彈性體導(dǎo)彈自適應(yīng)減振跟蹤控制算法

何陽(yáng)光,李小兵,趙思源,熊思宇

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051)

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,高性能的導(dǎo)彈對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的勝負(fù)起著十分重要的作用,因此,提高導(dǎo)彈的飛行速度、射程與機(jī)動(dòng)性等性能越來(lái)越迫切。為了提高導(dǎo)彈的速度與機(jī)動(dòng)性,導(dǎo)彈的外形便趨于細(xì)長(zhǎng)化設(shè)計(jì)。通常把長(zhǎng)徑比大于15的導(dǎo)彈稱(chēng)為大長(zhǎng)徑比導(dǎo)彈或彈性體導(dǎo)彈,大長(zhǎng)徑比導(dǎo)彈相比于過(guò)去的導(dǎo)彈,由于彈性特征十分明顯,除了要解決參數(shù)攝動(dòng)、干擾和不確定性等問(wèn)題,還要考慮彈性振動(dòng)的抑制。否則有可能會(huì)影響彈上設(shè)備的正常工作,甚至造成損壞。

解決不確定性問(wèn)題,尤其是非匹配不確定性問(wèn)題,常用的方法為反演控制[1],但單純的反演控制存在“計(jì)算爆炸”問(wèn)題,比較好的解決辦法是引入一階低通濾波器,即動(dòng)態(tài)面控制[2]。除了反演控制以外,滑?？刂品椒▽?duì)匹配不確定性具有很強(qiáng)的魯棒性[3],因此,可以將兩者結(jié)合,獲得更好的控制效果。隨著干擾觀測(cè)器的提出,利用干擾觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)中的干擾和不確定性成為解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的一個(gè)新方法[4]。針對(duì)振動(dòng)抑制問(wèn)題,采用常規(guī)的魯棒控制類(lèi)方法僅能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并不能實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的有效抑制[5],彈上設(shè)備依然處于惡劣的工作環(huán)境中。為了解決這個(gè)問(wèn)題,學(xué)者們作了大量研究,Sahjendra[6]針對(duì)模型未知的彈性飛行器的大角度機(jī)動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器,并引入模態(tài)速度反饋補(bǔ)償器抑制彈性振動(dòng),取得了較好的控制效果。此外,Zhen Yu[7]和Rickey[8]等分別采用自適應(yīng)位置反饋和模型預(yù)測(cè)的方法實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的抑制,但以上文獻(xiàn)中均將剛體運(yùn)動(dòng)與彈性振動(dòng)分離,使用了作動(dòng)器產(chǎn)生橫向控制力來(lái)抑制振動(dòng),這樣將會(huì)增加硬件結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。張雷[9]等人采用兩自由度H控制方法,把振動(dòng)模態(tài)引入到性能函數(shù)中,達(dá)到振動(dòng)的主動(dòng)抑制,但沒(méi)有考慮彈性振動(dòng)對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的影響,所設(shè)計(jì)的控制器較復(fù)雜,且對(duì)模型精度有一定要求。Wu Guanghui[10]對(duì)彈性高超聲速飛行器設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測(cè)器的魯棒自適應(yīng)反演控制器,加快了振動(dòng)的衰減速度。采用類(lèi)似方法的還有Wang Na[11],他們都是將彈性模態(tài)視為干擾,利用觀測(cè)器估計(jì)出彈性模態(tài)的值,但所用的彈性高超聲速飛行器模型中彈性振動(dòng)改變的是模型的參數(shù)進(jìn)而影響系統(tǒng)狀態(tài)的變化率,并沒(méi)有直接改變系統(tǒng)狀態(tài)的大小,因此,剛體運(yùn)動(dòng)與彈性模態(tài)的耦合程度低,當(dāng)彈性振動(dòng)直接改變系統(tǒng)狀態(tài)的大小時(shí),彈性模態(tài)的抑制效果一般。Ahmad[12]設(shè)計(jì)了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主動(dòng)振動(dòng)抑制器,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性逼近能力克服彈性振動(dòng)。本文針對(duì)受非匹配不確定影響的彈性體導(dǎo)彈彈性振動(dòng)與剛體運(yùn)動(dòng)耦合問(wèn)題,提出一種基于非線性干擾觀測(cè)器的自適應(yīng)反演控制算法。

1 模型描述

1.1 剛體運(yùn)動(dòng)模型

大氣層內(nèi)導(dǎo)彈俯仰/偏航通道非線性剛體模型為[13]:

(1)

1.2 彈性振動(dòng)模型

在建立彈體彈性振動(dòng)模型之前,先給出彈性坐標(biāo)系的定義:坐標(biāo)系的原點(diǎn)O選擇在彈頭頂點(diǎn)上,Ox軸與剛體彈軸重合,由彈頭指向彈尾,Oy軸在俯仰平面內(nèi),與Ox軸垂直并指向上方,Oz軸與Ox軸和Oy軸垂直,并形成右手直角坐標(biāo)系。將導(dǎo)彈視為兩端自由的歐拉梁,以俯仰通道為例,彈體橫向振動(dòng)的方程為：

(2)

式(2)中,y(x,t)為表征梁彈性變形的函數(shù),m(x)為質(zhì)量分布函數(shù),EI(x)為剛度分布函數(shù),Wy(x,t)為梁受到的側(cè)向力,邊界條件為：

此邊界條件表示梁兩端的彎矩和剪力都為零。

彈性變形函數(shù)y(x,t)的表達(dá)式為：

(3)

式(3)中,qi(t)為第i階振型的廣義坐標(biāo),Φi(x)為第i階模態(tài)振型函數(shù),將式(3)代入式(2),采用分離變量法得到如下廣義坐標(biāo)方程：

(4)

式(4)中,ξi、ωi分別表示第i階振型的阻尼比和固有振動(dòng)頻率,Qi為第i階振型的廣義力,Mi為第i階振型的廣義質(zhì)量,且有：

(5)

Φi(x)=ai(sinhkix+sinkix)+coshkix+coskix,

彈性變形會(huì)引起俯仰角發(fā)生變化,產(chǎn)生一個(gè)附加的角速度,由彈性振動(dòng)產(chǎn)生的附加俯仰角速度為：

(6)

偏航通道振動(dòng)模型與俯仰通道類(lèi)似,為簡(jiǎn)化計(jì)算,本文僅考慮前兩階彈性振動(dòng)模態(tài),結(jié)合式(4)和式(6),下面給出導(dǎo)彈俯仰/偏航通道彈性振動(dòng)模型

(7)

式(7)中,qzi(t)，qyi(t)分別表示俯仰和偏航通道第i階振動(dòng)的廣義坐標(biāo),Qzi(t)，Qyi(t)，Mzi，Myi分別表示相應(yīng)的廣義力和廣義質(zhì)量,ωzi0，ωyi0，ξzi，ξyi表示對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率和阻尼比。

1.3 綜合模型

由于彈性體導(dǎo)彈的彈性特征明顯,在受到外界干擾時(shí),容易發(fā)生彈性振動(dòng),從而改變彈體的姿態(tài)角并在一定程度上影響彈體的氣動(dòng)特性。把振動(dòng)對(duì)氣動(dòng)特性的影響視為參數(shù)攝動(dòng),則結(jié)合式(1)和式(7)可以得到彈性體導(dǎo)彈俯仰/偏航通道綜合模型為：

(8)

式(8)中,ωzr，ωyr分別為剛體俯仰和偏航角速度,為便于分析,把振動(dòng)計(jì)入到干擾中,取系統(tǒng)狀態(tài)為x1=[α,β]T,x2=[ωzr,ωyr]T,未知干擾和振動(dòng)不確定性為D1、D2,控制量為u=[δz,δy]T,則彈性體導(dǎo)彈模型狀態(tài)空間表達(dá)式形式為：

(9)

式(9)中，

假設(shè)1 干擾di及其一階導(dǎo)數(shù)有界。

2 自適應(yīng)減振控制算法

2.1 非線性干擾觀測(cè)器

由于系統(tǒng)中包含干擾項(xiàng),因此,需要設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)干擾值進(jìn)行估計(jì),考慮如下一階不確定系統(tǒng):

(10)

式(10)中,x∈R為系統(tǒng)狀態(tài)變量,f(x)，g(x)為連續(xù)的函數(shù),u∈R為控制輸入,d∈R為未知干擾。針對(duì)上述不確定系統(tǒng),干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)為：

(11)

(12)

式(12)中,O(·)表示高階無(wú)窮小,φ=(1-?)/?,?∈(0,min(τ/(τ+n),1/2)),n≥2。

證明 :分兩種情況證明。

并且有:

(9)

利用文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)的微分跟蹤器,取n=2,則微分跟蹤器的形式變?yōu)椋?/p>

(13)

2.2 反演控制器設(shè)計(jì)

首先定義式(9)中每個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤誤差

zi=xi-xid,i=1,2

(14)

式(14)中,xid為每個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制量。下面分兩步進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

步驟1 對(duì)式(9)的第1個(gè)子系統(tǒng)跟蹤誤差進(jìn)行求導(dǎo),可得：

(15)

反演法控制需要對(duì)虛擬控制量進(jìn)行求導(dǎo)。為避免求導(dǎo)所引起的復(fù)雜計(jì)算,采用式(13)所示微分跟蹤器對(duì)x2c的一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì),得到可執(zhí)行的指令x2d。

(16)

步驟2 對(duì)第2個(gè)子系統(tǒng)跟蹤誤差進(jìn)行求導(dǎo),可得:

(17)

假設(shè)2 干擾估計(jì)誤差E1、E2以及虛擬控制指令x2c的導(dǎo)數(shù)估計(jì)誤差E3均有界,即存在未知正數(shù)ηj滿足‖E1‖≤η1，‖E2‖≤η2，‖E3‖≤η3,j=1,2,3。

下面對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,選取Lyapunov函數(shù)

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

因此,通過(guò)選取較大的hi,可保證系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差收斂到一個(gè)足夠小的鄰域內(nèi)。

2.3 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

上面設(shè)計(jì)的控制器對(duì)剛體模型具有較好的跟蹤控制效果,但是當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)彈性模態(tài)與剛體運(yùn)動(dòng)耦合時(shí),并不能有效抑制彈體的振動(dòng)。通常情況下,為了提高控制器的性能,控制器的增益應(yīng)盡可能地高,但高的增益會(huì)激發(fā)彈體的彈性模態(tài),減慢振動(dòng)衰減的速度,甚至引起振動(dòng)發(fā)散。因此,下面通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)律實(shí)時(shí)地調(diào)整控制器的增益,在剛體運(yùn)動(dòng)與彈性振動(dòng)出現(xiàn)耦合時(shí)減小彈性模態(tài)對(duì)舵機(jī)的影響,以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤與振動(dòng)抑制的目的。

自適應(yīng)控制律的輸出是自適應(yīng)參數(shù)ki,利用實(shí)際彈體與參考模型的相關(guān)狀態(tài)信息,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化,動(dòng)態(tài)調(diào)整控制器的增益,降低彈性模態(tài)對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的耦合影響,提高系統(tǒng)的控制系能和魯棒性。自適應(yīng)律包含狀態(tài)誤差信號(hào)濾波項(xiàng)和一階溢出項(xiàng),自適應(yīng)律的表達(dá)式如下：

(20)

式(20)中,bi為誤差信號(hào)濾波項(xiàng)的增益,ci為溢出項(xiàng)增益,且bi、ci都大于零,-biyi為狀態(tài)誤差信號(hào)濾波項(xiàng),-ci(ki-1)為溢出項(xiàng)。誤差信號(hào)濾波項(xiàng)的輸出信號(hào)yi是對(duì)實(shí)際彈體與理想?yún)⒖寄Ｐ偷臓顟B(tài)誤差信號(hào)進(jìn)行整流濾波得到的,參考模型選取為無(wú)不確定性和干擾的彈體剛體模型。yi的表達(dá)式如下：

(21)

式(21)中,HHP(s)=s/(s+300)為線性高通濾波器,HLP(s)=3/(s+3)為線性低通濾波器,eir=‖xi-xir‖為實(shí)際彈體與理想?yún)⒖寄Ｐ椭g的狀態(tài)誤差信號(hào),xir為參考模型的狀態(tài)。由式(21)可以看出,由于振動(dòng)信號(hào)相比于剛體運(yùn)動(dòng)屬于高頻信號(hào),經(jīng)過(guò)式(21)的處理得到的yi的值反映了振動(dòng)的強(qiáng)度,整流過(guò)程中存在信號(hào)平方項(xiàng)。因此,yi的值總是大于零的,而yi在自適應(yīng)律中前面為負(fù)號(hào),所以誤差信號(hào)濾波項(xiàng)對(duì)自適應(yīng)參數(shù)ki的影響總是使ki減小。結(jié)合式(20)來(lái)看,當(dāng)振動(dòng)逐漸衰減時(shí),yi的值將變?yōu)?,即式(20)右邊第一項(xiàng)為0,如果沒(méi)有干擾影響,自適應(yīng)參數(shù)ki=1。為防止ki的值減小為負(fù)值導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,將自適應(yīng)律修改為：

因此,控制律式(15)和式(17)可修改為：

將新的控制律代入式(19)得：

因?yàn)閗i>0,Lyapunov函數(shù)的收斂性與上節(jié)相同,所以增加自適應(yīng)律以后系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出算法的有效性,這里利用Matlab/Simulink環(huán)境進(jìn)行仿真。設(shè)置仿真初始條件為:導(dǎo)彈初始姿態(tài)角[α,β]T=[0,0]Trad,初始姿態(tài)角速度[ωz,ωy]T=[0,0]Trad/s,參考指令和干擾設(shè)置為:

干擾觀測(cè)器參數(shù)和自適應(yīng)律參數(shù)如表1所示。振動(dòng)阻尼比為0.02,振動(dòng)頻率為24 Hz,下面仿真時(shí)分兩種情況進(jìn)行。

表1 控制參數(shù)

情形一:振動(dòng)廣義坐標(biāo)的初值為0,驗(yàn)證控制器在無(wú)振動(dòng)情況下的控制性能。由于無(wú)振動(dòng)情況下自適應(yīng)參數(shù)k的值趨近于1,因此自適應(yīng)律此時(shí)的作用很小,在受到干擾的情況下基于NDO的反演控制器應(yīng)具有比較好的控制性能,保證導(dǎo)彈平穩(wěn)飛行。施加正弦干擾得到的仿真結(jié)果如圖1—圖3所示。

圖1 攻角/側(cè)滑角跟蹤誤差Fig.1 Angle of attack/sideslip angle tracking error

圖2 自適應(yīng)參數(shù)Fig.2 Adaptive parameters

圖3 俯仰/偏航舵偏角變化Fig.3 Deflection of pitching/yaw rudder angle

圖1所示為攻角與側(cè)滑角跟蹤誤差,其中攻角跟蹤誤差不超過(guò)0.006 rad,側(cè)滑角跟蹤誤差不超過(guò)0.003 rad,穩(wěn)定在一個(gè)很小的范圍內(nèi),說(shuō)明控制效果良好。圖2所示為自適應(yīng)參數(shù)k的變化。由于振動(dòng)初始值設(shè)置為0,所以整個(gè)過(guò)程中振動(dòng)非常弱,自適應(yīng)參數(shù)近似等于1,自適應(yīng)律對(duì)反演控制器的影響很小,可以忽略。由于側(cè)滑角初始值和參考指令初值有較大的初始誤差,導(dǎo)致舵偏角變化較大,激發(fā)了彈體的彈性模態(tài),所以,圖3中舵偏角存在持續(xù)的小幅振蕩。

情形二:振動(dòng)廣義坐標(biāo)的初值為0.01,驗(yàn)證控制器在振動(dòng)情況下的控制性能。仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4和圖5分別為俯仰/偏航通道的姿態(tài)角跟蹤誤差、一階振動(dòng)廣義坐標(biāo)和舵偏角指令,從圖中可以看出,加入自適應(yīng)律以后姿態(tài)角振動(dòng)衰減速度明顯加快,并且舵偏角指令和一階振動(dòng)廣義坐標(biāo)也明顯減小,說(shuō)明自適應(yīng)律起到了很好的振動(dòng)抑制作用。圖6所示為自適應(yīng)參數(shù)的變化,結(jié)合圖4和圖5可知,振動(dòng)幅度比較大時(shí),自適應(yīng)參數(shù)減小以降低彈性模態(tài)與剛體運(yùn)動(dòng)的耦合影響,振動(dòng)衰減到一定程度后自適應(yīng)參數(shù)逐漸回歸到1。另外,由于該方法是通過(guò)減小控制器增益來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制的,因此,控制器的動(dòng)態(tài)性能會(huì)受到影響,從圖4(a)和圖5(a)可以看出,盡管加入自適應(yīng)律以后姿態(tài)角跟蹤誤差振動(dòng)衰減更快,但剛體姿態(tài)角誤差收斂變慢。

圖4 俯仰通道Fig.4 Pitching channel

圖5 偏航通道Fig.5 Yaw channel

圖6 自適應(yīng)參數(shù)Fig.6 Adaptive parameters

4 結(jié) 論

本文針對(duì)帶有非匹配不確定項(xiàng)的彈性體導(dǎo)彈姿態(tài)跟蹤與振動(dòng)抑制問(wèn)題,提出了一種基于非線性干擾觀測(cè)器的自適應(yīng)反演控制算法,利用干擾觀測(cè)器估計(jì)出干擾與不確定性,并通過(guò)自適應(yīng)律動(dòng)態(tài)調(diào)整控制器增益,可以有效克服干擾與彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。仿真結(jié)果表明，所提出的控制算法能夠有效抑制彈性振動(dòng)的耦合影響,并實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤。由于自適應(yīng)律對(duì)控制算法增益的調(diào)節(jié)是與原控制算法增益直接相乘,因此,并未改變?cè)锌刂葡到y(tǒng)的設(shè)計(jì)原理,易于在工程中實(shí)現(xiàn)。