在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

楊瑞科

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)蘊(yùn)含豐富的創(chuàng)新教育素材，數(shù)學(xué)教師要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律和特點(diǎn)，認(rèn)真研究、積極探索培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)新思維的原則、方法。文章結(jié)合作者教學(xué)實(shí)際，從重視情感培養(yǎng)，優(yōu)化創(chuàng)新心理;重視引導(dǎo)探索，激勵(lì)創(chuàng)新意識(shí);重視解題教學(xué)，發(fā)展創(chuàng)新思維;重視問題提出，扶持創(chuàng)新行為四個(gè)方面進(jìn)行探索。

關(guān)鍵詞：品質(zhì);創(chuàng)新;求異

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-22 文章編號(hào)：1674-120X（2019）19-0048-04

一、激活潛能，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能是巨大的，開發(fā)學(xué)生的潛能是教育的重要目標(biāo)和責(zé)任。要激活學(xué)生的潛能，首先必須培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，學(xué)生的思維品質(zhì)包括思維的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性等。

（一）在解題教學(xué)中，注意題目解答的多變性，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動(dòng)作用范圍廣泛和全面的程度。它表現(xiàn)為思路開闊，能全面地分析問題，多方向地思考問題，多角度地研究問題。

在解題教學(xué)中，不能就題論題，講完了事，而是要通過對(duì)典型題目的一題多變和多題歸一的講評(píng)達(dá)到讓學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通的目的，以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

以上三個(gè)命題形式不同，實(shí)質(zhì)一樣。這種題目等價(jià)性的變換，不但可溝通知識(shí)間的相互聯(lián)系，起到觸類旁通的作用，更重要的是通過采用這種多向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。

（二）在解題教學(xué)中，通過講評(píng)題目的科學(xué)性，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度。它表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考，善于提出問題，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤。

在解題教學(xué)中，教師有意識(shí)地布置一些錯(cuò)例，引導(dǎo)學(xué)生通過辨析提出問題，不但有助于學(xué)生掌握題目的科學(xué)性標(biāo)準(zhǔn)，形成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)治學(xué)態(tài)度，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性。

例2：一個(gè)正三棱臺(tái)的下底面和上底面周長分別為30cm和12cm，側(cè)面積等于兩底面積之差，求斜高。（1987年全國高考理科數(shù)學(xué)第二大題第7小題）

解：設(shè)斜高為h，根據(jù)已知條件得：

講評(píng)：雖然上述解答無可非議，但題目卻是一個(gè)錯(cuò)題。事實(shí)上，題中的說的“側(cè)面積等于兩底面積之差”的三棱臺(tái)根本就不存在。因?yàn)槲覀兛梢宰C明：棱臺(tái)的側(cè)面積大于兩底面積之差。

一個(gè)不具科學(xué)性的題，只要教師處理得當(dāng)，并及時(shí)講評(píng)，能獲得良好的教學(xué)效果。

（三）注意克服學(xué)生思維的惰性狀態(tài)，培養(yǎng)思維的深刻性

我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生滿足于一知半解，對(duì)概念不求甚解;做練習(xí)時(shí)，照葫蘆畫瓢，不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)。這反映出學(xué)生在思維上的惰性。這種惰性不能簡單地歸結(jié)為學(xué)習(xí)態(tài)度問題。學(xué)生往往認(rèn)為一些定理、公式是天經(jīng)地義的“法規(guī)”，根本不去思考它是否在一切情況下都對(duì)，還是在某種情況下才對(duì)，忽略了考慮全局與局部的關(guān)系。

克服學(xué)生思維的惰性，主要是克服學(xué)生思維的表面性與絕對(duì)化。培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，主要是培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不迷戀于事物的表面現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生自覺地思考事物的本質(zhì)方面，學(xué)會(huì)全面地認(rèn)識(shí)事物，而不被假象所迷惑。

在教學(xué)過程中，可用以下三條途徑：

（1）通過對(duì)比辨異，加深學(xué)生對(duì)概念的理解。有很多概念既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生很容易混淆，產(chǎn)生錯(cuò)覺，不能明確概念的本質(zhì)。教師應(yīng)當(dāng)隨時(shí)運(yùn)用對(duì)比辨異的教學(xué)手段幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念。

例3：下列幾個(gè)例子供學(xué)生鑒別：

正數(shù)與非負(fù)數(shù)。

銳角與第一象限的角。

直線的傾角、極坐標(biāo)中的極角、復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值。

異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角。

（2）注意變式教學(xué)，使學(xué)生加深理解解題方法的本質(zhì)。在教學(xué)過程中，我常用變式教學(xué)的手段，揭示解題方法的本質(zhì)與核心，使學(xué)生得到深刻的印象。

例4：四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為19。求這四個(gè)數(shù)。

解：可設(shè)四個(gè)數(shù)為b-d，b，b+d，，很快可得b=4，化解一元二次方程。在討論解題方法的基礎(chǔ)上，作如下局部改動(dòng)：

在原題中，將“它們的和為19”改為“它們的積為27”;

在原題中，將“它們的和為12”改為“它們的積為6”，“它們的和為19”改為“它們的積為27”;

將原題改為：五個(gè)數(shù)，前四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為19。求這五個(gè)數(shù)。

改動(dòng)的目的是讓學(xué)生掌握把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題，而關(guān)鍵是如何選擇未知量，力求減少未知量，簡化方程。

（3）要求學(xué)生認(rèn)真審題。在解題過程中，要教育學(xué)生認(rèn)真、仔細(xì)地審題。

例5：已知方程x2+x+p=0的兩個(gè)虛根為x1、x2，且|x1-x2|=3。求實(shí)數(shù)p的值。

在審題過程中，有一部分學(xué)生由|x1-x2|=3得x1-x2=±3或|x1-x2|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，利用韋達(dá)定理，得p=-2，從而造成原則性的錯(cuò)誤。幾乎每一屆學(xué)生都產(chǎn)生這種錯(cuò)誤，其根本原因是不能識(shí)別實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與虛數(shù)的絕對(duì)值。對(duì)這樣的錯(cuò)誤，通常是讓學(xué)生自己反思：如果p=-2，方程的根是什么？矛盾在哪里？在反思中，尋找錯(cuò)誤的原因。

（四）在教學(xué)中，通過講評(píng)題目解答的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度。它表現(xiàn)為對(duì)知識(shí)的運(yùn)用自如。由于思維定式產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)，學(xué)生解題有時(shí)往往墨守成規(guī)，缺乏靈活性。

例6：≥x+11-a的解集為{x|-4≤x≤-2}，求實(shí)數(shù)a的值。

學(xué)生一般思路是先求出原不等式的解集（這對(duì)一般學(xué)生來說并非一件容易的事），然后根據(jù)題設(shè)條件求出a。

講評(píng)：學(xué)生由于受思維定式的影響，產(chǎn)生以上思路是情理之中的。但我針對(duì)這種情況及時(shí)講評(píng)，啟發(fā)學(xué)生改變思路，以讓學(xué)生找到較佳的解題途徑。

另外，還可以想方設(shè)法為學(xué)生提供聯(lián)想的機(jī)會(huì)啟發(fā)學(xué)生多角度思考同一問題;在教學(xué)中通過廣泛提問，加快學(xué)生思維的節(jié)奏;利用變式教學(xué)，不斷鍛煉學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變的思考能力，這樣可以不斷培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

二、創(chuàng)設(shè)“問題情境”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)新意識(shí)是指對(duì)自然界和社會(huì)中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有好奇心.不斷追求新知，獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，進(jìn)行探索和研究。

（一）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，教師的教學(xué)觀念必須轉(zhuǎn)變

教師應(yīng)有扎實(shí)的基本功、廣博的專業(yè)知識(shí)，具有駕馭全局、隨機(jī)應(yīng)變的能力;具有開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力，創(chuàng)設(shè)“問題情境”的能力。

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，主要依據(jù)下面三個(gè)途徑：問題教學(xué)，變式教學(xué)，研究性學(xué)習(xí)?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟。”課堂教學(xué)中，教師要注重問題的教學(xué)，以問促思、以問促變、以問促創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)特別鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，并解決問題，以讓學(xué)生獲得喜悅、自信，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。好的問題應(yīng)充分體現(xiàn)必要性和實(shí)用性，能激發(fā)認(rèn)知需求，好的問題能誘導(dǎo)積極探索，促進(jìn)知識(shí)的深化;好的問題往往是新知識(shí)的生長點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系的交叉點(diǎn)，更是創(chuàng)新思維的啟動(dòng)點(diǎn);好的問題能促進(jìn)學(xué)生展開積極的活動(dòng)（包括操作性活動(dòng)和思考性活動(dòng)及實(shí)踐性活動(dòng)），從而獲得主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)機(jī)會(huì)。

（二）教學(xué)中注重例題的選擇及其變式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

教師對(duì)教學(xué)中的例題的設(shè)計(jì)和選擇，要有針對(duì)性;并對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原理進(jìn)行廣泛的變換和延伸，盡可能延伸出更多相關(guān)性、相似性、相反性的新問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例7：關(guān)于x的方程x-t=有解，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍。對(duì)這樣的問題，教師首先要求學(xué)生進(jìn)行不同的解法，讓學(xué)生思考，然后再進(jìn)行變題，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新思維發(fā)展。

解法1：將方程轉(zhuǎn)化為2x2-2tx-1=0在[t，+∞）上有解，借用二次函數(shù)當(dāng)自變量取定義域上的一個(gè)子集時(shí)，其值域的求解問題模型來解決;

解法2：將方程變?yōu)閠=x-，問題歸結(jié)為求函數(shù)y=x-的值域，采用三角換元的方法，易求得答案;

解法3：令y1=x-t，y2=，則問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有交點(diǎn)時(shí)t的取值范圍，通過數(shù)形結(jié)合可求得答案。 解法的多樣性，能促進(jìn)學(xué)生的思維的靈活性，但還需對(duì)例題條件、結(jié)論進(jìn)行變式、延伸。比如，將上例進(jìn)行變式，提出新的問題，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

變題1：關(guān)于x的方程x-t=無解（1解，2解……），試求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

變題2：若關(guān)于x的方程cosx-sinx+a=0? 在[0，π]上有解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變題3：若直線y=x-t與y=有交點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

變題4：若關(guān)于x的不等式x-t≤恒有解，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

變題5：已知實(shí)數(shù)x，y滿足y=，求：①x+y的取值范圍;②x2y2+2x+2y的取值范圍。

（三）巧用信息技術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

教育的發(fā)展在一定程度上取決于教育技術(shù)的進(jìn)步。隨著信息技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，使用計(jì)算機(jī)多媒體輔助教學(xué)是提升課堂教學(xué)效率、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的一條有效途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分利用多媒體教學(xué)，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思維。主動(dòng)性是創(chuàng)新思維的一個(gè)主要特征，是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)和前提，對(duì)青少年來說，主動(dòng)性表現(xiàn)為強(qiáng)烈的好奇心、求知欲、質(zhì)疑、濃厚的興趣等。而信息技術(shù)的多媒化——文字、聲音、圖像、視頻、動(dòng)畫等形象逼真、生動(dòng)新穎，為學(xué)生提供了強(qiáng)烈的外部刺激。正是這種情景的新穎性和感受性，使學(xué)生產(chǎn)生一積極的心理體驗(yàn)，并迅速轉(zhuǎn)化為求知欲望，轉(zhuǎn)化為進(jìn)入創(chuàng)造學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

我從幾年的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)到：動(dòng)態(tài)的電腦演示不僅能輔助學(xué)生理解一些數(shù)學(xué)概念，更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，豐富的圖形變換、趣味性的動(dòng)畫演示，常使他們嘗試到創(chuàng)造的快樂。選取恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用軟件，常常能點(diǎn)石成金，如幾何畫板。在幾何教學(xué)中，直觀教學(xué)尤為重要。在教學(xué)三角形、平行四邊形、長方形、正方形等圖形的內(nèi)在聯(lián)系時(shí)，教師可以通過Flash軟件設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)態(tài)的圖形演變，把不易看清的地方用平移、延伸、展開、旋轉(zhuǎn)、閃爍等方法顯示出來;利用計(jì)算機(jī)對(duì)模擬圖形的拆選、剪拼等動(dòng)作進(jìn)行演示，使學(xué)生形成具體的、印象深刻的動(dòng)態(tài)感知，在動(dòng)感中產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心，從而主動(dòng)參與學(xué)習(xí)。

三、探索問題的非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造精神是實(shí)施創(chuàng)新教育中最為重要的一步。教師要啟迪學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)”，標(biāo)新立異，打破常規(guī)，克服思維定式的干擾，善于找出新規(guī)律，運(yùn)用新方法;要激發(fā)學(xué)生大膽探討問題，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、開拓性和創(chuàng)造性。教學(xué)中的切入點(diǎn)很多：

本題若用常規(guī)解法會(huì)很煩瑣，教學(xué)時(shí)我由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)基本等式-=的正用和逆用入手，點(diǎn)撥學(xué)生采用“通分法”與“拆項(xiàng)法”來解。上述基本等式的逆用，訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維，又展現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)方法：拆項(xiàng)法。

當(dāng)用常規(guī)方法不能解決問題時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生及時(shí)改變思路，另選突破口，切忌在原方法上徘徊。否則難以使思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，也不利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

題目的新穎解法源于觀察分析題目的特點(diǎn)，以及對(duì)隱含條件的挖掘。因此，教師應(yīng)從開發(fā)智能、培養(yǎng)能力這一目標(biāo)著眼，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想和拓展，平時(shí)在教學(xué)中注意總結(jié)解題規(guī)律，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

四、開拓思路，誘發(fā)思維的發(fā)散性

徐利治教授曾指出：創(chuàng)造能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力。思維的發(fā)散性，表現(xiàn)在思維過程中，不受一定解題模式的束縛，從問題個(gè)性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定勢(shì)的思維形式。發(fā)散思維具有多變性、開放性的特點(diǎn)，是創(chuàng)造性思維的核心。

在教學(xué)中，教師的“導(dǎo)”需精心創(chuàng)設(shè)問題情境，組織學(xué)生進(jìn)行生動(dòng)有趣的“活動(dòng)”，留給學(xué)生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識(shí)的思維過程，使學(xué)生在過程中“學(xué)會(huì)”并“會(huì)學(xué)”，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，從而得到主體的智力發(fā)展。教師只要細(xì)心大膽挖掘，這樣的結(jié)合點(diǎn)隨處可見。

此題求解的范圍、想象的空間是廣闊的，思維是開放的。讓學(xué)生在求解過程中求新、求速度、求最佳，通過不斷思考，互相啟發(fā)，多數(shù)學(xué)生能找出7～10個(gè)結(jié)論，然后教師誘導(dǎo)學(xué)生從邊、角、相似及三角函數(shù)關(guān)系等方面歸納出至少15種結(jié)論：

這類題具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性和發(fā)散性，通過訓(xùn)練，能夠把學(xué)生的思維引到一個(gè)廣闊的空間，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度。這類題的題設(shè)與結(jié)論不匹配，需要周密思考，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)揮、探索、推斷，可得到多個(gè)結(jié)果。此類題往往稱為“開放型”試題。開放型問題設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種形式、一種教學(xué)觀，是一種創(chuàng)設(shè)問題情境的意識(shí)和做法，具有很好的導(dǎo)向性，是今后出題的一種趨勢(shì)。

五、創(chuàng)新多變，探索思維的求異性

求異思維是指在同一問題中，敢于質(zhì)疑，產(chǎn)生各種不同于一般的思維形式，它是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。在教學(xué)中，教師要誘發(fā)學(xué)生借助求異思維，從不同的方位探索問題的多種思路。

學(xué)起于思，思源于疑，疑則誘發(fā)創(chuàng)新。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)求異的情境，鼓勵(lì)學(xué)生多思、多問、多變，訓(xùn)練學(xué)生勇于質(zhì)疑，在探索和求異中有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力是能力培養(yǎng)的核心，而逆向思維、發(fā)散思維和求異思維是創(chuàng)新學(xué)習(xí)所必備的思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生逐步樹立創(chuàng)新意識(shí)，獨(dú)立思考，這應(yīng)成為以后教與學(xué)的著力點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，是一項(xiàng)復(fù)雜而系統(tǒng)的工程，它需要教育部門的正確指導(dǎo)，更需要教師的創(chuàng)新意識(shí)。特別是農(nóng)村中小學(xué)面臨教育質(zhì)量的評(píng)價(jià)及升學(xué)率的壓力，它確實(shí)制約著學(xué)生創(chuàng)新思維的開發(fā)，這是我們必須面對(duì)的問題，也是教育部門，甚至全社會(huì)需要共同努力的。

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