表明磁場能抑制小渦擾動頻率,且橫向磁場的抑制效果更好.