數(shù)理金融學的范式危機與變革

● 高 宏

一、引言

數(shù)理金融學是一門運用數(shù)學理論和方法研究金融市場數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的交叉性學科。金融市場大量的實證研究結(jié)果和案例分析表明，數(shù)理金融學建立的資產(chǎn)價格數(shù)學模型與經(jīng)驗事實不一致，不能正確描述資產(chǎn)價格波動現(xiàn)象并預測其變化趨勢，數(shù)理金融學價格模型及定價公式在金融領(lǐng)域中的廣泛應用是導致多次金融危機的罪魁禍首（Triana，2014）。暢銷書《黑天鵝》作者Taleb在《金融時報》上發(fā)表專欄文章，將數(shù)理金融學斥之為“破壞市場的偽科學”。

本文指出了導致數(shù)理金融學陷入嚴重危機的隨機變量假設錯誤，并采用樣本函數(shù)范式建立了積分形式的股票價格隨機游走時間函數(shù)模型，演繹推導出了時間自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)，從理論上證明了股票價格的可預測性，發(fā)現(xiàn)了隱藏在隨機游走中的長期線性趨勢。

二、危機現(xiàn)象

（一）價格模型與經(jīng)驗事實不符

早在1900年，數(shù)理金融學的奠基人、法國數(shù)學家Bachelier在其博士論文《投機理論》中，首先應用概率方法對股票價格隨時間的變化規(guī)律進行研究，發(fā)現(xiàn)股票價格的變化是完全隨機的，并用隨機變量表示任一時刻的股票價格，建立了股票價格算術(shù)布朗運動模型。

1958年，美國海軍研究實驗室的高能物理學家Osborne發(fā)現(xiàn)Bachelier的算數(shù)布朗運動模型存在股票價格會變?yōu)樨摂?shù)的理論缺陷，將其修改為幾何布朗運動模型。

由于Osborne也假設股票價格為隨機變量，因此幾何布朗運動模型的數(shù)學期望為零，無法描述和解釋股票價格波動中存在的長期線性趨勢。為解決這一問題，Samuelson給幾何布朗運動模型增加了線性漂移項，建立了帶漂移的幾何布朗運動模型。但是，線性漂移項中的漂移率為常數(shù)，表明股票價格的短期收益率數(shù)學期望不為零，意味著股票市場中存在著確定性的盈利機會，與股票價格變化完全隨機的觀察現(xiàn)象和數(shù)理金融學“股票價格短期收益率均值為零”的實證研究結(jié)果不符。

此外，幾何布朗運動模型假設股票短期收益率服從正態(tài)分布，與實際股票收益率呈現(xiàn)出的尖峰厚尾特征和中期隨機跳躍現(xiàn)象不符，為了刻畫這種小概率極端變化現(xiàn)象，Merton（2013）又在幾何布朗運動模型中增加了泊松跳躍過程，但仍然沒有解決增加線性漂移項帶來的問題。

（二）定價公式導致金融危機

1973年，Black和Scholes基于Samuelson的幾何布朗運動模型，推導出了著名的BS期權(quán)定價公式。由于從理論上解決了金融衍生產(chǎn)品的定價問題，BS期權(quán)定價公式對各種金融創(chuàng)新工具和金融創(chuàng)新產(chǎn)品的面世起到了重大的推動作用，直接導致了“第二次華爾街數(shù)學革命”，使金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展。

讓人意外的是，BS期權(quán)定價公式的廣泛應用，給金融市場帶來了巨大的災難。由BS期權(quán)定價公式衍生出的計算機股票交易策略，成為直接導致1987、1997和2007年三次重大金融危機的主要原因（Mackenzie，2018），數(shù)理金融學因此陷入了嚴重的困境。一些經(jīng)濟學家多年來一直呼吁，幾何布朗運動模型無法正確描述資產(chǎn)價格現(xiàn)象，BS期權(quán)定價公式永遠不應該使用。

三、危機根源

數(shù)理金融學在100多年的發(fā)展過程中，始終無法解決資產(chǎn)價格數(shù)學模型與事實不符的問題，究其原因，是將金融資產(chǎn)價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系錯誤地假設為隨機變量。

1905年，愛因斯坦使用統(tǒng)計方法建立了布朗運動物理模型。1923年，維納將愛因斯坦的布朗運動物理模型抽象為一個純粹的隨機過程數(shù)學模型，為自然科學、工程技術(shù)和社會科學等領(lǐng)域研究隨機現(xiàn)象提供了基礎(chǔ)數(shù)學工具，因此布朗運動數(shù)學模型也被稱為維納過程。

隨機過程是映射到實數(shù)軸上的二元函數(shù)，有時間和狀態(tài)兩個自變量。對于固定的時間，隨機過程退化為狀態(tài)變量的函數(shù)，稱為隨機變量；對于固定的狀態(tài)，隨機過程退化為時間變量的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)或樣本軌道。

愛因斯坦的布朗運動物理模型描述的是多個懸浮粒子的位移概率分布，維納將多個懸浮粒子的位移抽象為隨機變量，在狀態(tài)空間建立了布朗運動數(shù)學模型。因此，維納過程是定義在狀態(tài)空間的布朗運動狀態(tài)變量模型，不是在時域描述單個布朗粒子運動的樣本函數(shù)模型。維納過程為非平穩(wěn)隨機過程，不具備各態(tài)歷經(jīng)性，其隨機變量的統(tǒng)計平均和樣本函數(shù)的時間平均在概率意義上不等。若將維納過程隨機變量模型及其正態(tài)分布、馬爾科夫和鞅特性直接用于樣本函數(shù)，不僅會發(fā)生“張冠李戴”式的數(shù)學概念錯誤，還會產(chǎn)生一系列與事實嚴重不符的結(jié)論。

從隨機過程角度看，股票價格隨時間演變的過程，就相當于一個布朗粒子的位移隨時間變化的過程，可視為隨機過程試驗中的一次測量結(jié)果，可用隨機過程的一個樣本函數(shù)來表示。但是，數(shù)理金融學卻將其假設為隨機變量（Hull，2013），這意味著數(shù)理金融學的研究對象發(fā)生了根本性的變化，研究對象從單個樣本函數(shù)變化為樣本函數(shù)集合，并在狀態(tài)空間求解時域問題，因此，建立的隨機數(shù)學模型和推導出的所有結(jié)論必然存在根本性的概念錯誤，無法正確描述資產(chǎn)價格波動現(xiàn)象并預測其變化趨勢，這就是數(shù)理金融學產(chǎn)生嚴重危機的范式原因。

四、范式變革

觀察股票價格隨時間變化的過程，雖然股票價格隨時間做無規(guī)律的隨機性變化，但是對于每一個時間值，都有唯一一個確定的股票價格與它對應，因此，股票價格與時間之間的數(shù)量關(guān)系為確定性的函數(shù)關(guān)系，在數(shù)學上只能被抽象為隨機過程樣本函數(shù)，而非隨機過程隨機變量。

要建立能夠正確描述股票價格隨時間演變的數(shù)學模型，數(shù)理金融學必須要摒棄基于隨機變量假設的錯誤范式，全面轉(zhuǎn)換到基于樣本函數(shù)假設和函數(shù)分析方法的正確范式。

表1 舊范式與新范式對比

從表1的對比可以看出，新范式與舊范式之間沒有公約數(shù)，只有隨機變量和樣本函數(shù)、狀態(tài)和時間、集合和元素等質(zhì)的差別。

五、基本理論

本文使用公理化方法，從基本概念和不加證明的基本定律（公理）出發(fā)，演繹推理出可描述股票價格波動現(xiàn)象并揭示其運動規(guī)律的一系列基本結(jié)論（高宏，2018）。

（一）基本概念

定義：若時間函數(shù)x（t）的時間均值為零，時間自相關(guān)函數(shù)滿足

式中為時間間隔，N0為正實常數(shù)，δ（t）為單位沖擊函數(shù)，則稱x（t）為白噪聲函數(shù)，簡稱白噪聲。N0的物理意義代表白噪聲信號在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率。

式（1）表明，白噪聲x（t）僅在時間間隔 =0時才有相關(guān)性。因此，白噪聲x（t）在時域的波形是一串寬度無限窄、起伏變化極快的隨機脈沖（跳躍）。

（二）基本定律

設s（t）為t時刻的股票價格，則股票對數(shù)價格（簡稱股票價格）y（t）=ln s（t）在Δt區(qū)間上的一階差分（對數(shù)收益率）為

式中x（t）為式（1）定義的白噪聲。

式（2）的基本定律表明：股票對數(shù)價格的一階差分為零均值不相關(guān)白噪聲函數(shù)，這是眾多學者通過對股票價格波動現(xiàn)象長期觀察和實證研究得到的規(guī)律性認識。

（三）價格模型

由式（2），有

顯然，式（3）為隨機游走過程樣本函數(shù)模型。由于式（1）沒有對x（t）的概率分布做任何假設，因此式（3）可以同時描述股票價格的短期隨機游走和中期隨機跳躍現(xiàn)象。

若假設x（t）服從正態(tài)分布，則式（3）就是布朗運動或維納過程樣本函數(shù)模型。

將式（2）的差分方程看作離散化微分方程，設y（0）=0，可得積分形式的隨機游走模型：

式（4）的模型參數(shù)（積分上限）會隨時間變化，因此股票價格數(shù)學模型為非線性時變模型。

（四）時間自相關(guān)函數(shù)

股票價格y（t）的時間自相關(guān)函數(shù)為

式中，τ為時間間隔。Ry（τ）在很寬的范圍內(nèi)具有非零值，表明股票價格具有可預測性。

（五）功率譜密度函數(shù)

股票價格y（t）的平均功率有限，自相關(guān)函數(shù)Ry（τ）絕對可積，因此根據(jù)維納-辛欽定理，股票價格y（t）的功率譜密度函數(shù)Sy（ω）是其時間自相關(guān)函數(shù)Ry（τ）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數(shù)，是正弦函數(shù)Sin（ωt）與單調(diào)遞減函數(shù)1/ ωt的乘積。表明股票價格y（t）中的諧波分量波動幅度與頻率ω成反比，y（t）為能量集中在低頻段的紅噪聲。

Sy（0）=N0t2，證明y（t）中存在一條與時間t成正比的線性趨勢線，y（t）圍繞線性趨勢線上下波動。

六、結(jié)論

本文指出了導致數(shù)理金融學陷入嚴重危機的隨機變量假設錯誤，并根據(jù)金融資產(chǎn)價格與時間一一對應的實際現(xiàn)象，將資產(chǎn)價格隨時間演變的過程抽象為隨機過程樣本函數(shù)，采用公理化方法建立了積分形式的隨機游走時間函數(shù)模型，可同時描述股票價格的短期隨機游走、中期隨機跳躍和長期線性漂移現(xiàn)象，演繹推導出了可揭示金融資產(chǎn)價格運動規(guī)律的時間自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)，從理論上證明了股票價格的可預測性，發(fā)現(xiàn)了隱藏在隨機游走過程中的長期線性趨勢?？蔀樽C券投資活動的量化分析、價格預測、資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置及風險管理提供有效可靠的數(shù)學模型和工具。